2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数阶段性测试题 北师大版必修4

1EvaluationWarning:ThedocumentwascreatedwithSpire.Docfor.NET.第一章三角函数(时间：90分钟满分：120分)第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．sin－10π3的值是()A．－32B．－12C．32D．12解析：sin－10π3＝sin－4π＋2π3＝sin2π3＝sinπ－π3＝sinπ3＝32.答案：C2．设f(x)＝cosπ3x，x≤2017，fx－4，x2017，则f(2018)＝()A．12B．32C．－12D．－32解析：f(2018)＝f(2018－4)＝f(2014)＝cosπ3×2014＝cos670π＋4π3＝cos4π3＝cosπ＋π3＝－cosπ3＝－12.答案：C3．函数y＝－2sinπ4－x2的周期、振幅、初相分别是()A．2π，－2，π4B．4π，2，π4C．2π，2，－π4D．4π，2，－π4解析：y＝2sinx2－π4，∴T＝2πω＝2π12＝4π，A＝2，φ＝－π4.∴选D．答案：D24．已知2sinx＋π2＝1，则cos(x＋π)＝()A．12B．－12C．32D．－32解析：∵2sinx＋π2＝2cosx＝1，∴cosx＝12.∴cos(x＋π)＝－cosx＝－12.答案：B5．化简cos40°cos25°1－sin40°＝()A．1B．2C．3D．2解析：cos40°cos25°1－sin40°＝cos220°－sin220°cos25°·cos20°－sin20°＝cos20°＋sin20°cos25°＝2cos45°－20°cos25°＝2.答案：B6．已知函数f(x)＝sin2x向左平移π6个单位后，得到函数y＝g(x)，下列关于y＝g(x)的说法正确的是()A．图像关于点－π3，0中心对称B．图像关于x＝－π6轴对称C．在区间－5π12，－π6单调递增D．在区间－π6，π3单调递减解析：g(x)＝sin2x＋π6＝sin2x＋π3，2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2，k∈Z，3kπ－512π≤x≤kπ＋π12，k∈Z，令k＝0得－512π≤x≤π12，∴g(x)的一个增区间为－512π，π12，∵－512π，－π6⊆－512π，π12，∴C正确．答案：C7．若直线x＝kπ2(－1≤k≤1)与函数y＝tan2x＋π4的图像不相交，则k＝()A．14B．－34C．14或－34D．－14或34解析：由2x＋π4＝π2＋nπ.n∈Z，得x＝π8＋nπ2.由题意得kπ2＝π8＋nπ2，k＝1＋4n4，又∵－1≤k≤1.∴k＝14或k＝－34.答案：C8．函数y＝sinx的定义域为[a，b]，值域为－12，1，给出以下四个结论：①b－a的最小值为2π3；②b－a的最大值为4π3；③a可能等于2kπ－π6(k∈Z)；④b可能等于2kπ－π6(k∈Z)．其中正确的有()A．4个B．3个C．2个D．1个解析：由y＝sinx的图像得①②③正确．∴选B．答案：B9．(2017·天津卷)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω0，|φ|π.若f5π84＝2，f11π8＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则()A．ω＝23，φ＝π12B．ω＝23，φ＝－11π12C．ω＝13，φ＝－11π24D．ω＝13，φ＝7π24解析：由f5π8＝2，得5π8ω＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，①由f11π8＝0，得11π8ω＋φ＝k′π(k′∈Z)，②由①②得ω＝－23＋43(k′－2k)，又最小正周期T＝2πω2π，所以0ω1，ω＝23，又|φ|π，将ω＝23代入①得φ＝π12.选项A符合．答案：A10．函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为()A．kπ－14，kπ＋34，k∈ZB．2kπ－14，2kπ＋34，k∈ZC．k－14，k＋34，k∈ZD．2k－14，2k＋34，k∈Z解析：由图像可知T＝254－14＝2，∴ω＝2πT＝π.又∵f34＝cos34π＋φ＝－1，∴34π＋φ＝π＋2kπ，k∈Z.∴f(x)＝cosπx＋π4.由2kπ≤πx＋π4≤2kπ＋π，k∈Z，得2k－14≤x≤2k＋34，k∈Z.∴f(x)的单调递减区间为2k－14，2k＋34，k∈Z，故选D．答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共70分)5二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)11．已知扇形AOB的周长是6，圆心角是1弧度，则该扇形的面积为________．解析：设扇形的半径为r.则2r＋1×r＝6，r＝2.∴S＝12×1×22＝2.答案：212．在△ABC中，tanA＝23，则sinA＝________.解析：解法一：如图，在△ABC中，sinA0，又tanA＝23，∴sinA＝211＝2211.