2019-2020学年高中数学 第1章 常用逻辑用语 2 2.1 充分条件与必要条件 2.2 充分条

2．1充分条件与必要条件2．2充分条件与判定定理2．3必要条件与性质定理2．4充要条件学习目标：1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件的意义．(重点)2.会求(判定)某些简单命题的条件关系．(易混点)3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳的逻辑思维能力．(难点)1．充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒qpq条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件思考：(1)数学中的判定定理给出了结论成立的什么条件？(2)性质定理给出了结论成立的什么条件？[提示](1)充分条件；(2)必要条件．2．充要条件一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．思考：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．这种说法对吗？(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？[提示](1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q，故此说法正确．(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若pq与qp有一个成立，则p一定不是q的充要条件．()(2)若p是q的充要条件，则q也是p的充要条件．()(3)若p⇒q，且qp，则p是q的必要不充分条件．()[答案](1)√(2)√(3)×2．设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是()A．α⊥β，α∩β＝lB．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥β，β⊥γ，m⊥αD．n⊥α，n⊥β，m⊥αD[A、B、C都推不出m⊥β，而D中有α∥β，m⊥α，所以m⊥β.]3．a0，b0的一个必要条件为()A．a＋b0B．a－b0C.ab1D.ab－1A[因为a0，b0⇒a＋b0，所以“a＋b0”是“a0，b0”的一个必要条件．]4．若a∈R，则(a－1)(a－2)＝0的必要条件是________，一个充分条件是________．[解析]因为(a－1)(a－2)＝0，所以a＝1或a＝2，故a＝1或a＝2是(a－1)·(a－2)＝0的必要条件．又当a＝1时，(a－1)(a－2)＝0，当a＝2时，(a－1)(a－2)＝0，当a＝1或a＝2时，(a－1)(a－2)＝0，故(a－1)(a－2)＝0的充分条件有三个．分别是a＝1，a＝2，a＝1或a＝2.[答案]a＝1或a＝2a＝1(或a＝2)(或a＝1或a＝2)充分条件、必要条件和充要条件的判断【例1】下列各题中，p是q的什么条件？(1)设a∈R，p：a＝－1，q：直线ax＋y－1＝0与直线x＋ay＋5＝0平行；(2)p：y＋x4，q：x1，y3；(3)p：ab，q：2a2b；(4)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC为等腰三角形．[解](1)若a＝－1，则直线ax＋y－1＝0与直线x＋ay＋5＝0平行，充分性成立；若直线ax＋y－1＝0与直线x＋ay＋5＝0平行，则a1＝1a，解得a＝1或a＝－1，必要性不成立，故p是q的充分不必要条件．(2)y＋x4不能得出x1，y3，即pq，而x1，y3可得x＋y4，即q⇒p，故p是q的必要不充分条件．(3)当ab时，有2a2b，即p⇒q，当2a2b时，可得ab，即q⇒p，故p是q的充要条件．(4)法一：若△ABC是直角三角形不能得出△ABC为等腰三角形，即pq；若△ABC为等腰三角形也不能得出△ABC为直角三角形，即qp，故p是q的既不充分也不必要条件．法二：如图所示：p，q对应集合间无包含关系，故p是q的既不充分也不必要条件．1．判断p是q的什么条件，其实质是判断p⇒q及q⇒p两命题的正确性，若p⇒q为真且q⇒p为假，则p是q的充分不必要条件；若p⇒q为假而q⇒p为真，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q与q⇒p均为真，则p是q的充要条件；若p⇒q及q⇒p均为假，则p是q的既不充分也不必要条件．2．当不易判断p⇒q的真假时，可从集合的角度入手考虑．首先建立与p、q相应的集合，即p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}．若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若AB且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件？(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)(1)p：(x－2)(x－3)＝0，q：x＝2；(2)p：x1，q：x21；(3)p：a、b、c三数成等比数列，q：b＝ac.[解](1)因为命题“若(x－2)(x－3)＝0，则x＝2”是假命题，而命题“若x＝2，则(x－2)(x－3)＝0”是真命题，所以p是q的必要条件，但不是充分条件，即p是q的必要不充分条件．(2)p对应的集合为P＝{x|x1}，q对应的集合为Q＝{x|x－1或x1}，∵PQ，∴p是q的充分不必要条件．(3)若a，b，c成等比数列，则b2＝ac，b＝±ac，则pq；若b＝ac，当a＝0，b＝0时，a，b，c不成等比数列，即qp，故p是q的既不充分也不必要条件．