九年级上数学课件第一章特殊平行四边形B素养拓展区北师大版

分层练透教材，多重拓展培优第一章特殊平行四边形数学·九年级上册·北师课时学习区专题特殊平行四边形与图形变换专项素养拓训1.[2019湖北黄石八校联考]如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60cm,∠A=60°,点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动.设点D,E运动的时间是ts(0t≤15).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE,EF.(1)求证:AE=DF.(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值;如果不能,说明理由.(3)当t为何值时,△DEF为直角三角形?请说明理由.类型1特殊平行四边形中的动点问题答案1.【解析】(1)依题意,得CD=4t,AE=2t.在Rt△ABC中,∠C=90°-∠A=30°.在Rt△CDF中,∠C=30°,∴DF=12CD=2t,∴AE=DF.(2)能.理由如下:∵DF⊥BC,∠B=90°,∴DF∥AB,由(1)知DF=AE,∴四边形AEFD是平行四边形.当AD=AE时,四边形AEFD是菱形,则60-4t=2t,解得t=10,∴当t=10时,四边形AEFD是菱形.类型1特殊平行四边形中的动点问题答案(3)当t=152时,△DEF是直角三角形(∠EDF=90°);当t=12时,△DEF是直角三角形(∠DEF=90°).理由如下:当∠EDF=90°时,DE∥BC,∴∠ADE=∠C=30°,∴AD=2AE,∴60-4t=2·2t,解得t=152(符合题意).当∠DEF=90°时,DE⊥EF,∵四边形AEFD是平行四边形,∴AD∥EF,∴DE⊥AD,∴△ADE是直角三角形,∠ADE=90°.∵∠A=60°,∴∠DEA=30°,∴AD=12AE,∴60-4t=12·2t,解得t=12(符合题意).综上,当t=152时,△DEF是直角三角形(∠EDF=90°);当t=12时,△DEF是直角三角形(∠DEF=90°).类型1特殊平行四边形中的动点问题2.在正方形ABCD中,动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动.(1)如图1,当点E自D向C,点F自C向B移动时,连接AE和DF交于点P,请写出AE与DF的关系,并说明理由;(2)如图2,当点E,F分别移动到边DC,CB的延长线上时,连接AE和DF,(1)中的结论还成立吗?(请直接回答“成立”或“不成立”,无需证明)(3)如图3,当E,F分别在CD,BC的延长线上移动时,连接AE和DF,(1)中的结论还成立吗?请说明理由.类型1特殊平行四边形中的动点问题答案2.【解析】(1)AE=DF,AE⊥DF.理由如下:∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC,∠ADC=∠C=90°.∵DE=CF,∴△ADE≌△DCF,∴AE=DF,∠DAE=∠CDF.∵∠CDF+∠ADF=90°,∴∠DAE+∠ADF=90°.∴∠APD=90°,∴AE⊥DF.(2)成立.(3)成立.理由如下:同(1)可证AE=DF,∠DAE=∠CDF.如图,延长FD交AE于点G,则∠CDF+∠ADG=90°,∴∠ADG+∠DAE=90°,∴∠AGD=90°,∴AE⊥DF.类型1特殊平行四边形中的动点问题求解运动问题时,往往前面问题的解答思路可用于后面问题的求解.3.如图,在菱形ABCD中,∠A=120°,E是AD上的点,沿BE折叠△ABE,点A恰好落在BD上的点F处,那么∠BFC的度数是()A.60°B.70°C.75°D.80°答案3.C【解析】∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,∠A+∠ABC=180°,BD平分∠ABC.∵∠A=120°,∴∠ABC=60°,∴∠FBC=30°.由折叠的性质,可得AB=BF,∴BF=BC,∴∠BFC=∠BCF=12×(180°-30°)=75°.故选C.类型2特殊平行四边形中的折叠问题4.