2018-2019学年高中数学 阶段质量检测（三）导数应用（含解析）北师大版选修2-2

1阶段质量检测（三）导数应用(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．曲线y＝12x2－2x在点1，－32处的切线的倾斜角为()A．－135°B．45°C．－45°D．135°解析：选D∵y′＝x－2，∴1，－32处的切线斜率为－1，倾斜角为135°.2．下列求导运算正确的是()A．(cosx)′＝sinxB．(ln2x)′＝1xC．(3x)′＝3xlog3eD．(x2ex)′＝2xex解析：选B(cosx)′＝－sinx，(3x)′＝3xln3，(x2ex)′＝2xex＋x2ex.3．已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则y＝f(x)()A．在(－∞，0)上为减少的B．在x＝0处取极小值C．在(4，＋∞)上为减少的D．在x＝2处取极大值解析：选C在(－∞，0)上，f′(x)0，故f(x)在(－∞，0)上为增函数，A错；在x＝0处，导数由正变负，f(x)由增变减，故在x＝0处取极大值，B错；在(4，＋∞)上，f′(x)0，f(x)为减函数，C对；在x＝2处取极小值，D错．4．函数f(x)＝x2－lnx的单调递减区间是()A.0，22B.22，＋∞C.－∞，－22，0，22D.－22，0，0，22解析：选A∵f′(x)＝2x－1x＝2x2－1x，当0＜x≤22时，f′(x)≤0，故f(x)的单调2递减区间为0，22.5．函数f(x)＝x＋2cosx在0，π2上取最大值时的x值为()A．0B.π6C.π3D.π2解析：选B由f′(x)＝1－2·sinx＝0，得sinx＝12，又x∈0，π2，所以x＝π6，当x∈0，π6时，f′(x)0；当x∈π6，π2时，f′(x)0，故x＝π6时取得最大值．6．函数f(x)＝ax3＋x＋1有极值的充要条件是()A．a0B．a≥0C．a0D．a≤0解析：选Cf′(x)＝3ax2＋1，由题意得f′(x)＝0有实数根，即a＝－13x2(x≠0)，所以a0.7．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为()A．[0,1)B．(0,1)C．(－1,1)D.0，12解析：选Bf′(x)＝3x2－3a，由于f(x)在(0,1)内有最小值，故a0，且f′(x)＝0的解为x1＝a，x2＝－a，则a∈(0,1)，∴0a1.8．曲线f(x)＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是()A．1B．2C.5D．3解析：选C直线2x－y＋3＝0的斜率为2，f′(x)＝22x－1，令22x－1＝2，解得x＝1，由于f(1)＝ln(2－1)＝0，故曲线f(x)过(1,0)的切线斜率为2，则点(1,0)到直线2x－y＋3＝0的距离d＝|2－0＋3|22＋－2＝5，3即曲线f(x)＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是5，故选C.9．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1200＋275x3，且产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为()A．15件B．20件C．25件D．30件解析：选C设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知k＝250000，则a2x＝250000，所以a＝500x.总利润y＝500x－275x3－1200(x0)，y′＝250x－225x2，由y′＝0，得x＝25，x∈(0,25)时，y′0，x∈(25，＋∞)时，y′0，所以x＝25时，y取最大值．10．若函数f(x)＝x2＋ax＋1x在13，＋∞上是增函数，则实数a的取值范围是()A．[－1,0]B.0，253C.253，＋∞D．[9，＋∞)解析：选C∵f(x)＝x2＋ax＋1x在13，＋∞上是增函数，∴f′(x)＝2x＋a－1x2≥0在13，＋∞上恒成立，∵f′(x)＝2x＋a－1x2在13，＋∞上递增，∴f′13＝23－9＋a≥0，∴a≥253.故选C.11．已知a∈R，函数f(x)＝13x3－ax2＋ax＋2的导函数f′(x)在(－∞，1)上有最小值，若函数g(x)＝fxx，则()A．g(x)在(1，＋∞)上有最大值B．g(x)在(1，＋∞)上有最小值C．g(x)在(1，＋∞)上为减函数D．g(x)在(1，＋∞)上为增函数4解析：选D函数f(x)＝13x3－ax2＋ax＋2的导函数f′(x)＝x2－2ax＋a，f′(x)图像的对称轴为x＝a，又导函数f′(x)在(－∞，1)上有最小值，所以a1.函数g(x)＝fxx＝x＋ax－2a，g′(x)＝1－ax2＝x2－ax2，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)0，所以g(x)在(1，＋∞)上为增函数．故选D.12．设函数f′(x)是函数f(x)(x∈R)的导函数，若f(x)－f(－x)＝2x3，且当x0时，f′(x)3x2，则不等式f(x)－f(x－1)3x2－3x＋1的解集为()A．(－∞，2)B.12，＋∞C.－∞，12D．(2，＋∞)解析：选B令F(x)＝f(x)－x3，则F′(x)＝f′(x)－3x2，由f(x)－f(－x)＝2x3，可得F(－x)＝F(x)，故F(x)为偶函数，又当x0时，f′(x)3x2，即F′(x)0，∴F(x)在(0，＋∞)上为增函数．不等式f(x)－f(x－1)3x2－3x＋1可化为f(x)－x3f(x－1)－(x－1)3，∴F(x)F(x－1)，∴F(|x|)F(|x－1|)，∴由函数的单调性可知|x||x－1|，解得x12.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)13．函数y＝2x3－6x2＋11的单调递减区间为________．解析：y′＝6x2－12x，令6x2－12x0，得0x2.