自动控制原理-第8章非线性系统

自动控制原理——第8章非线性系统§自动化、电气专业最重要的专业基础课之一§2第8章非线性控制系统分析8-1非线性系统概述8-2常见非线性特性及其影响8-3相平面法8-4描述函数法8-5逆系统法（自学）3§8-1非线性系统概述1.研究非线性的意义非线性是宇宙间的普遍规律实际系统基本上都是非线性的（动态和静态）线性只是理想情况，在非线性不严重的情况下可以用线性近似非线性系统的运动形式多样，种类繁多很多明显严重的非线性是不能近似的4非线性实例：1)某些典型非线性环节饱和特性；死区特性；继电特性等饱和特性xy0aa0kxy0aa0k死区特性继电特性xy0MMaa52.非线性系统的数学模型f,g为非线性函数3.非线性系统的处理手段当系统中含有一个或多个具有非线性特性的元件时，该系统称为非线性系统。其数学模型一般表为：有些可以近似为线性系统，以简化处理：当非线性程度不严重时，忽略非线性特性的影响；在系统的工作点附近，用小偏差法将非线性模型线性化。非线性系统千差万别，对于非线性系统目前还没有普遍适用的处理方法64.非线性系统的特征根本特征：不能应用叠加原理1）稳定性分析复杂线性系统只有一个平衡（稳定）状态，一般为原点。非线性系统可能有多个平衡状态，稳定性与平衡状态相联系稳定性不仅取决于系统的结构参数，还与外作用形式和幅值以及系统的初始状态有关。2xxx【例8.1.1】非线性系统方程为分析其平衡状态。7解微分方程，得ttexxextx0001)(0100texx由1ln00xxt120(1)00,1xxxxxx其平衡状态为设t=0时状态初值为0x)1(xxx0x1]当且时10x1ln00xxt随增大到无穷大xt所以，是不稳定平衡点12x82]当时10x,0x随增大而减小至0xt且时，0x0x所以，是稳定平衡点01x(1),xxx当时00x,0x随增大而增大至0xt92)可能出现自激震荡现象自激振荡：指在没有外界周期变化信号的作用时，系统内产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运动，简称自振。自振是非线性系统特有的现象线性系统只有在临界稳定时才会出现周期振荡，但不是自激振荡10考虑范德波尔（vanderpol）方程0,0)1(22xxxx描述的是具有非线性阻尼的非线性二阶系统当时，系统具有负阻尼，状态发散1x0)1(22x当时，系统具有正阻尼，状态收敛1x0)1(22x当时，系统具有零阻尼，系统周期振荡1x0)1(22x所以，该系统从任何初始状态开始，都会出现自振111,0)1(22xxxx不同初值的仿真计算051015202530-4-3-2-10123x0=2x0=-3x0=0.5：不同的初值都出现自振123）频率响应发生畸变在正弦信号作用下的稳态输出不一定是正弦信号。对于多值非线性环节，各次谐波分量的幅值可能跃变一般情况下系统不允许自振，但有时利用高频小振幅自振克服系统的间隙、死区等对系统的不良影响，提高系统的精度。振荡器利用自振产生确定频率和振幅的振荡信号。研究自振产生的条件，确定自振的频率和周期是非线性系统分析的重要内容。13②描述函数法频域分析法的推广——图解分析法。对非线性特性进行谐波线性化处理。适用于系统的线性部分具有较好的低通滤波性能。分析系统的稳定性，确定自激振荡。③逆系统法运用内环非线性反馈控制，构成伪线性系统设计外环控制网络直接研究非线性控制问题，不必求解运动方程一种有前途的非线性系统研究方向①相平面法时域分析法的推广——利用相平面图的图解分析法。仅适用于一阶和二阶系统。3.非线性系统的分析设计方法14手机号码变更为：18954286909元旦假期期间复习自控，建议完成前七章；复习重点放在重点内容的习题计算上！计算、计算、计算。。。。。。15§8-2常见的非线性特性1.等效增益定义：非线性特性y=f(x)的输出与输入的比值理想放大器为比例环节，其增益为常数。非线性环节的等效增益随输入信号变化，可视为变增益比例环节。162.典型环节的等效增益①继电特性继电器、接触器、开关等②死区特性测量原件、执行机构的不灵敏区造成③饱和特性放大器、执行机构受电源电压及功率限制导致饱和现象17④间隙特性(滞环特性)齿轮间隙、磁滞效应等。间隙特性为非单值函数。⑤摩擦特性机械传动机构中普遍存在。183.常见非线性因素对系统运动的影响①继电特性使系统产生自振19②死区特性使系统存在稳态误差③饱和特性实际系统不会出现幅值到无穷大的发散运动20④间隙特性(滞环特性)由于死区，降低系统的精度非单值函数，在运动方向变化时不驱动负载，导致能量积累通过间隙后，积蓄的能量释放使负载运动加剧通常会造成系统自振对系统性能不利，尽量消除。⑤摩擦特性造成系统在低速运动时的不平滑性，呈跳跃式变化。静摩擦到动摩擦的跳变产生对系统性能不利21§8-3相平面法1相平面的基本概念设一个二阶系统可以用下列常微分方程描述),(xxfx1885年，庞加莱提出相平面法称为系统运动的相变量)(),(txtx为横坐标，为纵坐标的平面称为相平面)(tx)(tx0:)),(),((tttxtx构成的曲线称为相轨迹22233.