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠,点D落在点D'的位置,则重叠部分△AFC的面积为()A.12B.10C.8D.6答案4.B【解析】由折叠及矩形的性质可知,AD'=AD=BC=4,∠ACD=∠ACD'.∵AB∥CD,∴∠ACD=∠CAF,∴∠ACF=∠CAF,∴AF=CF,设AF=CF=x,则BF=8-x.在Rt△BCF中,BC2+BF2=CF2,∴42+(8-x)2=x2,解得x=5,∴AF=5,∴S△AFC=12AF·BC=10.故选B.类型2特殊平行四边形中的折叠问题5.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E是BC边上一点,连接AE,把矩形沿AE折叠,使点B落在点B'处.当△CEB'为直角三角形时,BE的长为.答案5.32或3【解析】由题意知,需分两种情况讨论:①当∠CB'E=90°时,如图1,由折叠得,∠AB'E=∠B=90°,AB=AB',∴∠AB'C=180°,∴A,B',C三点共线.在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,∴AC=5.∵AB'=AB=3,∴B'C=AC-AB'=2.设BE=x,则CE=BC-BE=4-x,B'E=x,在Rt△B'CE中,B'E2+B'C2=CE2,即x2+22=(4-x)2,解得x=32.②当∠B'EC=90°时,如图2,由折叠可知△ABE≌△AB'E,∴BE=B'E,∠B=∠AB'E=90°,∴四边形ABEB'是正方形,∴BE=AB=3.综上所述,当△CEB'为直角三角形时,BE的长为32或3.类型2特殊平行四边形中的折叠问题6.如图,现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为AD边上的一点,将正方形纸片折叠,使点B落在点P处,点C落在点G处,PG交DC于点H,折痕为EF,连接BP,BH.(1)求证:∠APB=∠BPH.(2)当点P在边AD上移动(不与点A、点D重合)时,△PDH的周长是否发生变化?请证明你的结论.答案6.【解析】(1)由折叠的性质,得∠EPH=∠EBC=90°,PE=BE,∴∠EBP=∠EPB,∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP,即∠PBC=∠BPH.∵AD∥BC,∴∠APB=∠PBC,∴∠APB=∠BPH.类型2特殊平行四边形中的折叠问题答案(2)△PDH的周长不变.证明如下:过点B作BQ⊥PH,垂足为Q.由(1)知∠APB=∠BPH.在△ABP和△QBP中,∠𝐴𝑃𝐵=∠𝑄𝑃𝐵,∠𝐴=∠𝐵𝑄𝑃,𝐵𝑃=𝐵𝑃,∴△ABP≌△QBP,∴AP=QP,AB=QB.∵AB=BC,∴BC=BQ.在Rt△BCH和Rt△BQH中,𝐵𝐶=𝐵𝑄,𝐵𝐻=𝐵𝐻,∴Rt△BCH≌Rt△BQH,∴CH=QH.∴△PDH的周长为PD+DH+PH=PD+DH+AP+HC=AD+CD=8.故△PDH的周长不发生变化.类型2特殊平行四边形中的折叠问题7.小明参加数学兴趣小组的探究活动,将边长为2的正方形ABCD与边长为22的正方形AEFG按图1的位置放置,AD与AE在同一条直线上,AB与AG在同一条直线上.(1)小明发现DG⊥BE,请你帮他说明理由;(2)如图2,小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转,当点B恰好落在线段DG上时,请你帮他求出此时BE的长.类型3特殊平行四边形中的旋转问题答案7.【解析】(1)∵四边形ABCD与四边形AEFG是正方形,∴AD=AB,∠DAG=∠BAE=90°,AG=AE,∴△ADG≌△ABE,∴∠AGD=∠AEB.如图1,延长EB交DG于点H.在△ADG中,∠AGD+∠ADG=90°,∴∠AEB+∠ADG=90°,∴∠DHE=180°-(∠AEB+∠ADG)=90°,∴DG⊥BE.(2)∵四边形ABCD与四边形AEFG是正方形,∴AD=AB,∠DAB=∠GAE=90°,AG=AE,∴∠DAB+∠BAG=∠GAE+∠BAG,∴∠DAG=∠BAE,又∵AD=AB,AG=AE,∴△ADG≌△ABE,∴DG=BE.类型3特殊平行四边形中的旋转问题答案如图2,过点A作AM⊥DG于点M,则∠AMD=∠AMG=90°,∵BD是正方形ABCD的对角线,∴∠MDA=45°.在Rt△AMD中,∠MDA=45°,AD=2,可得DM=AM=2,在Rt△AMG中,GM=𝐴𝐺2−𝐴𝑀2=6,∴DG=DM+GM=2+6,∴BE=DG=2+6.