2018-2019学年高中数学 第一章 计数原理 1.3.1 二项式定理课件 新人教B版选修2-3

-1-1.3二项式定理-2-1.3.1二项式定理首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习课程目标学习脉络1.理解二项式定理是代数乘法公式的推广.2.理解并掌握二项式定理,能利用计数原理证明二项式定理.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习二项式定理JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习思考1二项式定理适用条件是什么?提示:二项式定理只对两项和的正整数次幂适用,幂指数不能是零和负数.思考2根据二项式定理考查(a+b)n与(b+a)n展开式相同吗?提示:(a+b)n=C𝑛0anb0+C𝑛1an-1b1+…+C𝑛𝑟an-rbr+…+C𝑛𝑛a0bn(n∈N+).(b+a)n=C𝑛0bna0+C𝑛1bn-1a1+…+C𝑛𝑟bn-rar+…+C𝑛𝑛b0an(n∈N+).由于C𝑛𝑟=C𝑛𝑛-𝑟,故(a+b)n展开式中的第r+1项C𝑛𝑟an-rbr与(b+a)n展开式中的第n-r+1项C𝑛𝑛-𝑟bran-r相等.故(a+b)n与(b+a)n展开式相同.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习思考3二项式系数与对应项的系数有什么区别?提示:二项式系数与对应项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指C𝑛𝑟,与a,b无关,而项的系数不仅与C𝑛𝑟有关,而且也与a,b的值有关.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究一二项式定理的应用形式简单的二项式展开时可直接由二项式定理直接展开,对于形式较复杂的二项式,在展开之前可以根据二项式的结构特点,进行必要的变形,然后再展开,以使运算得到简化.记准记熟二项式(a+b)n的展开式是解答与二项式定理有关问题的前提.逆用二项式定理,要注意分析其结构特点,a的指数是从高到低,b的指数是从低到高,且a,b的指数和等于二项式的次数n,正负相间是(a-b)n的形式.指数不满足时可通过乘(或除)某项来调整,缺项时通常需添加项来凑结构形式.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三【典型例题1】求2𝑥-32𝑥25的展开式.思路分析:对一个二项式进行展开时,可以利用二项式定理直接展开,也可以先化简,再展开.解:(直接利用二项式定理展开)2𝑥-32𝑥25=C50(2x)5+C51(2x)4-32𝑥2+C52(2x)3·-32𝑥22+C53(2x)2-32𝑥23+C54(2x)-32𝑥24+C55-32𝑥25=32x5-120x2+180𝑥−135𝑥4+4058𝑥7−24332𝑥10.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究二二项展开式中特定项的求法求二项展开式的特定项问题实质是考查通项Tr+1=C𝑛𝑟an-rbr的特点,一般需要建立方程求r,再将r的值代回求解,注意r的取值范围(r∈{0,1,…,n}).求二项展开式的特定项的三种常见类型分别为:(1)常数项:即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为零建立方程;(2)有理项:令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程;(3)第m项:此时r+1=m,直接代入通项.特定项的次数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三【典型例题2】若𝑥+12𝑥4𝑛展开式中前三项系数成等差数列.求:(1)展开式中含x的一次幂的项;(2)展开式里所有x的有理项;(3)展开式中系数最大的项.思路分析:首先应根据题意,得到关于n的方程,解得n的值,然后根据题目的要求解答每一问.这三问都与二项展开式的通项公式有关,通项为Tr+1=C𝑛𝑟·(𝑥)n-r·12𝑥4𝑟.解:由已知条件知:C𝑛0+C𝑛2·122=2C𝑛1·12,解得n=8(n=1舍去).(1)Tr+1=C8𝑟·(𝑥)8-r·12𝑥4𝑟=C8𝑟·2-r·𝑥4-34r.令4-34r=1,解得r=4.所以x的一次幂的项为T4+1=C84·2-4·x=358x.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三(2)令4-34r∈Z,且0≤r≤8,所以r=0,4,8.因此,有理项为T1=x4,T5=358x,T9=1256𝑥2.(3)记第r项系数为tr,设第k项系数最大,则有tk≥tk+1,且tk≥tk-1.又tr=C8𝑟-1·2-r+1,于是有C8𝑘-1·2-𝑘+1≥C8𝑘·2-𝑘,C8𝑘-1·2-𝑘+1≥C8𝑘-2·2-𝑘+2.