相轨迹的绘制1）解析法找出和的关系,用求解微分方程的办法找出的关系，从而可在相平面上绘制相轨迹，xxa）消去参变量t由),(xxfx直接解出)(tx，通过求导得到)(tx。在这两个解中消去作为参变量的t，就得到xx的关系。例设描述系统的微分方程为0Mx其中M为常量，已知初始条件xxx)0(,0)0(。求其相轨迹。24解：Mx，积分有Mtx(1)再积分一次有221Mtxx(2)由(1),(2)式消去t有)(22xxMx25),(xxfxxx(,)dxxdtdxxfxxdt如果以和作为变量，则可有xxxfdxxd),(用第一个方程除第二个方程有b）直接积分法dxxdxdtdxdxxddtxdx),(xxfdxxdx或者26dxxhxdxg)()(可分解为xxxxdxxhxdxg)()(则由xx和的解析关系00xx和为初始条件可找出，xxxfdxxd),(27【例8.2.1】绘制如下系统的相轨迹0xx初值为00)0(,)0(xxxx解：微分方程改写为xdxxdxdtdxdxxddtxdx两边分别求积分，得)(212020xxxdxxx)(212020xxxdxxxdxxxdx)(202022xxxx28)(202022xxxx该方程表示的相轨迹是一个圆，且圆的半径与状态初值有关xx),(00xx-3-2-10123-3-2-10123x1x229-3-2-10123-3-2-10123x1x2如果能确定相平面的相轨迹切线方向场，则很容易绘制对应系统的相轨迹曲线。2）等倾线法30等倾线法的基本思想：首先确定相轨迹的等倾线，然后绘制相轨迹的切线方向场，最后由初始条件出发，沿方向场逐步绘制相轨迹。等倾线：相平面上具有相同相轨迹切线斜率的点的连线。dxxdxdtdxdxxddtxdx(,)dxxfxxdxxx该方程给出了相轨迹在相平面上任一点的切线斜率),(xxfx设二阶系统微分方程可以写为31k取相轨迹切线斜率为某一常数α，则),(xxfx等倾线方程由初始点出发，将相邻等倾线上的线段连接起来，即构成相轨迹。xxxfdxxd),(32使用等倾线法应注意：1）横坐标和纵坐标应采用相同的比例尺2）在上半平面，由于，所以x随t增大而增大，相轨迹走向从左至右在下半平面，,x随t增大而减小，相轨迹走向从右至左0x0xk333）除系统平衡点外，相轨迹与x轴垂直相交4）等倾线越密，相轨迹越准确。可采用平均斜率法，即取相邻两条等倾线斜率的平均值为两条等倾线之间直线的斜率),(xxfxxxxf),(与x轴相交时，若则0x0),(xxf所以，除系统平衡点外，相轨迹与x轴垂直相交34xx11故等倾线方程为0xxx1)0(x0)0(x例8-2-2试绘制其相轨迹已知某二阶系统xxdxxdxxxxxdxxd解：（1）等倾线方程35xx1111tgk该等倾线显然为直线，其斜率为等倾线方程tgk对应的相轨迹经过该等倾线的斜率，即切线斜率：为等倾线与x轴的夹角为相轨迹切线与x轴的夹角θ的含义？36190arctg45)1(arctg当时11tgktgk2451arctg4.63)2(arctg当时x’x123794215.002.04.011435.228.16.14.12.17.53.114.186.266.33453.51597.54.186.267.33453.51592.687.783.84764.63456.2603.118.218.84766.712.684.6361584.5450x’xa=-1a=-2a=∝a=0a=11)0(x0)0(x38（1）线性一阶系统的相轨迹3.线性系统的相轨迹11dccccdtTcT3940（2）二阶系统的相轨迹0)()()(tbctcatc二阶系统的运动方程为当，可以表示为0b0)()(2)(2tctctcnn)()())(),(()(tbctcatctcftcbabn2,其中124222,1nnbaas其特征根为41相轨迹微分方程为()()((),())()()()()()()dctctfctctactbctdctctctct0)()(2)(2tctctcnnk)()()()()(tctbctcatdctcd令得等倾线方程为)()()(tkcatbctc其中,k为等倾线斜率为相轨迹上一点处切线的斜率42)()()(tkcatbctc在上式中，令0,042bba可得满足的两条特殊的等倾线，其斜率为kkcakbc02bakk当时k特殊等倾线的斜率等于位于该等倾线上相轨迹任一点的斜率，即当相轨迹运动到特殊等倾线上时，将沿着等倾线收敛或发散，而不可能脱离该等倾线。124222,12,12,1nnbaask431）b0当b0时，系统特征根为024,0242221baasbaas讨论二阶系统的相轨迹0)()()(tbctcatc44两条特殊的等倾线是相轨迹，也是其他相轨迹的渐近线，将平面分为4个区域。当初始条件位于csc2系统趋向于原点，但是只要受到极其微小的扰动，系统将沿着对应的相轨迹方向发散至无穷。所以，b0时，系统不稳定csc1452）b＝0系统特征根为ass21,0accdccd相轨迹微分方程为用积分法求得相轨