2019-2020学年高中数学 第1章 集合 1.1 集合的含义及其表示（第2课时）集合的表示讲义

第2课时集合的表示学习目标核心素养1.掌握集合的两种常用表示方法(列举法和描述法)．(重点、难点)2.通过实例选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.3.了解集合相等的概念，并能用于解决问题．(重点)4.了解集合的不同的分类方法.通过学习本节内容培养学生的数学运算、逻辑推理的核心素养.1．集合的表示方法表示方法定义一般形式列举法将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{}”内{a1，a2，…，an，…}描述法将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来{x|p(x)}Venn图法用一个封闭曲线围成的平面区域的内部表示一个集合2.集合的分类有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含任何元素的集合，记作∅3.列举法将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{}”内．用这种方法表示集合，元素之间要用逗号分隔，但列举时与元素的次序无关．4．集合相等如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等．5．描述法将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写成{x|p(x)}的形式．6．集合的三种表示方法(1)Venn图法表示集合用一条封闭曲线的内部来表示集合的方法叫做Venn图法．(2)三种表示方法的关系一个集合可以采用不同的表示方法表示，即集合的表示方法不唯一．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．()(2)集合{(1,2)}中的元素是1和2.()(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}相等．()[答案](1)×(2)×(3)√[提示](1)×.由集合元素的互异性知错．(2)×.集合{(1,2)}中的元素为有序实数对(1,2)．(3)√.∵A＝{x|x－1＝0}＝{1}＝B，故正确．2．(1)集合{1,2,3}与{3,2,1}________相等集合．(填“是”或“不是”)(2)若集合{1，a}与集合{2，b}相等，则a＋b＝________.(1)是(2)3[(1)集合{1,2,3}与{3,2,1}元素完全相同，故两集合是相等集合．(2)由于{1，a}＝{2，b}，故a＝2，b＝1，∴a＋b＝3.]3．(1)不等式x－73的解集用描述法可表示为________．(2)集合{(x，y)|y＝x＋1}表示的意义是________．(1){x|x10}(2)直线y＝x＋1上的所有点组成的集合[(1)∵x－73，∴x10，故解集可表示为{x|x10}．(2)集合的代表元素是点(x，y)，共同特征是y＝x＋1，故它表示直线y＝x＋1上的所有点组成的集合．]4．若方程x2－4＝0的解组成的集合记作A；不等式x3的解组成的集合记作B；方程x2＝－1的实数解组成的集合记作C.则集合A，B，C中，________是有限集，________是空集，________是无限集．ACB[∵x2－4＝0，∴x＝±2，即A中只有2个元素，A为有限集；大于3的实数有无数个，则B为无限集；x2＝－1无实根，则C为空集．]集合的表示方法【例1】用适当的方法表示下列集合：(1)B＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N*，y∈N*}；(2)不等式3x－8≥7－2x的解集；(3)坐标平面内抛物线y＝x2－2上的点的集合；(4)x99－x∈N，x∈N.思路点拨：(1)(4)中的元素个数很少，用列举法表示；(2)(3)中的元素无法一一列举，用描述法表示．[解](1)∵x＋y＝4，x∈N*，y∈N*，∴x＝1，y＝3，或x＝2，y＝2，或x＝3，y＝1.∴B＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)}．(2)由3x－8≥7－2x，可得x≥3，所以不等式3x－8≥7－2x的解集为{x|x≥3}．(3){(x，y)|y＝x2－2}．(4)∵99－x∈N，x∈N，∴当x＝0,6,8这三个自然数时，99－x＝1,3,9也是自然数，∴A＝{0,6,8}．1．集合表示法的选择对于有限集或元素间存在明显规律的无限集，可采用列举法；对于无明显规律的无限集，可采用描述法．2．用列举法时要注意元素的不重不漏，不计次序，且元素与元素之间用“，”隔开．3．用描述法表示集合时，常用的模式是{x|p(x)}，其中x代表集合中的元素，p(x)为集合中元素所具备的共同特征．要注意竖线不能省略，同时表达要力求简练、明确．1．试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)方程x2－x－2＝0的解集；(2)大于－1且小于7的所有整数组成的集合．