充分条件、必要条件的应用【例2】是否存在实数m，使“4x＋m0”是“x2－x－20”的充分条件？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由．思路探究：分别写出不等式“4x＋m0”与“x2－x－20”的解集，根据两解集的包含关系，求出m的取值范围．[解]由x2－x－20，得x2或x－1；由4x＋m0，得x－m4，由题意，得－m4≤－1，m≥4.即m≥4时，“4x＋m0”是“x2－x－20”的充分条件．已知充分条件、必要条件或充要条件，求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件、充要条件与集合的关系，转化为集合与集合间的包含关系，然后建立关于参数的不等式组进行求解.2．已知p：－2≤x≤10，q：x2－2x＋1－m2≤0(m0)，若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．[解]p：－2≤x≤10.q：x2－2x＋1－m2≤0⇔[x－(1－m)][x－(1＋m)]≤0(m0)⇔1－m≤x≤1＋m(m0)．因为q是p的充分不必要条件，即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，故有1－m≥－2，1＋m10或1－m－2，1＋m≤10，解得m≤3.又m0，所以实数m的取值范围为{m|0m≤3}．充要条件的证明和求解[探究问题]1．下列能作为“a，b中至少有一个不为零”的充要条件的是哪个？①ab＝0；②ab0；③a2＋b2＝0；④a2＋b20.[提示]a2＋b20，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b20，故④正确．2．“函数y＝x2－2x－a没有零点”的充要条件是什么？[提示]函数没有零点，即方程x2－2x－a＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a0，解得a－1.反之，若a－1，则Δ0，方程x2－2x－a＝0无实根，即函数没有零点．故“函数y＝x2－2x－a没有零点”的充要条件是a－1.【例3】求证：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根均大于1的充要条件是k－2.思路探究：分清条件p与结论q→证充分性p⇒q→证必要性q⇒p→结论p⇔q[证明]①必要性：若方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根，不妨设两个根为x1，x2，则Δ＝2k－12－4k2≥0，x1－1＋x2－10，x1－1x2－10，⇒k≤14，x1＋x2－20，x1x2－x1＋x2＋10.即k≤14，－2k－1－20，k2＋2k－1＋10，解得k－2.②充分性：当k－2时，Δ＝(2k－1)2－4k2＝1－4k0.设方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根为x1，x2.则(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝k2＋2k－1＋1＝k(k＋2)0.又(x1－1)＋(x2－1)＝(x1＋x2)－2＝－(2k－1)－2＝－2k－10，∴x1－10，x2－10.∴x11，x21.综上可知，方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根的充要条件为k－2.(变条件、结论)将例3中的方程变为ax2＋x＋1＝0.试求解该方程至少有一个负实根的充要条件．[解]①当a＝0时，解得x＝－1，满足条件；②当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a0；若方程有两个负的实根，则必须满足1a0，－1a0，Δ＝1－4a≥0⇒0a≤14.综上，若方程至少有一个负的实根，则a≤14.反之，若a≤14，则方程至少有一个负的实根．因此，关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤14.1．条件已知证明结论成立是充分性．结论已知推出条件成立是必要性．2．证明p是q的充要条件，要证明两个方面：(1)充分性(p⇒q)；(2)必要性(q⇒p)．3．证明时易出现必要性与充分性混淆的情形，这就要分清哪是条件，哪是结论．1．已知命题“若p，则q”，假设其逆命题为真，则p是q的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[原命题的逆命题：“若q，则p”，它是真命题，即q⇒p，所以p是q的必要条件．]2．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件B[当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥βα∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．]3．在△ABC中，“AB”是“sinAsinB”的________条件．[解析]由正弦定理及三角形的不等关系可知，AB⇔ab⇔sinAsinB，故为充要条件．[答案]充要4．函数y＝x2＋bx＋c在x∈[2，＋∞)是单调函数的充要条件是________．[解析]y＝x2＋bx＋c在[2，＋∞)上单调⇔－b2≤2⇔b≥－4.[答案]b∈[－4，＋∞)5．若“x21”是“xa”的必要不充分条件，则a的最大值是多少？[解]∵x2＞1，∴x＜－1或x＞1.又∵“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件．∴x＜a⇒x2＞1但x2＞1⇒/x＜a.如图所示：∴a≤－1，∴a的最大值为－1.