2019-2020学年高中数学 第1章 基本初等函数（Ⅱ）阶段性测试题 新人教B版必修4

第一章基本初等函数(Ⅱ)(时间：120分钟满分：150分)第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知角α是第二象限角，且cosα2＝－cosα2，则角α2是()A．第一象限角B.第二象限角C．第三象限角D.第四象限角解析：由α是第二象限角，得2kπ＋π2α2kπ＋π，k∈Z，kπ＋π4α2kπ＋π2，k∈Z，故α2是第一、三象限角，由cosα2＝－cosα2，得cosα2≤0，故α2是第三象限角，故选C.答案：C2．角θ的终边与单位圆交于P12，y，则sinθ＝()A.3B.±3C.32D.±32解析：由122＋y2＝1，得y＝±32，∴sinθ＝±32.故选D.答案：D3．下列结论中错误的是()A．若0απ2，则sinαtanαB．若α是第二象限角，则α2为第一象限或第三象限角C．若角α的终边过点P(3k,4k)(k≠0)，则sinα＝45D．若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为1弧度解析：C中当k0时，sinα＝4k5k＝45，当k0时，sinα＝4k－5k＝－45，故C错．答案：C4．若一扇形的圆心角为72°，半径为20cm，则扇形的面积为()A．40πcm2B.80πcm2C．40cm2D.80cm2解析：72°＝72×π180＝2π5，∴S＝12lR＝12αR2＝12×2π5×20×20＝80π，故选B.答案：B5．若cos(π＋α)＝－32，32πα2π，则sin(2π－α)＝()A．－12B.12C.32D.±12解析：cos(π＋α)＝－32，∴cosα＝32，∵3π2α2π，∴sinα＝－12，∴sin(2π－α)＝－sinα＝12，故选B.答案：B6．把函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向左平移π4个单位，则所得图象的解析式为()A．y＝sin2x－π4B．y＝－sin2xC．y＝cos2xD．y＝sin2x＋π4解析：函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标不变，得到y＝sin2x，再向左平移π4个单位，得到y＝sin2x＋π4＝sin2x＋π2＝cos2x，故选C.答案：C7．函数y＝cosxln|x|的图象大致是()解析：y＝cosxln|x|是偶函数，排除A，B，当0x1时，y＝cosxln|x|0，排除D，故选C.答案：C8．函数y＝3sinπ3－2x的单调递增区间是()A.2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)B.2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)C.kπ＋5π12，kπ＋11π12(k∈Z)D.kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)解析：y＝－3sin2x－π3，故只需求sin2x－π3的单调递减区间．令π2＋2kπ≤2x－π3≤3π2＋2kπ(k∈Z)，∴kπ＋5π12≤x≤kπ＋11π12(k∈Z)．故选C.答案：C9．已知sinπ2－α＝35，则1－2cos2α＝()A.725B.2425C．－725D.－2425解析：由sinπ2－α＝35，得cosα＝35，∴1－2cos2α＝1－2×352＝725.答案：A10．角θ的终边与单位圆交于点P－55，255，则cos(π－θ)的值为()A．－255B.－55C.55D.255解析：cos(π－θ)＝－cosθ＝－－55＝55.故选C.答案：C11．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2的部分图象如图所示，与x轴交于A，B两点，与y轴交于P点，其一条对称轴与x轴交于C点，且PA＝PC＝23，PB＝BC，则f(2017)＝()A．－3B.0C.3D.6解析：由题可知，|AC|＝3T4，PA＝PC，∴O为AC的中点，故可设A－3T8，0，BT8，0，C3T8，0，P(0，Acosφ)，将BT8，0代入f(x)的解析式，得AcosTω8＋φ＝0，∴Tω8＋φ＝π2，T＝2πω，∴Tω＝2π，∴φ＝π4，由PB＝BC得，PB＝T4，OB＝T8，∴PO＝3T8，又PO2＋OC2＝PC2，∴3T264＋9T264＝12，∴T＝8，∴ω＝2πT＝2π8＝π4.当x＝0时，Acosφ＝22A，则22A＝PO＝3T8，∴A＝6T8，∴f(2017)＝Acos2017π4＋π4＝Acosπ2＝0，故选B.答案：B12．给出以下命题：①若α，β均为第一象限角，且α＞β，且sinα＞sinβ；②若函数y＝2cosax－π3的最小正周期是4π，则a＝12；③函数y＝sin2x－sinxsinx－1是奇函数；④函数y＝sinx－12的周期是π；⑤函数y＝sinx＋sin|x|的值域是[0,2]．其中正确命题的个数为()A．3B.2C．1D.0解析：若α＝390°，β＝30°，α＞β，但sinα＝sinβ，故①错；由2π|a|＝4π，得a＝±12，故②错；函数y＝sin2x－sinxsinx－1的定义域为xx≠2kπ＋π2，k∈Z，不关于原点对称，∴函数为非奇非偶函数，③错；f(x＋π)＝sinx＋π－12＝sinx＋12≠f(x)，④错；y＝sinx＋sin|x|＝2sinx，x≥0，0，x＜0，值域为[－2,2]，故⑤错，故选D.答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．一圆内切于一圆心角为π3，半径为R的扇形，则该圆的面积与该扇形的面积之比为________．解析：如图所示，∠BOA＝π3，∴∠COA＝π6，∴r＝12OC，∴R＝OC＋r＝3r，∴S圆S扇＝πr212×π3R2＝23.