[解](1)方程x2－x－2＝0的根可以用x表示，它满足的条件是x2－x－2＝0，因此，用描述法表示为{x∈R|x2－x－2＝0}；方程x2－x－2＝0的根是－1,2，因此，用列举法表示为{－1,2}．(2)大于－1且小于7的整数可以用x表示，它满足的条件是x∈Z且－1x7，因此，用描述法表示为{x∈Z|－1x7}；大于－1且小于7的整数有0,1,2,3,4,5,6，因此，用列举法表示为{0,1,2,3,4,5,6}.集合相等【例2】(1)集合A＝{x|x3－x＝0，x∈N}与B＝{0,1}________相等集合．(填“是”或“不是”)(2)若集合A＝{1，a＋b，a}，集合B＝0，ba，b且A＝B，则a＝________，b＝________.思路点拨：(1)解出集合A，并判断与B是否相等；(2)找到相等的对应情况，解方程组即可．(1)是(2)－11[(1)x3－x＝x(x2－1)＝0，∴x＝±1或x＝0.又x∈N，∴A＝{0,1}＝B.(2)由题干，a≠0，故a＋b＝0，∴b＝－a.∴ba＝－1，∴a＝－1，b＝1.]已知集合相等求参数，关键是根据集合相等的定义，建立关于参数的方程组，求解时还要注意集合中元素的互异性.2．已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ax，ax2}．若A＝B，求实数x的值．[解]若a＋b＝ax，a＋2b＝ax2，消去b，则a＋ax2－2ax＝0，∴a(x－1)2＝0，即a＝0或x＝1.当a＝0时，集合B中的元素均为0，故舍去；当x＝1时，集合B中的元素均为a，故舍去．若a＋b＝ax2，a＋2b＝ax，消去b，则2ax2－ax－a＝0.又∵a≠0，∴2x2－x－1＝0，即(x－1)(2x＋1)＝0.又∵x≠1，∴x＝－12.经检验，当x＝－12时，A＝B成立．综上所述，x＝－12.集合表示方法的应用[探究问题]1．集合{x|x2－1＝0}的意义是什么？[提示]表示方程x2－1＝0的根组成的集合，即{1，－1}．2．集合A＝{x|ax2＋bx＋c＝0(a≠0)}可能含有几个元素，每一种情况对a，b，c的要求是什么？[提示]因a≠0，故ax2＋bx＋c＝0一定是二次方程，其根的情况与Δ的正负有关．若A中无元素，则Δ＝b2－4ac0；若A中只有一个元素，则Δ＝b2－4ac＝0；若A中有两个元素，则Δ＝b2－4ac0.【例3】集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.思路点拨：A中只有一个元素说明方程kx2－8x＋16＝0可能是一次方程，也可能是二次方程，但Δ＝0.[解](1)当k＝0时，原方程为16－8x＝0.∴x＝2，此时A＝{2}．(2)当k≠0时，由集合A中只有一个元素，∴方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根，则Δ＝64－64k＝0，即k＝1，从而x1＝x2＝4，∴集合A＝{4}．综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}．1．用列举法表示集合的步骤(1)求出集合中的元素；(2)把这些元素写在花括号内．2．用列举法表示集合的优点是元素一目了然；缺点是不易看出元素所具有的属性．3．已知函数f(x)＝x2－ax＋b(a，b∈R)．集合A＝{x|f(x)－x＝0}，B＝{x|f(x)＋ax＝0}，若A＝{1，－3}，试用列举法表示集合B.[解]∵A＝{1，－3}，∴f1－1＝0，f－3－－3＝0⇒1－a＋b－1＝b－a＝0，9＋3a＋b＋3＝3a＋b＋12＝0⇒a＝－3，b＝－3，∴f(x)＋ax＝x2＋3x－3＋(－3x)＝0＝x2－3，∴x＝±3，∴B＝{3，－3}．集合表示的要求：(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则．(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合.1．方程组x＋y＝3，x－y＝－1的解集不可表示为()A．x，yx＋y＝3，x－y＝－1B．x，yx＝1，y＝2C．{1,2}D．{(1,2)}C[方程组的解应是有序数对，③是数集，不能作为方程组的解．]2．集合{x∈N*|x－32}用列举法可表示为________．{1,2,3,4}[∵x－32，∴x5.又x∈N*，∴x＝1,2,3,4.]3．已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，且M＝N，则a＋b＝________.1或34[∵M＝N，则有a＝2a，b＝b2或a＝b2，b＝2a，解得a＝0，b＝1或a＝14，b＝12，∴a＋b＝1或34.]4．已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．[解]三个集合不相等，这三个集合都是描述法给出的，但各自的意义不一样．集合A表示y＝x2＋3中x的范围，x∈R，∴A＝R，集合B表示y＝x2＋3中y的范围，B＝{y|y≥3}，集合C表示y＝x2＋3上的点组成的集合．