2019-2020学年高中数学 第1章 导数及其应用 单元质量测评（二）新人教A版选修2-2

第一章导数及其应用单元质量测评(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知f(x)＝lnxx2，则f′(e)＝()A.1e3B.1e2C．－1e2D．－1e3答案D解析∵f′(x)＝x2x－2xlnxx4＝1－2lnxx3，∴f′(e)＝1－2lnee3＝－1e3.2．函数f(x)＝x2x－1()A．在(0,2)上单调递减B．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增C．在(0,2)上单调递增D．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递减答案B解析f′(x)＝2xx－1－x2x－12＝x2－2xx－12＝xx－2x－12.令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2.∴x∈(－∞，0)和x∈(2，＋∞)时，f′(x)0，x∈(0,1)和x∈(1,2)时，f′(x)0，故选B.3.13－π4π4cos2xdx＝()A.13B.23C.23D．－23答案A解析13－π4π4cos2xdx＝13×12sin2xπ4－π4＝13.4．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图，则f(x)的图象可能是()答案D解析由题中f′(x)图象知，当x∈(－∞，0)时，f(x)为减函数，排除选项A，B，又f′(0)＝c＝0，即f(x)有一个极值点为0.故选D.5．函数f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数是()A．2B．1C．0D．由a确定答案C解析f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x2＋2x＋1)＝3(x＋1)2≥0，∴函数f(x)在R上单调递增，无极值．6．若函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为()A．－5B．7C．10D．－19答案A解析∵f′(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3)，当x∈[－2，－1]时，f′(x)≤0，所以f(x)在[－2，－1]内单调递减，所以最大值为f(－2)＝2＋a＝2，∴a＝0，最小值f(－1)＝a－5＝－5.7．已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1，f′(x)1，则f(x)x的解集是()A．(0,1)B．(－1,0)∪(0,1)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案C解析不等式f(x)x可化为f(x)－x0，设g(x)＝f(x)－x，则g′(x)＝f′(x)－1，由题意g′(x)＝f′(x)－10，∴函数g(x)在R上单调递增，又g(1)＝f(1)－1＝0，∴原不等式⇔g(x)0⇔g(x)g(1)．∴x1，故选C.8．已知a0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上单调递增，则a的最大值是()A．0B．1C．2D．3答案D解析f′(x)＝3x2－a，要使函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则f′(x)＝3x2－a≥0(x∈[1，＋∞))恒成立，即a≤3x2(x∈[1，＋∞))恒成立．又当x∈[1，＋∞)时，3x2≥3，且a0，所以0a≤3，故a的最大值是3.9．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为()A.5B．25C．35D．2答案A解析设曲线上的点A(x0，ln(2x0－1))到直线2x－y＋3＝0的距离最短，则曲线上过点A的切线与直线2x－y＋3＝0平行．因为y′＝12x－1·(2x－1)′＝22x－1，所以，解得x0＝1.所以点A的坐标为(1,0)．所以点A到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝|2×1－0＋3|22＋－12＝55＝5.10．若函数f(x)＝13x3－ax2＋ax在(0,1)内有极大值，在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是()A.1，43B.0，43C．(－∞，0)∪(1，＋∞)D.0，43答案A解析f′(x)＝x2－2ax＋a，由题意知，f′(x)＝0在(0,1)，(1,2)内都有根，且f′(0)0，f′(1)0，f′(2)0，由题意知，a0，1－a0，4－3a0⇒1a43，故选A.11．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x0时，xf′(x)－f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(0,1)B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1,0)D．(0,1)∪(1，＋∞)答案A解析当x0时，令F(x)＝fxx，则F′(x)＝xf′x－fxx20，∴当x0时，F(x)＝fxx为减函数．∵f(x)为奇函数，且由f(－1)＝0，得f(1)＝0，故F(1)＝0.在区间(0,1)上，F(x)0；在(1，＋∞)上，F(x)0，即当0x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0.又f(x)为奇函数，∴当x∈(－∞，－1)时，f(x)0；当x∈(－1,0)时，f(x)0.综上可知，f(x)0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．故选A.12．已知函数f(x)＝ax－1＋lnx，若存在x00，使得f(x0)≤0有解，则实数a的取值范围是()A．a2B．a3C．a≤1D．a≥3答案C解析函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，不等式ax－1＋lnx≤0有解，即a≤x－xlnx在(0，＋∞)上有解，令h(x)＝x－xlnx，可得h′(x)＝1－(lnx＋1)＝－lnx，令h′(x)＝0，可得x＝1，当0x1时，h′(x)0，当x1时，h′(x)0，可得当x＝1时，函数h(x)＝x－xlnx取得最大值1，要使不等式a≤x－xlnx在(0，＋∞)上有解，只要a小于等于h(x)的最大值即可，即a≤1.