2019-2020学年高中数学 第1章 计数原理 1.3.1 二项式定理学案 新人教A版选修2-3

1.3.1二项式定理学习目标核心素养1.能用计数原理证明二项式定理．2.掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式．(重点)3.能解决与二项式定理有关的简单问题．(重点、难点)1.通过二项式定理的学习，培养逻辑推理的素养．2.借助二项式定理及展开式的通项公式解题，提升数学运算素养.1．二项式定理(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋C2nan－2b2＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)．(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．(3)二项式系数：各项的系数Ckn(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．2．二项展开式的通项公式(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Cknan－kbk.思考1：二项式定理中，项的系数与二项式系数相同吗，为什么？[提示]二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指C0n，C1n，…，Cnn，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．思考2：二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第k＋1项是否相同？[提示]不同．(a＋b)n展开式中第k＋1项为Cknan－kbk，而(b＋a)n展开式中第k＋1项为Cknbn－kak.1．(x＋1)n的展开式共有11项，则n等于()A．9B．10C．11D．12B[由二项式定理的公式特征可知n＝10.]2．C0n·2n＋C1n·2n－1＋…＋Ckn·2n－k＋…＋Cnn等于()A．2nB．2n－1C．3nD．1C[原式＝(2＋1)n＝3n.]3．(1＋2x)5的展开式的第3项的系数为________，第3项的二项式系数为________．4010[∵T3＝C25(2x)2＝C2522x2＝40x2，∴第3项的系数为40，第3项的二项式系数为C25＝10.]二项式定理的正用和逆用【例1】(1)求x－12x4的展开式；(2)化简：C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－…＋(－1)kCkn(x＋1)n－k＋…＋(－1)nCnn.[解](1)法一：x－12x4＝C04(x)4－C14(x)3·12x＋C24(x)2·12x2－C34x·12x3＋C4412x4＝x2－2x＋32－12x＋116x2.法二：x－12x4＝2x－12x4＝116x2(2x－1)4＝116x2(16x4－32x3＋24x2－8x＋1)＝x2－2x＋32－12x＋116x2.(2)原式＝C0n(x＋1)n＋C1n(x＋1)n－1(－1)＋C2n(x＋1)n－2(－1)2＋…＋Ckn(x＋1)n－k(－1)k＋…＋Cnn(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.二项式定理的双向功能1．正用：将二项式(a＋b)n展开，得到一个多项式，即二项式定理从左到右使用是展开．对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展开．2．逆用：将展开式合并成二项式(a＋b)n的形式，即二项式定理从右到左使用是合并，对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律．1．(1)求二项式3x－1x4的展开式；(2)化简(x－2)5＋5(x－2)4＋10(x－2)3＋10(x－2)2＋5(x－2)．[解](1)3x－1x4＝C04(3x)4＋C14(3x)3－1x＋C24(3x)2－1x2＋C34(3x)－1x3＋C44－1x4＝81x2－108x＋54－12x＋1x2.(2)原式＝C05(x－2)5＋C15(x－2)4＋C25(x－2)3＋C35(x－2)2＋C45(x－2)＋C55(x－2)0－1＝[(x－2)＋1]5－1＝(x－1)5－1.求展开式中的特定项【例2】已知x－2xn展开式中第3项的系数比第2项的系数大162.(1)n的值；(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数．[解](1)因为T3＝C2n(x)n－2－2x2＝4C2nx，T2＝C1n(x)n－1－2x＝－2C1nx，依题意得4C2n＋2C1n＝162，所以2C2n＋C1n＝81，所以n2＝81，n＝9.(2)设第r＋1项含x3项，则Tr＋1＝Cr9(x)9－r－2xr＝(－2)rCr9x，所以9－3r2＝3，r＝1，所以第二项为含x3的项：T2＝－2C19x3＝－18x3.二项式系数为C19＝9.1．(变结论)在本例条件不变的情况下，求二项展开式的常数项．[解]通项公式为：Tk＋1＝(－2)kCk9x.