2018-2019学年八年级数学上册 第十二章 全等三角形 12.3 角的平分线的性质 第1课时 角

112.3角的平分线的性质第1课时角的平分线的性质(1)知能演练提升能力提升1.如图,尺规作图作∠AOB的平分线的方法如下:以O为圆心,任意长为半径画弧分别交OA,OB于点C,D,再分别以点C,D为圆心,以大于CD长为半径画弧,两弧交于点P,作射线OP,由作法得△OCP≌△ODP的根据是().A.SASB.ASAC.AASD.SSS2.如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB交AB于点E,DF⊥AC交AC于点F.若S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC的长是().A.4B.3C.6D.53.如图,MP⊥NP,MQ为△NMP的角平分线,MT=MP,连接TQ,则下列结论中,不正确的是().A.TQ=PQB.∠MQT=∠MQPC.∠QTN=90°D.∠NQT=∠MQT4.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,点P是对角线AC上一点,PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F.求证:PE=PF.25.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于点D,问能否在AB上确定一点E,使△BDE的周长等于AB的长?6.如图,已知AC平分∠BAD,CD=CB,ABAD.求证:∠B+∠D=80°.37.已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动,两直角边PC,PD分别与OA,OB相交于点C,D,PC和PD有怎样的数量关系?请说明理由.★8.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,E,F分别为AB,AC上的点,且∠EDF+∠EAF=80°.求证:DE=DF.4创新应用★9.如图,AD∥BC,DC⊥AD,AE平分∠BAD,且点E是DC的中点,探索AD,BC与AB之间有何关系?并证明你得到的结论.参考答案能力提升1.D2.B3.D4.证明在△ABC和△ADC中,{,,,∴△ABC≌△ADC(SSS),∴∠BCA=∠DCA,∴CA为∠BCD的平分线.∵PE⊥BC,PF⊥CD,P为∠BCD的平分线上的一点,∴PE=PF.5.分析由于题目中存在AD平分∠CAB,且DC⊥AC的条件,联想到角的平分线上的点到角的两边的距离相等,故过点D作DE⊥AB,便可找到所求作的点.解能在AB上确定一点E,使△BDE的周长等于AB的长,即过点D作DE⊥AB于点E,则点E就是所要确定的点.证明∵AD平分∠CAB,CD⊥AC,DE⊥AB,∴DC=DE.5在Rt△ACD与Rt△AED中,{,,∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL).∴AC=AE.∵AC=BC,∴△BDE的周长为BD+DE+BE=BD+DC+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB.6.证明如图,过点C作CE⊥AB于点E,CF⊥AD交AD的延长线于点F.因为AC平分∠BAD,所以CE=CF.在Rt△CBE和Rt△CDF中,因为CE=CF,CB=CD,所以Rt△CBE≌Rt△CDF,所以∠B=∠1.因为∠1+∠ADC=80°,所以∠B+∠ADC=80°.7.解PC=PD.理由如下:过点P分别作PE⊥OB于点E,PF⊥OA于点F,∴∠CFP=∠DEP=90°.∵OM是∠AOB的平分线,∴PE=PF.由四边形内角和定理知∠FPE=90°.∵∠1+∠FPD=90°,∠2+∠FPD=90°,∴∠1=∠2.在△CFP和△DEP中,{∠∠,,∠∠,∴△CFP≌△DEP(ASA).∴PC=PD.8.证明如图,过点D作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N.6∵AD平分∠BAC,∴DM=DN.∵∠AMD+∠MDN+∠AND+∠NAM=360°,∠AMD+∠AND=80°,∴∠MDN+∠NAM=80°.∵∠EDF+∠EAF=80°,∴∠MDN=∠EDF,∴∠MDE=∠NDF.在△EDM和△FDN中,{∠∠,,∠∠,∴△EDM≌△FDN(ASA).∴DE=DF.创新应用9.分析将题目条件“AE平分∠BAD”与“DE⊥AD”结合在一起考虑,可以联想到:若作EF⊥AB于点F,就构成角平分线性质的基本图形,不难得出AF=AD;再结合“E是DC的中点”,可得ED=EF=EC.于是连接BE,可证得BF=BC,这样AD+BC=AF+BF=AB.解AB=AD+BC.证明如下:作EF⊥AB于点F,连接BE.∵AE平分∠BAD,DC⊥AD,EF⊥AB,∴EF=ED.∵E是DC的中点,∴DE=EC,∴EC=EF.∵AD∥BC,DC⊥AD,∴∠DCB=90°,∴∠BFE=∠ECB=90°.在Rt△BFE和Rt△BCE中,{,,∴Rt△BFE≌Rt△BCE(HL).∴BF=BC.同理可证AF=AD.∴AD+BC=AF+BF=AB,7即AD+BC=AB.