2019-2020学年高中数学 3.1.1 数系的扩充和复数的概念课时作业（含解析）新人教A版选修1

课时作业8数系的扩充和复数的概念知识点一复数的概念1.复数2－32i的虚部为()A．2B．－32C．2－32D．0答案C解析由复数定义知C正确．2．设集合A＝{实数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，若全集S＝C，则下列结论正确的是()A．A∪B＝CB．A＝BC．A∩(∁SB)＝∅D．(∁SA)∪(∁SB)＝C答案D解析集合A，B，C的关系如图，可知只有(∁SA)∪(∁SB)＝C正确．知识点二复数的分类3.下列命题中：①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；②若复数z＝－5i，则复数z的实部为0；③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；④若复数z＝3i2，则它的虚部是3.其中正确命题的序号是()A．①B．②C．②③D．②③④答案B解析在①中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，而是实数，故①错误．在②中－5i为纯虚数，故②正确．在③中，若x＝－1，则(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i＝0，故③错误．在④中z＝3i2＝－3，故它的虚部为0，故④错误，所以选B.4．若a，b∈R，i是虚数单位，且b＋(a－2)i＝1＋i，则a＋b的值为()A．1B．2C．3D．4答案D解析由b＋(a－2)i＝1＋i，得b＝1，a＝3，所以a＋b＝4.知识点三复数相等的充要条件5.已知x2＋y2－6＋(x－y－2)i＝0求实数x，y的值．解由复数相等的条件得方程组x2＋y2－6＝0，①x－y－2＝0，②由②得x＝y＋2，代入①得y2＋2y－1＝0，解得y1＝－1＋2，y2＝－1－2.所以x1＝y1＋2＝1＋2，x2＝y2＋2＝1－2，即x＝1＋2，y＝－1＋2或x＝1－2，y＝－1－2.易错点对纯虚数的概念把握不准6.设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.易错分析复数z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数的充要条件为a＝0，b≠0，二者缺一不可，本题易忽视“纯虚数虚部不为0”这一条件而致误．答案－2解析复数m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数的充要条件是m2＋m－2＝0，m2－1≠0，解得m＝1或m＝－2，m≠±1，即m＝－2.故m＝－2时，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数．一、选择题1．下列各数中，纯虚数的个数是()3＋7，23i,0i,8＋3i，(2＋3)i,0.618A．0B．1C．2D．3答案C解析根据纯虚数的定义知，23i，(2＋3)i是纯虚数．2．以－5＋2i的虚部为实部，以5i＋2i2的实部为虚部的复数是()A．2－2iB．2＋2iC．－5＋5iD.5＋5i答案A解析－5＋2i的虚部为2，5i＋2i2＝－2＋5i，其实部为－2，故所求复数为2－2i.3．在下列命题中，正确命题的个数是()①两个复数不能比较大小；②若z1和z2都是虚数，且它们的虚部相等，则z1＝z2；③若a，b是两个相等的实数，则(a－b)＋(a＋b)i必为纯虚数．A．0B．1C．2D．3答案A解析两个复数，当它们都是实数时，是可以比较大小的，故①错误；设z1＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)，z2＝c＋di(c，d∈R，且d≠0)，因为b＝d，所以z2＝c＋bi.当a＝c时，z1＝z2，当a≠c时，z1≠z2，故②错误；③当a＝b≠0时，(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数，当a＝b＝0时，(a－b)＋(a＋b)i＝0是实数，故③错误，因此选A.4．若sin2θ－1＋i(2cosθ＋1)是纯虚数，则θ的值为()A．2kπ－π4B．2kπ＋π4C．2kπ±π4D.kπ2＋π4(以上k∈Z)答案B解析由sin2θ－1＝0，2cosθ＋1≠0，得2θ＝2kπ＋π2，θ≠2kπ＋π±π4(k∈Z)．∴θ＝2kπ＋π4(k∈Z)．二、填空题5．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则a的取值范围是________．答案(－∞，－1)∪(－1，＋∞)解析若复数为纯虚数，则有|a－1|－1≠0，a2－a－2＝0，即a≠0且a≠2，a＝2或a＝－1，∴a＝－1.故复数不是纯虚数时a≠－1.6．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，z1z2，则a的值为________．答案0解析由z1z2，得2a2＋3a＝0，a2＋a＝0，－4a＋12a，即a＝0或a＝－32，a＝0或a＝－1，a16.解得a＝0.7．已知(3x＋y)＋(2x－y)i＝(7x－5y)＋3i，则实数x＝________，y＝________.答案9432解析∵x，y是实数，∴根据两个复数相等的充要条件，可得3x＋y＝7x－5y，2x－y＝3，解得x＝94，y＝32.三、解答题8．求适合等式(2x－1)＋i＝y＋(y－3)i的x，y的值．其中x∈R，y是纯虚数．解设y＝bi(b∈R且b≠0)，代入等式得(2x－1)＋i＝bi＋(bi－3)i，即(2x－1)＋i＝－b＋(b－3)i，∴2x－1＝－b，1＝b－3，解得x＝－32，b＝4.即x＝－32，y＝4i.9．定义运算abcd＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2yi－y1，求实数x，y的值．解由定义运算abcd＝ad－bc，得3x＋2yi－y1＝3x＋2y＋yi，故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi.因为x，y为实数，所以有x＋y＝3x＋2y，x＋3＝y，得2x＋y＝0，x＋3＝y，得x＝－1，y＝2.