2019-2020学年高中数学 第1章 常用逻辑用语 1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的

1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系课时跟踪检测一、选择题1．下列说法中正确的是()A．若一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．“a＞b”与“a＋c＞b＋c”不等价C．“若a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”D．若一个命题的否命题为真，则它的逆命题为真解析：一个命题的否命题与逆命题互为逆否命题，同真同假．答案：D2．与命题“若实数a1，则函数y＝ax是增函数”互为逆否命题的是()A．若实数a1，则函数y＝ax不是增函数B．若实数a≤1，则函数y＝ax不是增函数C．若函数y＝ax是增函数，则实数a1D．若函数y＝ax不是增函数，则实数a≤1解析：写逆否命题否定并交换条件和结论即可．答案：D3．有以下命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题为()A．①②B．②③C．④D．①②③解析：①②③显然正确；若A∩B＝B，则B⊆A，原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题．答案：D4．原命题为“若an＋an＋12an，n∈N*，则{an}为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A．真、真、真B．假、假、真C．真、真、假D．假、假、假解析：∵an＋an＋12an⇔an＋1an⇔{an}为递减数列，∴原命题与其逆命题都是真命题，所以逆否命题与否命题也是真命题，故选A.答案：A5．下列有关命题的说法正确的是()A．“若x1，则2x1”的否命题为真命题B．“若cosβ＝1，则sinβ＝0”的逆命题是真命题C．“若平面向量a，b共线，则a，b方向相同”的逆否命题为假命题D．命题“若x1，则xa”的逆命题为真命题，则a0解析：在A中，“若x≤1，则2x≤1”，是假命题，故A不正确；在B中，“若sinβ＝0，则cosβ＝1”，是假命题，故B不正确；在C中，原命题为假命题，所以其逆否命题也为假命题，故C正确；在D中，由xa⇒x1，则a1，故D不正确．答案：C6．下列判断中不正确的是()A．命题“若A∩B＝B，则A∪B＝A”的逆否命题为真命题B．“矩形的两条对角线相等”的否命题为假命题C．“已知a，b，m∈R，若am2bm2，则ab”的逆命题是真命题D．“若x∈N*，则(x－1)20”是假命题解析：A中原命题为真，故其逆否命题为真；B中否命题为“若四边形不是矩形，则对角线不相等”为假命题；C中逆命题为“已知a，b，m∈R，若ab，则am2bm2”为假命题；D中当x＝1时，(x－1)2＝0，是假命题．答案：C二、填空题7．在命题“若m－n，则m2n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：当m＝3，n＝4时，m－n，但m2n2，故原命题为假命题，所以其逆否命题为假命题；当m＝－4，n＝3时，m2n2，但m－n，故逆命题为假命题，所以其否命题为假命题，所以假命题的个数是3.答案：38．设有两个命题：p：关于x的不等式mx2＋1≥0的解集是R；q：函数f(x)＝logmx是减函数(m0，且m＝0，m≥1)．若这两个命题中有且仅有一个是真命题，则实数m的取值范围是________．解析：若p为真，则m≥0，若q为真，则0m1，若p与q中一真一假，则实数m的取值范围是m＝0或m≥1.答案：[1，＋∞)∪{0}9．已知p(x)：x2＋2x－m0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，那么实数m的取值范围是____________．解析：由题意得1＋2－m≤0，4＋4－m0，∴3≤m8.答案：[3,8)三、解答题10．判断命题“若m0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．解：∵m0，∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋40.∴原命题“若m0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真．11．设M是一个命题，它的结论是q：x1或x2是方程x2＋2x－3＝0的两个根，M的逆否命题的结论是﹁p：x1＋x2≠－2，或x1x2≠－3.(1)写出M；(2)写出M的逆命题、否命题、逆否命题．解：(1)设命题M表述为：若p，则q，那么由题意知，其中的结论q为：x1或x2是方程x2＋2x－3＝0的两个根．而条件p的否定形式﹁p为：x1＋x2≠－2或x1x2≠－3，故﹁p的否定形式，即p为：x1＋x2＝－2且x1x2＝－3.所以命题M为：若x1＋x2＝－2且x1x2＝－3，则x1或x2是方程x2＋2x－3＝0的两个根．(2)M的逆命题为：若x1或x2是方程x2＋2x－3＝0的两个根，则x1＋x2＝－2且x1x2＝－3.否命题为：若x1＋x2≠－2或x1x2≠－3，则x1或x2不是方程x2＋2x－3＝0的两个根．逆否命题为：若x1或x2不是方程x2＋2x－3＝0的两个根，则x1＋x2≠－2或x1x2≠－3.12．设p：m－2m－3≥2，q：关于x的不等式x2－6x＋m2≤0的解集为空集，试确定m的值，使p与q同时成立．解：由m－2m－3≥2，得m－2m－3－2≥0，即m－4m－3≤0，∴3m≤4，∴当3m≤4时，p成立．∵关于x的不等式x2－6x＋m2≤0的解集为空集．∴Δ＝(－6)2－4m20，即m29，∴m－3或m3.∴当m－3或m3时，q成立．若p与q同时成立，则3m≤4.即当3m≤4时，使p与q同时成立．13．设△ABC的三边分别为a，b，c，在命题“若a2＋b2≠c2，则△ABC不是直角三角形”及其逆命题中()A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．两个命题都真D．两个命题都假解析：原命题“若a2＋b2≠c2，则△ABC不是直角三角形”是假命题，而逆命题“若△ABC不是直角三角形，则a2＋b2≠c2”是真命题．故选B.答案：B