2018-2019学年高中数学 课时跟踪检测（四）绝对值三角不等式（含解析）新人教A版选修4-5

1课时跟踪检测（四）绝对值三角不等式1．对于|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，下列结论正确的是()A．当a，b异号时，左边等号成立B．当a，b同号时，右边等号成立C．当a＋b＝0时，两边等号均成立D．当a＋b0时，右边等号成立；当a＋b0时，左边等号成立解析：选B当a，b异号且|a||b|时左边等号才成立，故A不正确；显然B正确；当a＋b＝0时，右边等号不成立，C不正确；D显然不正确．2．若|a－c|b，则下列不等式不成立的是()A．|a||b|＋|c|B．|c||a|＋|b|C．b|c|－|a|D．b||a|－|c||解析：选D∵|a－c|b，令a＝1，c＝2，b＝3.则|a|＝1，|b|＋|c|＝5，∴|a||b|＋|c|成立．|c|＝2，|a|＋|b|＝4，∴|c||a|＋|b|成立．||c|－|a||＝||2|－|1||＝1，∴b||c|－|a||成立．故b||a|－|c||不成立．3．不等式|a＋b||a|＋|b|1成立的充要条件是()A．a，b都不为零B．ab0C．ab为非负数D．a，b中至少有一个不为零解析：选B|a＋b||a|＋|b|1⇔|a＋b||a|＋|b|⇔a2＋b2＋2aba2＋b2＋2|ab|⇔ab|ab|⇔ab0.4．“|x－a|m且|y－a|m”是“|x－y|2m”(x，y，a，m∈R)的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A∵|x－a|m，|y－a|m，∴|x－a|＋|y－a|2m.又∵|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|，∴|x－y|2m，但反过来不一定成立，如取x＝3，y＝1，a＝－2，m＝2.5，|3－1|2×2.5，但|3－(－2)|2.5，|1－(－2)|2.5，∴|x－y|2m不一定有|x－a|m且|y－a|m，故“|x－a|m且|y－a|m”是“|x－y|2m”(x，y，a，m∈R)的充分不必要条件．25．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．解析：|x－a|＋|x－1|≥|a－1|，则只需要|a－1|≤3，解得－2≤a≤4.答案：[－2,4]6．若ab0，则下面四个不等式：①|a＋b||a|；②|a＋b||b|；③|a＋b||a－b|；④|a＋b||a|－|b|中，正确的有________．解析：∵ab0，∴a，b同号．∴|a＋b|＝|a|＋|b|.∴①④正确．答案：①④7．下列四个不等式：①logx10＋lgx≥2(x1)；②|a－b||a|＋|b|；③ba＋ab≥2(ab≠0)；④|x－1|＋|x－2|≥1，其中恒成立的是________．(填序号)解析：logx10＋lgx＝1lgx＋lgx≥2，①正确；ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|，②不正确；∵ab≠0时，ba与ab同号，∴ba＋ab≥2，③正确；由|x－1|＋|x－2|的几何意义知|x－1|＋|x－2|≥1恒成立，④也正确，综上可知①③④正确．答案：①③④8．设a，b∈R，ε0，|a|ε4，|b|23ε.求证：|4a＋3b|3ε.证明：∵|a|ε4，|b|23ε，∴|4a＋3b|≤|4a|＋|3b|＝4|a|＋3|b|4·ε4＋3·2ε3＝3ε.39．已知函数f(x)＝ax2＋x－a(－1≤x≤1)，且|a|≤1，求证：|f(x)|≤54.证明：∵－1≤x≤1，∴|x|≤1，又∵|a|≤1，∴|f(x)|＝|a(x2－1)＋x|≤|a(x2－1)|＋|x|≤|x2－1|＋|x|＝1－|x|2＋|x|＝－|x|－122＋54≤54.10．设函数y＝|x－4|＋|x－3|.求(1)y的最小值；(2)使ya有解的a的取值范围；(3)使y≥a恒成立的a的最大值．解：(1)∵y＝|x－4|＋|x－3|≥|x－4＋3－x|＝1，当且仅当3≤x≤4时取等号，∴ymin＝1.(2)由(1)知y≥1.要使ya有解，∴a1.即a的取值范围为(1，＋∞)．(3)要使y≥a恒成立，只要y的最小值1≥a即可．∴amax＝1.4