类型3特殊平行四边形中的旋转问题8.已知:正方形ABCD中,∠MAN=45°,将∠MAN绕点A接顺时针方向旋转,它的两边分别交CB,DC(或它们的延长线)于点M,N.(1)当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1),求证:BM+DN=MN.(2)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图2),线段BM,DN和MN之间的数量关系是.(3)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时,猜想线段BM,DN和MN之间又有怎样的数量关系,并对你的猜想加以说明.类型3特殊平行四边形中的旋转问题答案8.【解析】(1)如图1,延长CB至点E,使得BE=DN,连接AE.易证△ABE≌△ADN,∴∠BAE=∠DAN,AE=AN,∴∠EAN=∠BAE+∠BAN=∠DAN+∠BAN=90°,∵∠MAN=45°,∴∠EAM=∠MAN,又∵AM=AM,∴△AEM≌△ANM,∴ME=MN,即BM+BE=MN,∴BM+DN=MN.(2)BM+DN=MN类型3特殊平行四边形中的旋转问题答案(3)DN-BM=MN.理由如下:如图2,在DC上截取DE=BM,连接AE.易证△ADE≌△ABM,∴∠DAE=∠BAM,AE=AM,∴∠EAM=∠BAM+∠BAE=∠DAE+∠BAE=90°,∵∠MAN=45°,∴∠EAN=∠MAN,又∵AN=AN,∴△MAN≌△EAN,∴EN=MN,即DN-DE=MN,∴DN-BM=MN.类型3特殊平行四边形中的旋转问题综合素养拓训发展核心素养,有助于学会用数学的眼光观察现实世界,所谓数学的眼光,就是数学抽象,而数学抽象中就包括几何直观.第1题在探究线段之间的数量关系时,注重对比训练,研究正方形中的解题思路在菱形中是否仍然适用,关注核心素养中的逻辑推理;第2题研究运动过程中的恒等关系,在直观想象中蕴含着抽象、推理,表明核心素养不是相互独立的,而是相互“渗透”的.1.[与正方形有关的探究性问题]如图1,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,连接PA,PC,PE,且PA=PE,PE交CD于点F.(1)证明:PC=PE.(2)求∠CPF的度数.(3)如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当∠ABC=120°时,连接CE,试探究线段AP与线段CE的数量关系,并说明理由.答案1.【解析】(1)在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABP=∠CBP=45°,在△ABP和△CBP中,AB=CB,∠ABP=∠CBP,PB=PB,∴△ABP≌△CBP,∴PA=PC.∵PA=PE,∴PC=PE.(2)由(1)知△ABP≌△CBP,∴∠BAP=∠BCP,∴∠DAP=∠DCP.∵PA=PE,∴∠DAP=∠E,∴∠DCP=∠E.∵∠CFP=∠EFD,∴180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠E,∴∠CPF=∠EDF=90°.答案(3)AP=CE.理由如下:在菱形ABCD中,AB=CB,∠ABP=∠CBP=60°,∠BAD=∠BCD.在△ABP和△CBP中,AB=CB,∠ABP=∠CBP,PB=PB,∴△ABP≌△CBP,∴AP=CP,∠BAP=∠BCP,∴∠DAP=∠DCP.∵AP=EP,∴CP=EP,∠DAP=∠AEP,∴∠DCP=∠AEP.∵∠CFP=∠EFD,∴180°-∠CFP-∠DCP=180°-∠EFD-∠AEP,∴∠CPF=∠EDF=180°-∠ADC=180°-120°=60°,∴△EPC是等边三角形,∴CP=CE,∴AP=CE.2.[正方形与图形旋转]已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过点E作EF⊥BD交BC于点F,连接DF,G为DF的中点,连接EG,CG.(1)如图1,求证:EG=CG.(2)将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转45°