解法二：∵tanA＝sinAcosA＝23，且sin2A＋cos2A＝1，∴sinA＝±2211.又∵A为△ABC的内角，∴sinA0，∴sinA＝2211.答案：221113．sin(－120°)cos1290°＋cos(－1020°)sin(－1050°)＝________.解析：原式＝－sin120°cos(1080°＋210°)＋cos(－1080°＋60°)sin(－1080°＋30°)＝－sin120°cos210°＋cos60°sin30°＝sin60°cos30°＋cos60°sin30°＝32×32＋12×12＝34＋14＝1.答案：114．下面有四个命题：①终边在y轴上角的集合是αα＝kπ2，k∈Z；②在同一坐标系中，函数y＝sinx的图像和函数y＝x的图像有三个交点；③把函数y＝3sin2x－π3的图像向左平移π6个单位，得到y＝3sin2x的图像；④函数y＝sinx－π2在[0，π]上是减函数．其中正确命题的编号是________(写出正确命题的编号)．6解析：①终边在y轴上角的集合为α|α＝kπ＋π2，k∈Z，故①错；②由三角函数线知，当x∈0，π2时，y＝sinx，y＝x都是函数，所以它们的图像只有一个交点，故②错；③由题意得y＝fx＋π6＝3sin2x＋π6－π3＝3sin2x，故③正确；④y＝sinx－π2＝－cosx，它在[0，π]上是增函数，故④错．答案：③三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)已知α是第三象限角，f(α)＝sinα－π2cos3π2＋αtanπ－αtan－α－πsin－α－π.(1)化简f(α)；(2)若cosα－3π2＝15，求fα＋π2的值．解：(1)f(α)＝－sinπ2－αsinα－tanαtanπ＋αsinπ＋α＝cosαsinαtanαtanα－sinα＝－cosα.(2)∵cosα－3π2＝cos3π2－α＝－sinα＝15，∴sinα＝－15.∴fα＋π2＝－cosα＋π2＝sinα＝－15.16．(12分)(2017·山东卷)设函数f(x)＝sinωx－π6＋sinωx－π2，其中0ω3.已知fπ6＝0.(1)求ω；(2)将函数y＝f(x)的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图像向左平移π4个单位，得到函数y＝g(x)的图像，求g(x)在－π4，3π4上的最小值．解：(1)∵f(x)＝sinωx－π6＋sinωx－π2，∴f(x)＝32sinωx－12cosωx－cosωx＝32sinωx－32cosωx＝312sinωx－32cosωx＝3sinωx－π3.7∵fπ6＝0，∴π6ω－π3＝kπ，k∈Z.∴ω＝6k＋2，k∈Z.又∵0ω3，∴ω＝2.(2)由(1)得f(x)＝3sin2x－π3，∴g(x)＝3sinx＋π4－π3＝3sinx－π12.∵x∈－π4，3π4，∴x－π12∈－π3，2π3.∴当x－π12＝－π3，即x＝－π4时，g(x)取最小值－32.17．(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图像如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)令g(x)＝f－x－π6，求g(x)的单调递增区间．解：(1)由图像知A＝2，f(x)的最小正周期T＝4×5π12－π6＝π，故ω＝2πT＝2，将点π6，2代入f(x)的解析式得sinπ3＋φ＝1，又|φ|＜π2，∴φ＝π6，故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin2x＋π6.(2)g(x)＝2sin2－x－π6＋π6＝－2sin2x＋π6，8由π2＋2kπ≤2x＋π6≤32π＋2kπ得π6＋kπ≤x≤23π＋kπ，k∈Z，∴g(x)的单调递增区间是π6＋kπ，23π＋kπ，k∈Z.18．(14分)已知点A()x1，fx1，B()x2，fx2是函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω0，－π2φ0图像上的任意两点，且角φ的终边经过点P(1，－3)，若|f(x1)－f(x2)|＝4时，|x1－x2|的最小值为π3.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调递增区间；(3)当x∈0，π6时，不等式mf(x)＋2m≥f(x)恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)角φ的终边经过点P(1，－3)，tanφ＝－3，∵－π2φ0，∴φ＝－π3.由|f(x1)－f(x2)|＝4时，|x1－x2|的最小值为π3，得T＝2π3，即2πω＝2π3，∴ω＝3，∴f(x)＝2sin3x－π3.(2)－π2＋2kπ≤3x－π3≤π2＋2kπ，即－π18＋2kπ3≤x≤5π18＋2kπ3，∴函数f(x)的单调递增区间为－π18＋2kπ3，5π18＋2kπ3，k∈Z.(3)当x∈0，π6时，－3≤f(x)≤1，于是2＋f(x)0，mf(x)＋2m≥f(x)等价于m≥fx2＋fx＝1－22＋fx，由－3≤f(x)≤1得fx2＋fx的最大值为13.所以，实数m的取值范围是m≥13.9