即8!(𝑘-1)!·(9-𝑘)!×2≥8!𝑘!(8-𝑘)!,8!(𝑘-1)!·(9-𝑘)!≥8!(𝑘-2)!·(10-𝑘)!×2.所以29-𝑘≥1𝑘,1𝑘-1≥210-𝑘.解得3≤k≤4.所以系数最大项为第三项和第四项,分别为T3=7𝑥52,T4=7x74.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究三易错辨析易错点:对二项式定理理解不透造成错误【典型例题3】求𝑥+1𝑥-15展开式的常数项.错解:因为𝑥+1𝑥-15=𝑥+1𝑥-15,所以展开式的通项为Tr+1=C5𝑟·𝑥+1𝑥5-𝑟·(-1)r.而𝑥+1𝑥5-𝑟的展开式的通项为Tk+1=C5-𝑟𝑘·x5-r-k·1𝑥𝑘=C5-𝑟𝑘·x5-r-2k.令5-r-2k=0,即r+2k=5,且0≤r≤5,0≤k≤5-r.则有𝑟=1,𝑘=2或𝑟=3,𝑘=1或𝑟=5,𝑘=0.所以常数项为C51·C42·(-1)1,C53·C21·(-1)3和C55·C00·(-1)5,即-30和-20和-1.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三错因分析:错解中有两处错误:一是出现了C00这个无意义的组合数,这是解题不严密造成的,在考虑𝑥+1𝑥5-𝑟的展开式时,用的是二项式定理,但没有注意二项式定理只对两项和的正整数次幂适用,当r=5时,5-r=0,此种特殊情况应特殊处理;二是对概念的理解错误,一个展开式中常数项只能有一个,不可能出现两个或两个以上的常数项.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三正解:因为𝑥+1𝑥-15=𝑥+1𝑥-15,所以展开式的通项为Tr+1=C5𝑟·𝑥+1𝑥5-𝑟·(-1)r(0≤r≤5).当r=5时,T6=C55·(-1)5=-1;当0≤r5时,𝑥+1𝑥5-𝑟的展开式的通项为Tk+1=C5-𝑟𝑘·x5-r-k·1𝑥𝑘=C5-𝑟𝑘·x5-r-2k(0≤k≤5-r).因为0≤r5,且r+2k=5,r∈Z,所以r只能取1或3,此时相应的k值分别为2或1,即𝑟=1,𝑘=2或𝑟=3,𝑘=1.所以常数项为C51·C42·(-1)1+C53·C21·(-1)3+(-1)=-51.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123451.二项式(a+b)2n的展开式的项数是()A.2nB.2n+1C.2n-1D.2(n+1)解析:根据二项式定理可知,展开式共有2n+1项.答案:BSUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123452.(x+2)6的展开式中x3的系数为()A.20B.40C.80D.160解析:因为(x+2)6的通项为C6𝑟x6-r·2r,令6-r=3,所以r=3.所以x3的系数为C63·23=160.答案:DSUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123453.展开2x-1x25=.解析:2x-1x25=C50(2x)5-C51(2x)4·1x2+C52(2x)3·1x22−C53(2x)2·1x23+C54(2x)·1x24−C55·1x25=32x5-80x2+80x−40x4+10x7−1x10.答案:32x5-80x2+80x−40x4+10x7−1x10SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123454.(1+3x)n(其中n∈N,且n≥6)的展开式中,若x5与x6的系数相等,则n=.解析:二项式(1+3x)n的展开式的通项是Tr+1=C𝑛𝑟1n-r·(3x)r=C𝑛𝑟·3r·xr.依题意得C𝑛5·35=C𝑛6·36,即𝑛(𝑛-1)(𝑛-2)(𝑛-3)(𝑛-4)5!=3×𝑛(𝑛-1)(𝑛-2)(𝑛-3)(𝑛-4)(𝑛-5)6!(n≥6),解得n=7.答案:7SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123455.已知3x-23x10.(1)求展开式中第4项的二项式系数;(2)求展开式中第4项的系数;(3)求展开式的第4项.分析:必须将所要解决的问题弄清楚.(1)是求二项式系数,二项式的系数与二项式的指数和项的指数有关;(2)是求项的系数,应借助通项公式求解;(3)是求第几项,必须考虑通项公式.解:3x-23x10的展开式的通项是Tr+1=C10𝑟(3x)10-r·-23x𝑟(r=0,1,…,10).(1)展开式中第4项的二项式系数为C103=120.(2)展开式中第4项的系数为C103·37·-233=-77760.(3)展开式的第4项为T4=T3+1=C103(3x)7·-23x3=C103·37·-233·x12=-77760x.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点