2018-2019学年高中数学 课时跟踪检测（十三）最大值、最小值问题（含解析）北师大版选修2-2

1课时跟踪检测（十三）最大值、最小值问题1．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M＝m，则f′(x)()A．等于0B．大于0C．小于0D．以上都有可能答案：A2．函数f(x)＝x3－x2－x＋a在区间[0,2]上的最大值是3，则a的值为()A．2B．1C．－2D．－1解析：选Bf′(x)＝3x2－2x－1，令f′(x)＝0，解得x＝－13(舍去)或x＝1，又f(0)＝a，f(1)＝a－1，f(2)＝a＋2，则f(2)最大，即a＋2＝3，所以a＝1.3．函数f(x)＝12ex(sinx＋cosx)在区间0，π2上的值域为()A.12，12e2πB.12，12e2πC．[1，e2π]D．(1，e2π)解析：选Af′(x)＝12ex(sinx＋cosx)＋12ex(cosx－sinx)＝excosx，当0≤x≤π2时，f′(x)≥0，∴f(x)在0，π2上是增函数．∴f(x)的最大值为fπ2＝12e2π，f(x)的最小值为f(0)＝12.4.如图，将直径为d的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比(强度系数为k，k0)．要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x应为()A.d3B.d2C.33dD.22d解析：选C设断面高为h，则h2＝d2－x2.设横梁的强度函数为f(x)，则f(x)＝k·xh22＝k·x(d2－x2)，0xd.令f′(x)＝k(d2－3x2)＝0，解得x＝±33d(舍去负值)．当0x33d时，f′(x)0，f(x)单调递增；当33dxd时，f′(x)0，f(x)单调递减．所以函数f(x)在定义域(0，d)内只有一个极大值点x＝33d.所以x＝33d时，f(x)有最大值，故选C.5．设x0是函数f(x)＝12(ex＋e－x)的最小值点，则曲线上点(x0，f(x0))处的切线方程是________．解析：f′(x)＝12(ex－e－x)，令f′(x)＝0，∴x＝0，可知x0＝0为最小值点．切点为(0,1)，f′(0)＝0为切线斜率，∴切线方程为y＝1.答案：y＝16．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝________.解析：∵f′(x)＝3x2－3，∴当x＞1或x＜－1时，f′(x)＞0；当－1＜x＜1时，f′(x)＜0.∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增．∴f(x)min＝f(1)＝1－3－a＝－2－a＝n.又∵f(0)＝－a，f(3)＝18－a，∴f(0)＜f(3)．∴f(x)max＝f(3)＝18－a＝m，∴m－n＝18－a－(－2－a)＝20.答案：207．已知k为实数，f(x)＝(x2－4)(x＋k)．(1)求导函数f′(x)；(2)若x＝－1是函数f(x)的极值点，求f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值．解：(1)∵f(x)＝x3＋kx2－4x－4k，∴f′(x)＝3x2＋2kx－4.(2)由f′(－1)＝0，得k＝－12.∴f(x)＝x3－12x2－4x＋2，f′(x)＝3x2－x－4.由f′(x)＝0，得x＝－1或x＝43.3又f(－2)＝0，f(－1)＝92，f43＝－5027，f(2)＝0，∴f(x)在区间[－2,2]上的最大值为92，最小值为－5027.8．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问：x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问：x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)．由已知得a＝2x，h＝60－2x2＝2(30－x)，0＜x＜30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，所以当x＝15时，S取得最大值．(2)V＝a2h＝22(－x3＋30x2)，V′＝62x(20－x)．由V′＝0得x＝0(舍去)或x＝20.当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．此时ha＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.4