答案：2∶314．若sin(π＋α)＝13，α∈－π2，π2，则tanα＝________.解析：由sin(π＋α)＝13得，sinα＝－13，∵α∈－π2，π2，∴cosα＝1－－132＝223.∴tanα＝sinαcosα＝－24.答案：－2415．已知sinθ＋cosθ＝34，其中θ是三角形的一个内角，则sinθ－cosθ的值为________．解析：sinθ＋cosθ＝34，∴(sinθ＋cosθ)2＝916，∴1＋2sinθcosθ＝916，∴2sinθcosθ＝－716.∵θ是三角形的一个内角，∴sinθ0，cosθ0，∴sinθ－cosθ0，∴sinθ－cosθ＝1－2sinθcosθ＝234.答案：23416．关于函数f(x)＝4sin2x＋π3(x∈R)，有下列命题：①y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos2x－π6；②y＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；③y＝f(x)的图象关于点－π6，0对称；④y＝f(x)的图象关于直线x＝－π6对称．其中正确的命题为________(把你认为正确的命题的序号都填上)．解析：①f(x)＝4sin2x＋π3＝4cosπ2－2x＋π3＝4cosπ6－2x＝4cos2x－π6，∴①正确；②f(x)最小正周期为π，∴②不正确；③当x＝－π6，f－π6＝4sin2×－π6＋π3＝4sin0＝0.∴③正确；④当x＝－π6时，f－π6＝0，∴④不正确，∴正确命题为①③.答案：①③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)化简求值：(1)sin2π＋α－cos－αcos2π＋α＋sin4π－α；(2)sin30°cos60°＋tan45°cos90°－sin45°cos45°.解：(1)原式＝sinα－cosαcosα－sinα＝－1.(2)原式＝12×12＋1×0－22×22＝－14.18．(12分)已知sinα＋cosα＝－15.(1)求sinα·cosα的值；(2)若π2＜α＜π，求1sinα＋1cosπ－α的值．解：(1)∵sinα＋cosα＝－15，∴(sinα＋cosα)2＝125，即1＋2sinαcosα＝125，∴sinα·cosα＝－1225.(2)由(1)得，(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝4925，又π2＜α＜π，∴sinα－cosα＞0，∴sinα－cosα＝75.1sinα＋1cosπ－α＝1sinα－1cosα＝cosα－sinαsinαcosα＝3512.19．(12分)已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的最高点坐标为π8，2，此点到相邻最低点的曲线与x轴交于点3π8，0，若φ∈－π2，π2.(1)求曲线的解析式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．解：(1)由最高点坐标π8，2，可知A＝2，T＝3π8－π8×4＝π，∴ω＝2，π8×2＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，∴φ＝π4＋2kπ.∵φ∈－π2，π2，∴φ＝π4.∴f(x)＝2sin2x＋π4.(2)列表如下：x0π83π858π7π8π2x＋π4π4π2π3π22π9π4y120－20120．(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0,0φπ)的部分图象，如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若方程f(x)＝m在－π12，13π12有两个不同的实根，求m的取值范围．解：(1)由f(x)的图象可知A＝1，T＝2×5π6－π3＝π，∴ω＝2πT＝2，将π3，－1代入，得sin2π3＋φ＝－1，∴2π3＋φ＝2kπ－π2，k∈Z，∴φ＝2kπ－7π6，k∈Z.∵0φπ，∴φ＝5π6，∴f(x)＝sin2x＋5π6.(2)f(x)的图象如图所示，f－π12＝32，∴f(x)＝m在－π12，13π12有两个不同的实根，则－1m0或32m1.21．(12分)已知sinθ＝45，π2＜θ＜π.(1)求tanθ；(2)求sin2θ＋2sinθcosθ3sin2θ＋cos2θ的值．解：(1)∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴cos2θ＝1－sin2θ＝925.又π2＜θ＜π，∴cosθ＝－35.∴tanθ＝sinθcosθ＝－43.(2)sin2θ＋2sinθcosθ3sin2θ＋cos2θ＝tan2θ＋2tanθ3tan2θ＋1＝－857.22．(12分)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一段图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)要得到函数y＝f(x)的图象，可由正弦曲线经过怎样的变换得到；(3)若不等式f(x)－m≤2在x∈[0,2π]上恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)由图象知，A＝3，T2＝13π3－7π3＝2π⇒T＝4π，ω＝2πT＝12，将图象上的点7π3，0代入y＝f(x)中，得φ＝2kπ－π6，k∈Z，又|φ|＜π2，所以φ＝－π6，故f(x)＝3sin12x－π6.y＝3sin12x－π6.y＝3sin12x－π6.(3)∵x∈[0,2π]，∴12x－π6∈－π6，5π6，则sin12x－π6∈－12，1，从而f(x)＝3sin12x－π6∈－32，