由9－3k2＝0得k＝3.∴展开式中的常数项为(－2)3C39＝－672.2．(变结论)在本例不变的条件下，求二项展开式的所有有理项．[解]由题意可得9－3k2∈Z，0≤k≤9，k∈Z，故k可取1,3,5,7,9.故二项展开式的所有有理项为T2＝(－2)C19x3＝－18x3；T4＝(－2)3C39x0＝－672；T6＝(－2)5C59x－3＝－4032x－3；T8＝(－2)7C79x－6＝－4608x－6；T10＝(－2)9C99x－9＝－512x－9.1．求二项展开式的特定项的常见题型(1)求第k项，Tk＝Ck－1nan－k＋1bk－1；(2)求含xk的项(或xpyq的项)；(3)求常数项；(4)求有理项．2．求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．二项式定理的灵活应用[探究问题]1．(a＋b＋c)2的展开式共有几项？[提示](a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc，故其展开式共6项．2．你能借助计数原理的知识说明一下(a＋b＋c)2的展开过程吗？[提示](a＋b＋c)2相当于2个(a＋b＋c)相乘，即(a＋b＋c)2＝(a＋b＋c)(a＋b＋c)，故按分步乘法原理及分类加法原理可知：要出现a2，只有两个括号同时出a；要出现ab，只有1个括号出a，另一个括号出b，即C12ab；同理可得其他展开项．【例3】(1)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10B．20C．30D．60(2)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案)[思路点拨](1)(x2＋x＋y)5相当于5个x2＋x＋y相乘；(2)(x－y)(x＋y)8＝x(x＋y)8－y(x＋y)8，结合题意求解即可．(1)C(2)－20[(1)(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为C25C23C11＝30.故选C.(2)(x－y)(x＋y)8＝x(x＋y)8－y(x＋y)8，所以展开式中含有x2y7的项为x·C78xy7－yC68x2y6＝－20x2y7，故x2y7的系数为－20.]1．两个二项展开式乘积的展开式中的特定项问题(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点．(2)找到构成展开式中特定项的组成部分．(3)分别求解再相乘，求和即得．2．三项或三项以上的展开问题应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时要注意合理性和简捷性．2．(1)(2017·高考全国卷)1＋1x2(1＋x)6展开式中x2的系数为()A．15B．20C．30D．35(2)求(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数．(1)C[(1)(1＋x)6展开式的通项Tr＋1＝Cr6xr，所以1＋1x2(1＋x)6的展开式中x2的系数为1×C26＋1×C46＝30，故选C.](2)[解]把(x2＋3x＋2)5看成5个(x2＋3x＋2)相乘，每个因式各取一项相乘得到展开式中的一项，x项可由1个因式取3x,4个因式取2得到，即C153x·C44·24＝240x，所以(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数为240.1．二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，后者与二项式的指数、项数及字母的系数均有关．2．要牢记Cknan－kbk是展开式的第k＋1项，而非第k项．3．对于非二项式的展开式问题可借助其原理求解．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a＋b)n展开式中共有n项．()(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．()(3)Cknan－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．()(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(x－2)10展开式中x6项的二项式系数为()A．－C410B．C410C．－4C410D．4C410B[含x6项为展开式中第5项，所以二项式系数为C410.]3．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是________．207[x5应是(1＋x)10中含x5项、含x2项分别与1，－x3相乘的结果，∴其系数为C510＋C210(－1)＝207.]4．求x3＋23x25的展开式的第3项的系数和常数项．[解]T3＝C25(x3)323x22＝C25·49x5，所以第3项的系数为C25·49＝409.通项Tk＋1＝Ck5(x3)5－k23x2k＝23k·Ck5x15－5k，令15－5k＝0，得k＝3，所以常数项为T4＝C35(x3)2·23x23＝8027.