金属自由电子气体模型

11理学院物理系沈嵘第四章金属自由电子气体模型4.1模型及基态性质4.2自由电子气体的热性质4.3电场中的自由电子4.4霍尔效应和磁阻4.5金属的热导率4.6自由电子气体模型的局限性24.1模型及基态性质一经典电子气模型的基本假设金属：价电子→传导电子4.1模型及基态性质3自由电子模型:假设除了在金属表面层受到电势作用外,传导电子是完全自由的.表面电势的作用是将传导电子限制在样品内部.传导电子如同理想气体中的分子—自由电子气.电子密度：AZNnmAρ=3341srNVnπ==3143⎟⎠⎞⎜⎝⎛=nrsπ4.1模型及基态性质4总能量为动能，势能忽略基本假设：2碰撞为电子改变速度的瞬时事件，忽略电子之间的碰撞.3单位时间内电子发生碰撞的几率为1/τ.弛豫时间τ与电子位置和速度无关.1不发生碰撞时，忽略电子与离子实(自由电子近似)、电子与电子(独立电子近似)之间的相互作用.4电子和周围环境达到热平衡是通过碰撞实现的.4.1模型及基态性质5二量子自由电子气模型--单电子本征态和本征能量1薛定谔方程⇒三维势井中的单电子问题()0,,=zyxVLzyx,,0()∞=zyxV,,0,,≤zyxLzyx≥,,或()()rrmvvhεψψ=∇−222每一电子满足波动方程：()()zyxzyxzyxm,,,,22222222εψψ=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂−h势能：4.1模型及基态性质62边界条件()()tzyxtzyLx,,,,,,ψψ=+()()tzyxtzLyx,,,,,,ψψ=+()()tzyxtLzyx,,,,,,ψψ=+——周期性边界条件：3薛定谔方程的解()rkikeVrvvvv⋅=1ψ--波矢，--电子位矢kvrv()zyxkkkk,,=v()()mkkkmkkzyx22222222++==hhvε能量本征值：4.1模型及基态性质274矢量的意义kv()()rkrikkvvhvhvvψψ=∇−∇−=hipˆ--动量算符本征值kpvhv=处在态的电子具有一个与矢量成正比的确定的动量：()rkvvψkv速度：mkmpvvhvv==能量：22212mvmp==ε波长：kπλ2=4.1模型及基态性质8将平面波解代入边界条件：xxnLkπ2=yynLkπ2=zznLkπ2=1===LikLikLikzyxeee--一组整数zyxnnn,,自由电子的能量是不连续的，相邻能级相距很近.5空间与态密度(k-space)kv电子的状态由波矢确定。在空间中，每一波矢的端点代表一个可能的值。相邻代表点在三维坐标轴方向的间隔都是，每个代表点占有体积:kvkvLπ2kvVLk3382ππ=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∆v4.1模型及基态性质9VLk3382ππ=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∆v381πVk=∆单位空间体积中值数目：kvkv对每一态，电子有两种不同的自旋状态。∴单位空间体积所允许的单电子态数目：kvkv34πV4.1模型及基态性质10()kkVkgNvvvτπτd4dd3==态密度：单位体积样品、单位能量间隔，包含自旋的电子态数。()εg在标度下的态密度：kv()kgv()εεddVgN=由所确定的关系，在空间是半径为的球面。自由电子在空间的等能面是球面。mk222h=εkvhεm2kv能量的等能球壳内的电子状态数，对应于的状态数。εεεd~+kkkd~+kkVNd44d23ππ=()()2133221επεmgh=4.1模型及基态性质114.1模型及基态性质12三电子气的基态性质自由电子气的基态指绝对零度时，体系所处的状态.NT,0=费米球（Fermisphere)：电子按泡利不相容原理，能量从低至高逐级填充，在k空间中的球形占据区。费米波矢（Fermiwavevector)：Fkv()3123nkFπ=费米面（Fermisurface)4.1模型及基态性质313费米能量（Fermienergy)mkFF222h=ε电子平均能量：()()()∫∫∫==FFFgggNεεεεεεεεεεεε000ddd1FBFTk5353==εε基态具有一定的动能…4.1模型及基态性质144.2自由电子气体的热性质一费米分布自由电子在各能级上的分布：费米—狄拉克统计。