2018-2019学年高中数学 课时跟踪检测（二）基本不等式（含解析）新人教A版选修4-5

1课时跟踪检测（二）基本不等式1．下列不等式中，正确的个数是()①若a，b∈R，则a＋b2≥ab；②若x∈R，则x2＋2＋1x2＋2≥2；③若x∈R，则x2＋1＋1x2＋1≥2；④若a，b为正实数，则a＋b2≥ab.A．0B．1C．2D．3解析：选C显然①不正确；③正确；对于②，虽然x2＋2＝1x2＋2无解，但x2＋2＋1x2＋22成立，故②正确；④不正确，如a＝1，b＝4.2．设正实数a，b满足a＋b＝1，则()A.1a＋1b有最大值4B.ab有最小值12C.a＋b有最大值2D．a2＋b2有最小值22解析：选C由于a0，b0，由基本不等式得1＝a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立，∴ab≤12，∴ab≤14，1a＋1b＝a＋bab＝1ab≥4，因此1a＋1b的最小值为4，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－12＝12，(a＋b)2＝a＋b＋2ab＝1＋2ab≤1＋1＝2，所以a＋b有最大值2，故选C.3．已知x0，y0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是()A．3B．4C.92D.112解析：选B由题意得x＋2y＝8－x·2y≥8－x＋2y22，当且仅当x＝2y时，等号成立，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，即(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，又x＋2y0，所以x＋2y≥4，故选B.4．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货2物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A．5千米处B．4千米处C．3千米处D．2千米处解析：选A由已知可得y1＝20x，y2＝0.8x(x为仓库到车站的距离)，所以费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋20x≥20.8x·20x＝8.当且仅当0.8x＝20x，即x＝5时等号成立．5．若x≠0，则f(x)＝2－3x2－12x2的最大值是________，取得最大值时x的值是________．解析：f(x)＝2－3x2＋4x2≤2－3×4＝－10，当且仅当x2＝4x2即x＝±2时取等号．答案：－10±26．若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________．(填序号)①ab≤1；②a＋b≤2；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤1a＋1b≥2.解析：两个正数，和定，积有最大值，即ab≤a＋b24＝1，当且仅当a＝b时取等号，故①正确；(a＋b)2＝a＋b＋2ab＝2＋2ab≤4，当且仅当a＝b时取等号，得a＋b≤2，故②错误；由于a2＋b22≥a＋b24＝1，故a2＋b2≥2成立，故③正确；a3＋b3＝(a＋b)(a2＋b2－ab)＝2(a2＋b2－ab)，∵ab≤1，∴－ab≥－1，又a2＋b2≥2，∴a2＋b2－ab≥1，∴a3＋b3≥2，故④错误；1a＋1b＝1a＋1b·a＋b2＝1＋a2b＋b2a≥1＋1＝2，当且仅当a＝b时取等号，故⑤成立．答案：①③⑤7．对于x∈0，π2，不等式1sin2x＋pcos2x≥16恒成立，则正数p的取值范围为________．解析：令t＝sin2x，则cos2x＝1－t.3又x∈0，π2，∴t∈(0,1)．不等式1sin2x＋pcos2x≥16可化为p≥16－1t(1－t)．而y＝16－1t(1－t)＝17－1t＋16t≤17－21t·16t＝9，当1t＝16t，即t＝14时取等号，因此若原不等式恒成立，只需p≥9.答案：[9，＋∞)8．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：(1)1a＋1b＋1ab≥8；(2)1＋1a1＋1b≥9.证明：(1)∵a＋b＝1，a＞0，b＞0，∴1a＋1b＋1ab＝1a＋1b＋a＋bab＝21a＋1b＝2a＋ba＋a＋bb＝2ba＋ab＋4≥4ba·ab＋4＝8(当且仅当a＝b＝12时，等号成立)，∴1a＋1b＋1ab≥8.(2)∵1＋1a1＋1b＝1a＋1b＋1ab＋1，由(1)知1a＋1b＋1ab≥8.∴1＋1a1＋1b≥9.9．已知x0，y0，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lgx＋lgy的最大值；(2)求1x＋1y的最小值．解：(1)∵x0，y0，∴由基本不等式，得2x＋5y≥210xy.∵2x＋5y＝20，∴210xy≤20，即xy≤10，当且仅当2x＝5y时等号成立．因此有2x＋5y＝20，2x＝5y，解得x＝5，y＝2，4此时xy有最大值10.∴u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1.∴当x＝5，y＝2时，u＝lgx＋lgy有最大值1.(2)∵x0，y0，∴1x＋1y＝1x＋1y·2x＋5y20＝1207＋5yx＋2xy≥1207＋25yx·2xy＝7＋21020，当且仅当5yx＝2xy时等号成立．由2x＋5y＝20，5yx＝2xy，解得x＝1010－203，y＝20－4103.∴1x＋1y的最小值为7＋21020.10．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000m2，人行道的宽分别为4m和10m(如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比A1B1B1C1＝x，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；(2)要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽应如何设计？解：(1)设休闲区的宽为am，则其长为axm，由a2x＝4000，得a＝2010x.则S(x)＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160＝4000＋(8x＋20)·2010x＋160＝80102x＋5x＋4160(x1)．5(2)由(1)知，S≥8010×22x·5x＋4160＝1600＋4160＝5760.当且仅当2x＝5x即x＝2.5时取等号，此时a＝40，ax＝100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100m，宽40m.