2019-2020学年高中数学 第1讲 不等式和绝对值不等式章末复习课学案 新人教A版选修4-5

第1讲不等式和绝对值不等式[自我校对]①不等式的基本性质②a＋b2≥ab(a，b＞0)③算术­几何平均值不等式④绝对值三角不等式⑤|x－a|＋|x－b|≥c型不等式的性质及其应用主要考查利用不等式性质判断不等式或有关结论是否成立；再就是利用不等式性质，进行数值(或代数式)大小的比较；有时考查分类讨论思想，常与函数、数列等知识综合进行考查．考查形式多以选择题出现．【例1】若a，b是任意实数，且ab，则()A．a2b2B．ab1C．lg(a－b)0D．12a12bD[ab并不能保证a，b均为正数，从而不能保证A，B成立．又ab⇒a－b0，但不能保证a－b1，从而不能保证C成立．显然D成立．事实上，指数函数y＝12x是减函数，所以ab⇔12a12b成立．]1．若a＞0，b＞0，则下列与－b＜1x＜a等价的是()A．－1b＜x＜0或0＜x＜1aB．－1a＜x＜1bC．x＜－1a或x＞1bD．x＜－1b或x＞1aD[－b＜1x＜a，当x＜0时，－bx＞1＞ax，解得x＜－1b；当x＞0时，－bx＜1＜ax，解得x＞1a.故应选D.]基本不等式的应用利用基本不等式求最值问题一般有两种类型：(1)和为定值时，积有最大值；(2)积为定值时，和有最小值．在具体应用基本不等式解题时，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．【例2】求函数y＝x2(1－5x)0≤x≤15的最大值．[自主解答]y＝52x225－2x＝52·x·x·25－2x，∵0≤x≤15，∴25－2x≥0，∴y≤52x＋x＋25－2x33＝4675.当且仅当x＝25－2x，即x＝215时，上式取等号．因此ymax＝4675.2．已知x＜54，求函数y＝4x－2＋14x－5的最大值．[解]y＝4x－2＋14x－5＝4x－5＋14x－5＋3＝3－5－4x＋15－4x≤3－2＝1.所以函数y＝4x－2＋14x－5的最大值为1.绝对值不等式的解法解绝对值符号内含有未知数的不等式(也称绝对值不等式)，关键在于去掉绝对值符号，化成一般的不等式，主要的依据是绝对值的定义．【例3】已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|.(1)求不等式f(x)≤6的解集；(2)若关于x的不等式f(x)|a－1|的解集非空，求实数a的取值范围．[自主解答](1)原不等式等价于x32，2x＋1＋2x－3≤6或－12≤x≤32，2x＋1－2x－3≤6或x－12，－2x＋1－2x－3≤6，解得32x≤2或－12≤x≤32或－1≤x－12，即不等式的解集为{x|－1≤x≤2}．(2)∵f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|≥|(2x＋1)－(2x－3)|＝4，∴|a－1|4，解此不等式得a－3或a5.3．若不等式|x－4|＋|3－x|＜a的解集是空集，求a的取值范围．[解]设y＝|x－4|＋|3－x|，此题转化为求函数的最小值问题，若a不大于函数的最小值则不等式的解集为空集．y＝|x－4|＋|x－3|＝－2x＋7，x＜3，1，3≤x＜4，2x－7，x≥4.∴可以看出最小值为1，∴a≤1时，不等式的解集为空集，所以a的取值范围a≤1.转化与化归的数学思想等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法．通过不断地转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式简单的问题．在本章，我们讨论恒成立问题，向最值转化，通过不等式性质、基本不等式、绝对值不等式求最值等问题都用到了转化的思想．【例4】已知不等式|x＋2|－|x＋3|＞m，依据下列条件，分别求出m的取值范围：(1)若不等式有解；(2)若不等式解集为R；(3)若不等式解集为.[自主解答]由||x＋2|－|x＋3||≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，则m＜1，即m的取值范围是(－∞，1)．(2)若不等式解集为R，则m＜－1，即m的取值范围是(－∞，－1)．(3)若不等式解集为，则m≥1，即m的取值范围是[1，＋∞)．4．解不等式x2－5x＋4x2－4≤1.[解]原不等式可以化为|x2－5x＋4|≤|x2－4|(x≠±2)，∴－(x2－4)≤x2－5x＋4≤x2－4，①或－(4－x2)≤x2－5x＋4≤4－x2，②由①得x≥85，2x2－5x≥0，解得x≥85，x≥52或x≤0，∴x≥52.由②得2x2－5x≤0，5x≤8，解得0≤x≤52，x≤85，∴0≤x≤85.∴原不等式的解集为xx≥52或0≤x≤85.1．不等式|x－1|－|x－5|2的解集是()A．(－∞，4)B．(－∞，1)C．(1,4)D．(1,5)[解析]①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)2，∴－42，不等式恒成立，∴x≤1.②当1x5时，原不等式可化为x－1－(5－x)2，∴x4，∴1x4.③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)2，该不等式不成立．综上，原不等式的解集为(－∞，4)，故选A.[答案]A2．若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，则实数a＝________.[解析]由于f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|，当a－1时，f(x)＝－3x＋2a－1x－1，－x＋2a＋1－1≤x≤a，3x－2a＋1xa.作出f(x)的大致图象如图所示，由函数f(x)的图象可知f(a)＝5，即a＋1＝5，∴a＝4.同理，当a≤－1时，－a－1＝5，∴a＝－6.[答案]－6或43．已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a＞0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．[解](1)当a＝1时，f(x)1化为|x＋1|－2|x－1|－10.当x≤－1时，不等式化为x－40，无解；当－1x1时，不等式化为3x－20，解得23x1；当x≥1时，不等式化为－x＋20，解得1≤x＜2.所以f(x)1的解集为x23x2.(2)由题设可得f(x)＝x－1－2a，x－1，3x＋1－2a，－1≤x≤a，－x＋1＋2a，xa.所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A2a－13，0，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为23(a＋1)2.由题设得23(a＋1)26，故a2.所以a的取值范围为(2，＋∞)．4．设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若abcd，则a＋bc＋d；(2)a＋bc＋d是|a－b||c－d|的充要条件．[证明](1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(c＋d)2＝c＋d＋2cd，由题设a＋b＝c＋d，abcd，得(a＋b)2(c＋d)2.因此a＋bc＋d.(2)①若|a－b||c－d|，则(a－b)2(c－d)2，即(a＋b)2－4ab(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以abcd.由(1)，得a＋bc＋d.②若a＋bc＋d，则(a＋b)2(c＋d)2，即a＋b＋2abc＋d＋2cd.因为a＋b＝c＋d，所以abcd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b||c－d|.综上，a＋bc＋d是|a－b||c－d|的充要条件．