温度，能量的量子状态在热平衡下被电子占据的几率为：Tiε()11+=−TkiBiefµε--系统化学势：在温度和体积不变的条件下，系统增加一个电子所需自由能.µ()()εεεd0fgVfNii∫∑∞==4.2自由电子气体的热性质1510→T(),1lim0=→iTfεµεi(),0lim0=→iTfεµεi绝对零度时，能量在以下的状态全部被电子占满，以上的状态是空的。化学势（费米能级）就是在绝对零度时，电子逐级填充所能占有的最高能量状态。µµ0T2µε=()21=εf在能级，被电子填充的几率和不被填充的几率相等µµεµε()1=εf()0=εf温度上升，发生变化的能量范围变宽。4.2自由电子气体的热性质16二化学势1基态,0=TFε()()εεεd0fgVN∫∞=()()2133221επεmgh=()()3222223220πεµnmmkFFhh===2热激发0TµTkB在费米面附近的电子可获得热能，跃迁到费米面以外的状态，费米面内的一些状态便空了出来⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=22121FBFTkεπεµ一般T,FBTkεFεµ≈4.2自由电子气体的热性质17三电子比热定容比热：VVTuc⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂=VUu=U—内能：()∑=kkfkUvvvε2∑=kkfNvv2()()εεεεd0fgu∫∞=()()εεεd0fgn∫∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=2201251FTTuuπ0u--基态时电子的平均能量FBVVTTnkTuc22π=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂=4.2自由电子气体的热性质18常温下：电子的贡献比例很小分析：经典理论，电子气平均能量：mol1RTTkNBAmol2323=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=ε一价金属：RTCmolemolV23,=∂∂=ε高温时金属的总比热容：emolVPhmolVVCCC,,+=Kmol/J40.37233⋅≈+=RR实际小于经典值emolVC，FeVTTC~量子：4.2自由电子气体的热性质419TCeVγ=--金属的电子比热常数γ低温：34,512⎟⎠⎞⎜⎝⎛Θ=DPhmolVTRCπPhmolVemolVVCCC,,+=3TTβγ+=2TTCVβγ+=2~TTCV——线性关系4.2自由电子气体的热性质204.3电场中的自由电子一准经典模型1电子受到散射牛顿定律、热平衡2弛豫时间（relaxationtime)τsFrkpx≈∆≈∆1hτtd碰撞几率：td经典处理Fthvv→准经典：TkBFε相差倍4.3电场中的自由电子21二电子的动力学方程t()tpvtd()()()[]ttFtptttpdd1dvvv+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=+τ()()()()τttpttFtpttpdddvvvv−=−+()()()τtptFttpvvv−=dd——自由电子在外场作用下的动力学方程4.3电场中的自由电子22三金属的电导率1经典图象()tvdv()()()τtvmtFttvmddddvvv−=恒定电场稳恒情形：()0dd=ttvdEeFvv−=mEevτvv−=d有外场：传导电子作定向运动无外场：传导电子作无规运动：0=平vv漂移速度：①由4.3电场中的自由电子23②对一电子，从上次碰撞发生起，有t时间行程无外场时速度为0vv有外场时，附加meEt−假设碰撞后电子出现的方向是随机的，0vv对总体的电子平均速度无影响，平vv平vv由各电子的附加速度取平均获得：mEevvτvvv−==平d4.3电场中的自由电子24电流密度：EmnevneJvvvτ2d=−=mneτσ2=EJvvσ=--欧姆定律电导率∝传导电子浓度，与m成反比2索末菲电子气图象kvmvhv=自由电子：在均匀的与时间无关的电场中：EeFvv−=4.3电场中的自由电子525由牛顿第二定律：EektvtmFvvhvv−===dddd积分，得：()()tEektkvhvv−=−0没有碰撞时，恒定的外加电场使空间中的费米球匀速移动.kv电子气填充以空间原点为中心的费米球.kv0=t施加电场Evt时刻，费米球中心移至：hvvtEek−=δ4.3电场中的自由电子26电子同杂质、晶格缺陷以及声子的碰撞，使移动的费米球在电场中维持一种稳态。