2018-2019学年高中数学 第一章 计数原理 1.3.2 杨辉三角课件 新人教B版选修2-3

-1-1.3.2杨辉三角首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习课程目标学习脉络1.记住杨辉三角,会应用杨辉三角求二项式次数不大时各项的二项式系数.2.掌握二项式系数的有关性质,并应用性质解决简单问题.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习杨辉三角与二项式系数的性质(a+b)n展开式的二项式系数,当n取正整数时可以单独列成下表的形式:上面的二项式系数表称为“杨辉三角”或“贾宪三角”,在欧洲称为“帕斯卡三角”.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习从杨辉三角表,可以看出二项式系数具有下面的性质:(1)每一行的两端都是1,其余每个数都等于它“肩上”两个数的和.事实上,设表中任一不为1的数为C𝑛+1𝑟,那么它“肩上”的两个数分别为C𝑛𝑟-1和C𝑛𝑟,由组合数的性质,有C𝑛0=1,C𝑛𝑛=1,C𝑛+1𝑟=C𝑛𝑟-1+C𝑛𝑟.(2)每一行中,与首末两端“等距离”的两个数相等.(3)如果二项式的幂指数n是偶数,那么其展开式中间一项𝑇𝑛2+1的二项式系数最大;如果n是奇数,那么其展开式中间两项𝑇𝑛+12与𝑇𝑛+12+1的二项式系数相等且最大.(4)二项展开式的二项式系数的和等于2n.在(1+x)n=C𝑛0xn+C𝑛1xn-1+C𝑛2xn-2+…+C𝑛𝑛x0中,令x=1,则C𝑛0+C𝑛1+C𝑛2+…+C𝑛𝑛=2n.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习思考1杨辉三角的第n行数字规律与二项展开式有何联系?提示:杨辉三角的第n行数字规律是二项式(a+b)n展开式的二项式系数.思考2如何求二项展开式中各项系数和或部分系数和?提示:通常利用赋值法.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究一与杨辉三角有关的问题解决与杨辉三角有关的问题一般方法是观察法,观察时可以横看、竖看、斜看等多角度观察,找出数据之间的关系.由特殊到一般推出对应规律,用数学式子表达出来,并进行简单说明所得规律的正确性.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四【典型例题1】如图所示,在杨辉三角中,第n条和第(n+1)条细斜线上各数之和与第(n+2)条细斜线上各数之和的关系如何?证明结论.思路分析:此题可先从特殊行得出结论,然后再证明其一般性,如令n=2,去探究第2条和第3条细斜线上各数之和与第4条细斜线上各数之和的关系.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四解:第n条和第(n+1)条细斜线上各数之和等于第(n+2)条细斜线上各数之和.证明如下:第n条细斜线上各数之和为C𝑛-10+C𝑛-21+C𝑛-32+C𝑛-43+C𝑛-54+…,第(n+1)条细斜线上各数之和为C𝑛0+C𝑛-11+C𝑛-22+C𝑛-33+C𝑛-44+C𝑛-55+…,故这两条细斜线上各数之和为(C𝑛-10+C𝑛-21+C𝑛-32+C𝑛-43+C𝑛-54+…)+(C𝑛0+C𝑛-11+C𝑛-22+C𝑛-33+C𝑛-44+C𝑛-55+…)=C𝑛0+(C𝑛-10+C𝑛-11)+(C𝑛-21+C𝑛-22)+(C𝑛-32+C𝑛-33)+(C𝑛-43+C𝑛-44)+…=C𝑛+10+C𝑛1+C𝑛-12+C𝑛-23+C𝑛-34+….等式右边正好是第(n+2)条细斜线上各数之和,所以第n条和第(n+1)条细斜线上各数之和与第(n+2)条细斜线上各数之和相等.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究二求展开式的各项系数之和赋值法是求二项展开式系数及有关问题的常用方法,取值要有利于问题的解决,可以取一个值或几个值,也可以取几组值,解决问题时要避免漏项.一般地,对于多项式f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,各项系数和为f(1).奇次项系数和为12[f(1)-f(-1)],偶次项系数和为12[f(1)+f(-1)],a0=f(0).ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四【典型例题2】已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7.求:(1)a1+a2+…+a7;(2)a1+a3+a5+a7;(3)a0+a2+a4+a6;(4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|.思路分析:本题考查求二项展开式系数和问题,常用赋值法,注意取值要有利于问题的解决,可以取一个值或几个值,也可以取几组值.解:令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1,①令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37,②(1)因为a0=C70=1,所以由①得,a1+a2+a3+…+a7=-1-1=-2.