2018-2019学年九年级数学下册 第二章 二次函数 2 二次函数的图象与性质教学课件 （新版）北

教学课件数学九年级下册北师大版第二章二次函数2二次函数的图象与性质（第1课时）在二次函数y=x2中，y随x的变化而变化的规律是什么？你想直观地了解它的性质吗?（1）观察y=x2的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下表：画二次函数y=x2的图象.x…-3-2-10123…y=x2…9410149…想一想xyO-4-3-2-11234108642-2（2）在下面的直角坐标系中描点.y=x2（3）用光滑的曲线连接各点，便得到函数y=x2的图象.议一议对于二次函数y=x2的图象.（1）你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流.（2）图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？（3）当x0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x0呢？（4）当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？（5）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴交流.2xy这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴.对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线.当x0（在对称轴的左侧）时，y随着x的增大而减小.当x0（在对称轴的右侧）时,y随着x的增大而增大.抛物线y=x2在x轴的上方（除顶点外），顶点是它的最低点，开口向上，并且向上无限伸展.当x=0时，函数y的值最小，最小值是0.二次函数y=-x2的图象是什么形状？先想一想，再画出它的图象．它与二次函数y=x2的图象有什么关系？与同伴交流.你能根据表格中的数据作出猜想吗？x…-3-2-10123…y=-x2…-9-4-10-1-4-9…做一做xyO-4-3-2-11234-10-8-6-4-22描点，连线y=-x2（1）完成下表：画二次函数y=2x2的图象.x…-3-2-10123…y=2x2…188202818…（2）在图中画二次函数y=2x2的图象.下面接着讨论形如y=ax2，y=ax2+c的图象和性质.y=2x2yxO想一想（3）二次函数y=2x2的图象是什么形状？它与二次函数y=x2的图象有什么不同？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？画出二次函数y=x2的图象，它与y=x2，y=2x2的图象有什么相同和不同？想一想21画出二次函数y=2x2+1的图象，你是怎样画的？与同伴交流.做一做二次函数y=2x2+1的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？二次函数y=2x2-1的图象呢？议一议二次函数y=2x2，y=2x2+1，y=2x2-1的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同.将函数y=2x2的图象向上平移1个单位长度，就得到函数y=2x2+1的图象；将函数y=2x2的图象向下平移1个单位长度，就得到函数y=2x2-1的图象.1.抛物线y=ax2的顶点是原点，对称轴是y轴.2.当a0时，抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外），它的开口向上，并且向上无限伸展；当a0时，抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外），它的开口向下，并且向下无限伸展.二次函数y=ax2的性质3.当a0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大.当x=0时，函数y的值最小.当a0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小.当x=0时，函数y的值最大.1.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）.（1）求此抛物线的函数解析式.（2）判断点B（-1，-4）是否在此抛物线上.（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.例题解析解：（1）把（-2，-8）代入y=ax2，得-8=a（-2）2，解得a=-2.所求函数的解析式为y=-2x2.（2）因为-2×（-1）2=-2≠-4，所以点B（-1，-4）不在此抛物线上.（3）由-6=-2x2，得x2=3，所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是（-，-6）和（，-6）.332.填空：（1）抛物线y=2x2的顶点坐标是，对称轴是，在侧，y随着x的增大而增大；在侧，y随着x的增大而减小，当x=时，函数y的值最小，最小值是，抛物线y=2x2在x轴的方（除顶点外）.（0，0）y轴对称轴的右00上对称轴的左（2）抛物线y=-x2在x轴的方（除顶点外），在对称轴的左侧，y随着x的，在对称轴的右侧，y随着x的，当x=0时，函数y的值最大，最大值是，当x0时，y0.下增大而增大增大而减小032小结拓展由二次函数y=x2和y=-x2的图象，知2xy2xy1.抛物线y=ax2的顶点是原点，对称轴是y轴.2.当a0时，抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外），它的开口向上，并且向上无限伸展；当a0时，抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外），它的开口向下，并且向下无限伸展.3.当a0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大.当x=0时，函数y的值最小.当a0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小.当x=0时，函数y的值最大.第二章二次函数2二次函数的图象与性质（第2课时）我们已经认识了二次函数y=2x2的图象，那么二次函数y=2（x-1）2的图象与y=2x2的图象有什么关系？议一议（1）完成下表，并比较2x2和2（x-1）2的值，它们之间有什么关系?x-3-2-101234y=2x218820281832y=2（x-1）232188202818做一做画出二次函数y=2（x-1）2的图象.你是怎样画出的？与同伴交流.22xy212）（xy（2）在同一坐标系中作出二次函数y=2x2和y=2（x-1）2的图象．