所以选C.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．答案(－ln2,2)解析设P(x0，y0)，∵y＝e－x，∴y′＝－e－x，∴点P处的切线斜率为k＝－＝－2，∴－x0＝ln2，∴x0＝－ln2，∴y0＝eln2＝2，∴点P的坐标为(－ln2,2)．14．直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有三个相异的公共点，则a的取值范围是________．答案(－2,2)解析令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，可求得f(x)的极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，如图所示，当－2a2时，恰有三个不同公共点．15．已知f(a)＝01(2ax2－a2x)dx，则函数f(a)的最大值为________．答案29解析f(a)＝01(2ax2－a2x)dx＝23ax3－12a2x210＝－12a2＋23a，这个关于a的二次函数当a＝－232×－12＝23时取得最大值，即所求的最大值是f23＝－12×49＋23×23＝29.16．周长为20cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________cm3.答案4000π27解析设矩形的长为x，则宽为10－x(0x10)，由题意可知所求圆柱的体积V＝πx2(10－x)＝10πx2－πx3，∴V′(x)＝20πx－3πx2.由V′(x)＝0，得x＝0(舍去)，x＝203，且当x∈0，203时，V′(x)0，当x∈203，10时，V′(x)0，∴当x＝203时，V(x)取得最大值为400027πcm3.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．(1)求P0的坐标；(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．解(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，由已知得3x2＋1＝4，解得x＝±1.当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.又因为点P0在第三象限，所以切点P0的坐标为(－1，－4)．(2)因为直线l⊥l1，l1的斜率为4，所以直线l的斜率为－14，因为l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，所以直线l的方程为y＋4＝－14(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝a2lnx－x2＋ax(a0)．(1)求f(x)的单调区间；(2)求所有使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立的a的值．解(1)因为f(x)＝a2lnx－x2＋ax，其中x0，所以f′(x)＝a2x－2x＋a＝－x－a2x＋ax.由于a0，所以f(x)的单调递增区间为(0，a)，单调递减区间为(a，＋∞)．(2)由题意得f(1)＝a－1≥e－1，即a≥e.由(1)知f(x)在[1，e]内单调递增，要使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．只要f1＝a－1≥e－1，fe＝a2－e2＋ae≤e2，解得a＝e.19．(本小题满分12分)在抛物线y＝－x2＋1上找一点P(x1，y1)，且点P在第一象限，过点P作抛物线的切线，使此切线与抛物线及两坐标轴所围平面图形的面积最小．解由于y′＝－2x，因此过点P(x1，y1)的切线方程为y－y1＝－2x1(x－x1)，该切线与x轴、y轴的交点分别是Ax21＋12x1，0，B(0,1＋x21)，所求面积S＝12·x21＋12x1·(1＋x21)－01(－x2＋1)dx＝14x31＋2x1＋1x1－23，则S′＝143x21＋2－1x21＝143x1－1x1·x1＋1x1.令S′＝0，因为x10，所以x1＝33.由于此问题中面积的最小值存在，且面积关于x1的函数在(0，＋∞)内有唯一极值点，故x1＝33，y1＝23就是所求的点P的横、纵坐标，即取切点P33，23时，所求的平面图形的面积最小．20．(本小题满分12分)已知某公司生产的某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件，需另投入1.9万元，设R(x)(单位：万元)为销售收入，据市场调查知R(x)＝10x－130x30≤x≤10，2003x10，其中x是年产量(单位：千件)．(1)写出年利润W关于年产量x的函数关系式；(2)年产量为多少时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？解(1)依题意有：W＝10x－130x3－10－1.9x0≤x≤10，2003－10－1.9xx10.即W＝8.1x－130x3－100≤x≤10，1703－1.9xx10.(2)设f(x)＝－130x3＋8.1x－10(0≤x≤10)，f′(x)＝－110x2＋8.1，由f′(x)＝0，得x＝9或x＝－9(舍去)．当0≤x≤9时，f′(x)≥0；当9≤x≤10时，f′(x)≤0，所以当x＝9时，f(x)取得最大值38.6.当x10时，1703－1.9x113338.6.所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．21．(本小题满分12分)设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．解(1)因为f(x)＝xea－x＋bx，所以f′(x)＝(1－x)ea－x＋b.依题设，f2＝2e＋2，f′2＝e－1，即2ea－2＋2b＝2e＋2，－ea－2＋b＝e－1，解得a＝2，b＝e.(2)由(1)知f(x)＝xe2－x＋ex.由f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x＞0知，f′(x)与1－x＋ex－1同号．令g(x)＝1－x＋ex－1，则g′(x)＝－1＋ex－1.所以当x∈(－∞，1)时，g′(x)＜0，g