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四(2)由(①-②)÷2,得a1+a3+a5+a7=-1-372=-1094.(3)由(①+②)÷2,得a0+a2+a4+a6=-1+372=1093.(4)因为(1-2x)7展开式中,a0,a2,a4,a6大于零,而a1,a3,a5,a7小于零,所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7).所以由(2),(3)即可得其值为1093-(-1094)=2187.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究三求系数最大的项解决此类问题首先要注意区分“二项式系数最大”“展开式系数最大”及“最大项”.求二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质,n为奇数时,中间两项的二项式系数最大,n为偶数时,中间一项的二项式系数最大.而求展开式中系数最大项需根据各项系数的正、负变化情况,采用列不等式(组)的方法求解,在系数均为正数的前提下,只需比较相邻两个系数的大小,即设第(r+1)项的系数最大,则𝑇𝑟+1的系数≥𝑇𝑟的系数,𝑇𝑟+1的系数≥𝑇𝑟+2的系数.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四【典型例题3】已知(x3+x)2n的展开式的系数和比(3x-1)n的展开式的系数和大992.(1)求在2x-1x2𝑛的展开式中,二项式系数最大的项;(2)求在2x-1x2𝑛的展开式中,系数的绝对值最大的项.思路分析:首先根据题目条件确定n值,(1)中根据指数的奇偶性确定所求的项,(2)列出不等式组求解.解:由题意得22n-2n=992,解得n=5.(1)2x-1x10的展开式中第6项的二项式系数最大,该项为T6=C105·(2x)5·-1x5=-8064.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四(2)设第(r+1)项的系数的绝对值最大,则Tr+1=C10𝑟·(2x)10-r·-1x𝑟=(-1)r·C10𝑟·210-r·x10-2r,所以C10𝑟·210-𝑟≥C10𝑟-1·210-𝑟+1,C10𝑟·210-𝑟≥C10𝑟+1·210-𝑟-1,所以C10𝑟≥2C10𝑟-1,2C10𝑟≥C10𝑟+1,即11-𝑟≥2𝑟,2(𝑟+1)≥10-𝑟.解得83≤r≤113.因为0≤r≤10,且r∈N,所以r=3.故系数的绝对值最大的项是第4项.该项为T4=C103(2x)7-1x3=-15360x4.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究四易错辨析易错点:忽略a0或符号变化造成错误【典型例题4】已知(1-2x3)3=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,求a1+a2+…+a9的值.错解:令x=1,则原式=(1-2)3=-1.错因分析:错因在于未注意到式子a1+a2+…+a9中没有a0,致使赋值x=1后,便认为得到的结果为所求值.正解:令x=1,则原式=(1-2)3=a0+a1+…+a9=-1.令x=0,则原式=a0=1,所以a1+a2+…+a9=-1-a0=-2.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点12341.已知C𝑛0+2C𝑛1+22C𝑛2+…+2nC𝑛𝑛=729,则C𝑛1+C𝑛3+C𝑛5的值等于()A.64B.32C.63D.31解析:C𝑛0+2C𝑛1+…+2nC𝑛2=(1+2)n=3n=729,所以n=6,所以C61+C63+C65=32.答案:BSUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点12342.已知关于x的二项式x+𝑎x3𝑛展开式的二项式系数之和为32,常数项为80,则a的值为()A.1B.±1C.2D.±2解析:由题意知2n=32,n=5,Tr+1=C5𝑟(x)5-rar·x-13r=C5𝑟arx52-56r.令52−56r=0,得r=3,所以a3C53=80,解得a=2.答案:CSUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点12343.在由二项式系数所构成的杨辉三角形中,第行中从左至右第12个数与第13个数的比为1∶2.解析:第n行从左到右的数分别为C𝑛0,C𝑛1,C𝑛2,…,C𝑛𝑛,则C𝑛11C𝑛12=12⇒𝑛!11!(𝑛-11)!𝑛!12!(𝑛-12)!=12!(𝑛-12)!11!(𝑛-11)!=12𝑛-11=12,从而有n=35.答案:35SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点12344.若(2x-1)4=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,则-a0+a1-a2+a3-a4=.解析:令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4=(-3)4=81,所以-a0+a1-a2+a3-a4=-81.答案:-81SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点