二次函数y=2（x-1）2的图象与y=2x2的图象有什么关系？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？议一议二次函数y=2（x-1）2与y=2x2的图象形状相同，可以看作是将抛物线y=2x2整体沿x轴向右平移了1个单位长度.图象是轴对称图形，对称轴是平行于y轴的直线：x=1.二次项系数相同，都是a0，开口都向上.顶点坐标是点（1，0）.类似地，你能发现二次函数y=2（x+1）2的图象与y=2x2的图象有什么关系吗?当x取哪些值时，函数y=2（x-1）2的值随x值的增大而增大？当x取哪些值时，函数y=2（x-1）2的值随x的增大而减少？顶点是最低点，函数有最小值.当x=1时，最小值是0.二次函数y=2（x-1）2与y=2x2的增减性类似.在对称轴（直线：x=1）的左侧，即x1时，函数y=2（x-1）2的值随x的增大而减少.在同一直角坐标系中作出二次函数y=2（x+1）2的图象，它的增减性会是什么样?想一想二次函数y=2x2，y=2（x-1）2，y=2（x+1）2的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同.将函数y=2x2的图象向右平移1个单位长度，就得到函数y=2（x-1）2的图象；将函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，就得到函数y=2（x+1）2的图象.由二次函数y=2x2的图象，你能得到二次函数y=2x2-，y=2（x+3）2，y=2（x+3）2-的图象吗？你是怎样得到的？与同伴交流.想一想2121函数y=a（x-h）2+k与y=ax2的图象有什么关系？议一议一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数y=a（x-h）2+k的图象.因此，二次函数y=a（x-h）2+k的图象是一条抛物线，它的开口方向、对称轴和顶点坐标如下表：二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质1.顶点坐标与对称轴.2.位置与开口方向.3.增减性与最值.抛物线y=a（x-h）2+k（a0）y=a（x-h）2+k（a0）顶点坐标（h，k）（h，k）对称轴直线x=h直线x=h位置由h和k的符号确定由h和k的符号确定开口方向向上向下增减性在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小最值当x=h时，最小值为k当x=h时，最大值为k根据图形填表：1.指出下列函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标：（1）y=2（x+3）2-；（2）y=-（x+1）2-5.21312.（1）二次函数y=3（x+1）2的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的对称轴和顶点坐标分别是什么？（2）二次函数y=-3（x-2）2+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系？对于二次函数y=3（x+1）2，当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？二次函数y=3（x+1）2+4呢?1.相同点：（1）形状相同（图像都是抛物线，开口方向相同）.（2）都是轴对称图形.（3）都有最（大或小）值.小结拓展二次函数y=a（x-h）2+k与y=ax2的关系（4）当a0时，开口向上，在对称轴的左侧，y都随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y都随x的增大而增大.当a0时，开口向下，在对称轴的左侧，y都随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y都随x的增大而减小.2.不同点：只是位置不同.（1）顶点不同：分别是（h，k）和（0，0）.（2）对称轴不同：分别是直线x=h和y轴.（3）最值不同：分别是k和0.3.联系：y=a（x-h）2+k的图象可以看成是将y=ax2的图象先沿x轴整体向左（右）平移|h|个单位长度（当h0时，向右平移；当h0时，向左平移），再沿对称轴整体向上（下）平移|k|个单位长度（当k0时，向上平移；当k0时，向下平移）得到的.第二章二次函数2二次函数的图象与性质（第3课时）引入新知我们已经认识了形如y=a（x-h）2+k的二次函数的图象和性质，你能研究二次函数y=2x2-4x+5的图象和性质吗？例题解析例1求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.7822xxy7)4(22xx提取二次项系数78-4422xx配方：加上再减去一次项系数绝对值一半的平方12-22）（x整理：前三项化为平方形式，后两项合并同类项化简：去掉中括号解:因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为（2，-1）.做一做确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标.（1）y=3x2-6x+7；（2）y=2x2-12x+8.例题解析例2求二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴和顶点坐标.cbxaxy2ccxabxa2acababxabxa22222222442abacabxa.44222abacabxa老师提示：这个结果通常称为求顶点坐标公式.顶点坐标公式：因此，二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条抛物线.:.2bxa它的对称轴是直线24,.24bacbaa它的顶点是.44222abacabxay根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：（1）y=2x2-12x+13；（2）y=-5x2+80x-319；（3）y=2（x-）（x-2）；（4）y=3（2x+1）（2-x）.21如图，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用表示y=0.0225x2+0.9x+10，而且左、右两条抛物线关于y轴对称．（1）钢缆的最低点到桥面的距离是少？（2）两条钢缆最低点之间的距离是多少？y/mx/m桥面-50510109.00225.02xxy做一做（1）钢缆的最低点到桥面的距离是多少？你是怎样计算的？与同伴交流.可以将函数y=0.0225x2+0.9x+10配方，求得顶点坐标，从而获得钢缆的最低点到桥面的距离.109.00225.02xxy94000400225.02xx940002020400225.0222xx