如果驰豫时间为τ，则费米球中心移动：hvvτδEek−=4.3电场中的自由电子27mEevvdτδvvv−==平EmnevneJvvvτ2d=−=mneτσ2=EJvvσ=3电子的平均自由程经典电子气：τ0vl=量子电子气：τFvl=电子平均自由程比经典理论结果大很多.4.3电场中的自由电子28经典电子气—电子之间、电子与晶格原子实间的碰撞产生电阻。量子电子气—理想周期破坏，即原子实振动，缺陷等对电子的散射产生电阻。电流由少量的电子以很大的速度定向运动所致.费米统计和能带理论：∗=mneFτσ24.3电场中的自由电子294.4霍尔效应和磁阻电子在电磁场中受力：()BvEeFvvvv×+−=运动方程：()()()τtpBvEettpvvvvv−×+−=dd当轴zB//v，方程变为：vmpvv=4.4霍尔效应和磁阻30()BvEevtmyxx+−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+τ1dd()BvEevtmxyy−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+τ1ddzzeEvtm−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+τ1dd对静电场中的稳态，时间导数为零，漂移速度为：ycxxvEmevτωτ−−=xcyyvEmevτωτ+−=zzEmevτ−=meBc=ω--回旋频率4.4霍尔效应和磁阻631vneJvv−=mneτσ2=ycxxJJEτωσ+=0yxcyJJE+−=τωσ0长方体样品,沿x轴施加外电场Ex,存在电流Jx,在z轴加磁场B后,产生洛仑兹力在负y方向作用到电子上.电子聚集在导体负y方向一侧，在y方向建立电场。平衡时，这个横向场—霍尔电场Ey对电子的作用将抵消洛仑兹力。电流沿x方向。4.4霍尔效应和磁阻320=yJ时，霍尔电场：xxcyJneBJE−=−=0στω定义BJERxyH=--霍尔系数neRH1−=对自由电子，霍尔系数为负.测定霍尔系数是确定载流子浓度的重要手段之一.()xxJEB=ρ横向磁阻的变化4.4霍尔效应和磁阻334.5金属的热导率热传导：TJQ∇−=κ热导率：Pheκκκ+=绝缘体—声子金属—电子物理图象：热端具有较高能量的电子，向冷端扩散;冷端能量低的电子向热端扩散。冷热电子反向扩散，输运能量，不形成电流。4.5金属的热导率34准经典:热能输运由费米能附近电子参与自由电子气:vlcV31=κFFFBelvTTnk⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=2312πκFFFvlτ=TmnkFBe322τπκ=BFBFFkmvkT221==εFBVTTnkc22π=4.5金属的热导率35电导率：mneFτσ2=LekTBe≡⎟⎠⎞⎜⎝⎛=223πσκL--洛仑兹数Wiedemann-Franzlaw：在不太低的温度下，金属的热导率与电导率之比正比于温度。TmnkFBe322τπκ=28Ω/KW1045.2⋅×=−LT∝σκ4.5金属的热导率364.6自由电子气体模型的局限性一模型的主要成就能够解释的现象二模型的局限性不能解释的现象困难表现：1对固体热力学性质的预见是不完全的。2对输运系数的估计不充足。4.6自由电子气体模型的局限性737三模型基本假设的检查‡自由电子近似‡独立电子近似‡驰豫时间近似¾在两次碰撞之间,离子对电子的动力学影响被忽略¾离子作为碰撞源所起的作用¾离子本身对物理现象影响的可能性被忽略4.6自由电子气体模型的局限性