2019-2020学年高中数学 3.1.1 变化率问题课时作业（含解析）新人教A版选修1-1

课时作业21变化率问题知识点函数的平均变化率1.若函数y＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则ΔyΔx等于()A.4B.4xC.4＋2ΔxD.4＋2(Δx)2答案C解析ΔyΔx＝＋Δx2－1－1Δx＝4＋2Δx.2．一质点的运动方程是s＝4－2t2，则在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为()A.2Δt＋4B.－2Δt＋4C.2Δt－4D.－2Δt－4答案D解析ΔsΔt＝4－＋Δt2－4＋2×12Δt＝－4Δt－t2Δt＝－2Δt－4.3．已知函数f(x)＝－x2＋x在区间[t,1]上的平均变化率为2，则t＝________.答案－2解析∵Δy＝f(1)－f(t)＝(－12＋1)－(－t2＋t)＝t2－t，∴ΔyΔx＝t2－t1－t＝－t.又∵ΔyΔx＝2，∴t＝－2.4．将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率(体积的变化量与半径的变化量之比)为28π3，则m的值为________．答案2解析∵ΔV＝4π3m3－4π3×13＝4π3(m3－1)，∴ΔVΔR＝4π3m3－m－1＝28π3，即m2＋m＋1＝7，解得m＝2或m＝－3(舍去)．5．求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．解函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为fx0＋Δx－fx0x0＋Δx－x0＝x0＋Δx2＋2]－x20＋Δx＝6x0·Δx＋x2Δx＝6x0＋3Δx.当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.易错点忽略Δx的取值而致错6.函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为()A.k1k2B.k1k2C.k1＝k2D.不确定易错分析本题易认为Δx为正值而导致错误，而事实上，Δx可正，可负但不能为0.答案D解析由定义可知k1＝2x0＋Δx，k2＝2x0－Δx，因为Δx可正、可负但不可为0，所以k1与k2大小不确定．故选D.一、选择题1．函数f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为()A.3B.2C.1D.4答案B解析ΔyΔx＝m2－1－2－m－1＝m2－1m－1＝3，得m＝2，故选B.2．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为()A.0.40B.0.41C.0.43D.0.44答案B解析∵x＝2，Δx＝0.1，∴Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2.1)－f(2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41.3．某物体的运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是()A.v＝ΔsΔt＝st＋Δt－stΔtB.v＝stΔtC.v＝sttD.v＝st＋Δt－stΔt答案A解析由平均速度的定义可知，物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比，所以v＝ΔsΔt＝st＋Δt－stΔt，故选A.4．若函数f(x)＝－x2＋10的图象上一点32，314及邻近一点32＋Δx，314＋Δy，则ΔyΔx＝()A.3B.－3C.－3－(Δx)2D.－Δx－3答案D解析∵Δy＝f32＋Δx－f32＝－3Δx－(Δx)2，∴ΔyΔx＝－3Δx－x2Δx＝－3－Δx.故选D.二、填空题5．如图是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．答案34解析由函数f(x)的图象知，f(x)＝x＋32，－1≤x≤1，x＋1，1x≤3.所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为：f－f2－0＝3－322＝34.6．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为______．答案v3v2v1解析由平均速度的定义结合图象知v3v2v1.7．若正方体的棱长从x＝1到x＝a时正方体的体积膨胀率为21，则a的值为________．答案4解析ΔV＝a3－1，∴ΔVΔx＝a3－1a－1＝a2＋a＋1＝21.∴a2＋a－20＝0.∴a＝4或a＝－5(舍)．三、解答题8．已知f(x)＝x2－3x＋5，求函数f(x)从1到2的平均变化率．解Δx＝2－1＝1，Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(2)－f(1)＝22－3×2＋5－(12－3×1＋5)＝0.∴ΔyΔx＝0.∴函数f(x)从1到2的平均变化率为0.9．求正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝π2附近的平均变化率，并比较它们的大小．解当自变量从0到0＋Δx时，设函数的平均变化率为k1，则k1＝sinΔx－sin0Δx＝sinΔxΔx.当自变量从π2到π2＋Δx时，设函数的平均变化率为k2，则k2＝sinπ2＋Δx－sinπ2Δx＝cosΔx－1Δx.当Δx0时，k10，k20，此时k1k2；当Δx0时，k1－k2＝sinΔxΔx－cosΔx－1Δx＝2sinΔx－π4＋1Δx，∵Δx0且Δx无限趋近于0，∴Δx－π4－π4，∴sinΔx－π4－22，即2sinΔx－π4＋10，∴k1－k20，即k1k2.综上可得，正弦函数y＝sinx在x＝0附近的平均变化率大于在x＝π2附近的平均变化率．