2018-2019学年高中数学 第三章 三角恒等变换 第1节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第3

1课下能力提升(二十四)[学业水平达标练]题组1化简求值1．下列各式中，值为32的是()A．2sin15°cos15°B．cos215°－sin215°C．2sin215°D．sin215°＋cos215°解析：选Bcos215°－sin215°＝cos30°＝32.2．cos275°＋cos215°＋cos75°cos15°＝()A.62B.32C.54D．1＋34解析：选C原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°＝1＋12sin30°＝1＋14＝54.3．求值：＋3－cos20°cos80°1－cos20°.解：∵sin50°(1＋3tan10°)＝sin50°cos10°＋3sin10°cos10°＝sin50°2sin40°cos10°＝1，cos80°1－cos20°＝sin10°2sin210°＝2sin210°，∴＋3－cos20°cos80°1－cos20°＝1－cos20°2sin210°＝2.题组2条件求值4．若tanα＝3，则sin2αcos2α的值等于()A．2B．3C．4D．6解析：选Dsin2αcos2α＝2sinαcosαcos2α＝2tanα＝2×3＝6.5．已知sin2α＝23，则sin2α＋π4＝()A.16B.12C.23D.562解析：选Dsin2α＋π4＝1－cos2α＋π42＝1＋sin2α2＝56.6．已知α∈π2，π，且sinα＝55，则tan2α＋π4＝()A．－43B.34C．7D．－17解析：选D因为α∈π2，π，且sinα＝55，所以cosα＝－255，所以tanα＝－12，由二倍角公式得tan2α＝2tanα1－tan2α＝－43，tan2α＋π4＝tan2α＋11－tan2α＝－17.7．已知角α在第一象限且cosα＝35，则1＋2cos2α－π4sinα＋π2＝()A.25B.75C.145D．－25解析：选C因为cosα＝35且α在第一象限，所以sinα＝45.所以cos2α＝cos2α－sin2α＝－725，sin2α＝2sinαcosα＝2425，原式＝1＋2cos2αcosπ4＋sin2αsinπ4cosα＝1＋cos2α＋sin2αcosα＝145.8．已知π2απ，cosα＝－45.(1)求tanα的值；(2)求sin2α＋cos2α的值．解：(1)因为cosα＝－45，π2απ，所以sinα＝35，所以tanα＝sinαcosα＝－34.(2)sin2α＝2sinαcosα＝－2425.cos2α＝2cos2α－1＝725，所以sin2α＋cos2α＝－2425＋725＝－1725.题组3倍角公式的综合应用39．函数f(x)＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．解析：f(x)＝1＋cos2x＋sin2x＝1＋2sin2x＋π4，∴f(x)的最小值为1－2.答案：1－210．已知0xπ2，sin2x2＋3sinx2cosπ＋x2＝－110，求tan2x＋π3的值．解：∵sin2x2＋3sinx2cosπ＋x2＝1－cosx2－3sinx2cosx2＝12－32sinx＋12cosx＝12－sinx＋π6，∴由已知得12－sinx＋π6＝－110，∴sinx＋π6＝35.∵0xπ2，结合sinx＋π6＝35易知π6x＋π6π2.∴cosx＋π6＝45，∴tanx＋π6＝34.∴tan2x＋π3＝2tanx＋π61－tan2x＋π6＝2×341－916＝247.[能力提升综合练]1.sin65°cos25°＋cos65°sin25°－tan222.5°2tan22.5°＝()A.12B．1C.3D．2解析：选B原式＝sin90°－tan222.5°2tan22.5°＝1－tan222.5°2tan22.5°＝1tan45°＝1.2．已知sin2α＝23，则tanα＋1tanα等于()4A．1B．2C．4D．3解析：选Dtanα＋1tanα＝sinαcosα＋cosαsinα＝112sin2α＝3.3．已知cos2x2cosx＋π4＝15，则sin2x＝()A．－2425B．－45C.2425D.255解析：选A∵cos2x2cosx＋π4＝15，∴cos2x－sin2xcosx－sinx＝15，∴cosx＋sinx＝15，∴1＋sin2x＝125，∴sin2x＝－2425.4．设a∈R，f(x)＝cosx(asinx－cosx)＋cos2π2－x满足f－π3＝f(0)，当x∈π4，11π24时，f(x)的值域为()A．[1,2]B．[2，3]C．[3，2]D．[2，2]解析：选Df(x)＝a2sin2x－1＋cos2x2＋1－cos2x2＝a2sin2x－cos2x，因为f－π3＝f(0)，所以a＝23，所以f(x)＝3sin2x－cos2x＝2sin2x－π6，x∈π4，11π24时，2x－π6∈π3，3π4，f(x)∈[2，2]．故选D.5．等腰三角形一个底角的余弦值为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________．解析：设A是等腰△ABC的顶角，则cosB＝23，sinB＝1－cos2B＝1－232＝53.所以sinA＝sin(180°－2B)＝sin2B＝2sinBcosB＝2×53×23＝459.5答案：4596．已知cos2α＝13，π2α2π，求1＋sinα－2cos2α23sinα＋cosα的值．解：原式＝sinα－cosα3sinα＋cosα，又∵cos2α＝13，∴2cos2α－1＝13，∴cos2α＝23，3π22α2π，∴3π4απ，∴cosα＝－63，sinα＝33，∴原式＝5＋427.7．设函数f(x)＝53cos2x＋3sin2x－4sinxcosx.(1)求f5π12；(2)若f(α)＝53，α∈π2，π，求角α.解：f(x)＝53cos2x＋3sin2x－4sinxcosx＝53cos2x＋53sin2x－2sin2x－43sin2x＝53－2sin2x－23(1－cos2x)＝33－2sin2x＋23cos2x＝33－4sin2x×12－cos2x×32＝33－4sin2xcosπ3－cos2xsinπ3＝33－4sin2x－π3.(1)f5π12＝33－4sin5π6－π3＝33－4sinπ2＝33－4.6(2)由f(α)＝53，得sin2α－π3＝－32，由α∈π2，π，得2α－π3∈2π3，5π3，∴2α－π3＝4π3，α＝5π6.