2018-2019学年高中数学 课时跟踪检测（七）类比推理（含解析）北师大版选修1-2

1课时跟踪检测（七）类比推理1．下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较合适()A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形解析：选C从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较为合适．2．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝2Sa＋b＋c；类比这个结论可知：四面体P­ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，四面体P­ABC的体积为V，则r＝()A.VS1＋S2＋S3＋S4B.2VS1＋S2＋S3＋S4C.3VS1＋S2＋S3＋S4D.4VS1＋S2＋S3＋S4解析：选C设内切球的球心为O，所以可将四面体P­ABC分为四个小的三棱锥，即O­ABC，O­PAB，O­PAC，O­PBC，而四个小三棱锥的底面积分别是四面体P­ABC的四个面的面积，高是内切球的半径，所以V＝13S1r＋13S2r＋13S3r＋13S4r＝13(S1＋S2＋S3＋S4)r，∴r＝3VS1＋S2＋S3＋S4.3．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为()A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29C．a1a2…a9＝2×9D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9解析：选D类比等比数列{bn}中b1b2b3…b9＝b95，可得在等差数列{an}中a1＋a2＋…＋a9＝9a5＝9×2.4．类比三角形中的性质：①两边之和大于第三边；②中位线长等于底边长的一半；③三内角平分线交于一点．可得四面体的对应性质：①任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；2②过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的14；③四面体的六个二面角的平分面交于一点．其中类比推理方法正确的有()A．①B．①②C．①②③D．都不对解析：选C以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．5．在△ABC中，D为BC的中点，则AD―→＝12()AB―→＋AC―→，将命题类比到四面体中去，得到一个命题为：______________________________________.．解析：平面中线段的中点类比到空间为四面体中面的重心，顶点与中点的连线类比顶点和重心的连线．答案：在四面体A­BCD中，G是△BCD的重心，则AG―→＝13()AB―→＋AC―→＋AD―→6．运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一条固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为k，那么甲的面积是乙的面积的k倍．你可以从给出的简单图形①②中体会这个原理．现在图③中的两个曲线方程分别是x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)与x2＋y2＝a2，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为__________．解析：由于椭圆与圆截y轴所得线段之比为ba，即k＝ba，所以椭圆面积S＝πa2·ba＝πab.答案：πab7．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则cos2A＋cos2B＝1，在空间中，给出四面体性质的猜想．解：如图，在Rt△ABC中，cos2A＋cos2B＝bc2＋ac2＝a2＋b2c2＝1.3于是把结论类比到四面体P­A′B′C′中，我们猜想，三棱锥P­A′B′C′中，若三个侧面PA′B′，PB′C′，PC′A′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.8．在公比为4的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，则T20T10，T30T20，T40T30也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和．(1)写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明；(2)写出该结论一个更为一般的情形(不必证明)．解：(1)在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和，则数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的．证明如下：∵等差数列{an}的公差d＝3，∴(S30－S20)－(S20－S10)＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝10d＋10d＋…＋10d＝100d＝300，10个同理可得：(S40－S30)－(S30－S20)＝300，所以数列S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差数列，且公差为300.(2)在公差为d的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和，则对于任意k∈N＋，数列S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k也成等差数列，且公差为k2d.9．先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a1，a2∈R，a1＋a2＝1，求证a21＋a22≥12.证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2，则f(x)＝2x2－2(a1＋a2)x＋a21＋a22＝2x2－2x＋a21＋a22.4因为对一切x∈R，恒有f(x)≥0，所以Δ＝4－8(a21＋a22)≤0，所以a21＋a22≥12.(1)若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，请写出上述结论的推广式；(2)类比上述证法，对你推广的结论加以证明．解：(1)若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，求证：a21＋a22＋…＋a2n≥1n.(2)证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2，则f(x)＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋a21＋a22＋…＋a2n＝nx2－2x＋a21＋a22＋…＋a2n.因为对一切x∈R，恒有f(x)≥0，所以Δ＝4－4n(a21＋a22＋…＋a2n)≤0.所以a21＋a22＋…＋a2n≥1n.5