答案：(0,2)14．已知函数f(x)＝12x－sinx，x∈(0，π)，则f(x)的最小值为________．解析：令f′(x)＝12－cosx＝0，得x＝π3.当x∈0，π3时，f′(x)0；当x∈π3，π时，f′(x)0，f(x)在x＝π3处取得极小值．又f(x)在(0，π)上只有一个极值点，易知fπ3＝12×π3－32＝π－336即为f(x)的最小值．5答案：π－33615．已知函数f(x)＝xex＋c有两个零点，则c的取值范围是________．解析：∵f′(x)＝ex(x＋1)，∴易知f(x)在(－∞，－1)上是减少的，在(－1，＋∞)上是增加的，且f(x)min＝f(－1)＝c－e－1，由题意得c－e－10，得ce－1.答案：(－∞，e－1)16．已知函数f(x)＝2lnx＋ax2(a0)．若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：f(x)≥2即a≥2x2－2x2lnx.令g(x)＝2x2－2x2lnx，则g′(x)＝2x(1－2lnx)．由g′(x)＝0得x＝e12，0(舍去)，且0xe12时，g′(x)0；当xe12时g′(x)0，∴x＝e12时g(x)取最大值g(e12)＝e，∴a≥e.答案：[e，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝lnx－ex＋m在x＝1处有极值，求m的值及f(x)的单调区间．解：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－ex＋m，由题意f′(1)＝0，解得m＝－1，∴f′(x)＝1x－ex－1，利用基本函数单调性可知，在(0，＋∞)上f′(x)是减少的，且f′(1)＝0，所以当0x1时，f′(x)0，f(x)是增加的，当x1时，f′(x)0，f(x)是减少的．∴f(x)的单调增区间是(0,1)，单调减区间是(1，＋∞)．618．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3－12x2＋bx＋c.(1)若f(x)有极值，求b的取值范围；(2)若f(x)在x＝1处取得极值，且当x∈[－1,2]时，f(x)c2恒成立，求c的取值范围．解：(1)f′(x)＝3x2－x＋b，则方程f′(x)＝0有两个不相等的实根，由Δ0得1－12b0即b112.所以b的取值范围是－∞，112.(2)∵f(x)在x＝1处取得极值，∴f′(1)＝0，∴3－1＋b＝0，得b＝－2.则f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)．令f′(x)＝0，得x1＝－23，x2＝1，又f(－1)＝12＋c，f－23＝3827＋c，f(1)＝－32＋c，f(2)＝2＋c.∴f(x)max＝2＋cc2，解得c2或c－1.∴c的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．19．(本小题满分12分)设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．解：(1)因为f(x)＝xea－x＋bx，所以f′(x)＝(1－x)ea－x＋b.依题设有f＝2e＋2，f＝e－1，即2ea－2＋2b＝2e＋2，－ea－2＋b＝e－1.解得a＝2，b＝e.(2)由(1)知f(x)＝xe2－x＋ex.由f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x0知，f′(x)与1－x＋ex－1同号．7令g(x)＝1－x＋ex－1，则g′(x)＝－1＋ex－1.所以当x∈(－∞，1)时，g′(x)0，g(x)在区间(－∞，1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)0，g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．故g(1)＝1是g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g(x)0，x∈(－∞，＋∞)．综上可知，f′(x)0，x∈(－∞，＋∞)，故f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．20．(本小题满分12分)已知某厂生产x件产品的成本C＝25000＋200x＋140x2(单位：元)．(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，则应生产多少产品？解：(1)设平均成本为y元，则y＝25000＋200x＋140x2x＝25000x＋200＋x40，y′＝25000x＋200＋x40′＝－25000x2＋140，令y′＝0，得x1＝1000，x2＝－1000(舍去)．当在x＝1000附近左侧时y′0，当在x＝1000附近右侧时y′0，故当x＝1000时，函数取得极小值，由于函数只有一个点使y′＝0，且函数在该点有极小值，故函数在该点取得最小值，因此，要使平均成本最低，应生产1000件产品．(2)利润函数L＝500x－25000＋200x＋x240＝300x－25000－x240.L′＝300x－25000－x240′＝300－x20，令L′＝0，解得x＝6000.当在x＝6000附近左侧时L′0，当在x＝6000附近右侧时L′0，故当x＝6000时，函数取得极大值，由于函数只有一个使L′＝0的点，且函数在该点有极大值，故函数在该点取得最大值．因此，要使利润最大，应生产6000件产品．21．(本小题满分12分)若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－43.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若方程f(x)＝k有3个不同的根，求实数k的取值范围．解：(1)f′(x)＝3ax2－b，由题意，得f＝0，f＝－43，8即12a－b＝0，8a－2b＋4＝－43，解得