2021学年高中数学人教B版2019必修第三册课件811向量数量积的概念

-1-8.1.1向量数量积的概念-2-8.1.1向量数量积的概念课前篇自主预习课堂篇主题探究课标阐释1.理解向量数量积的含义及其物理意义.2.知道向量的投影与向量数量积的几何意义.3.掌握数量积的定义及运算性质,并会利用其性质解决有关长度、夹角、垂直等问题.思维脉络-3-8.1.1向量数量积的概念课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨在物理学中,我们知道,一个物体受到力的作用,如果在力的方向上发生一段位移,我们就说这个力对物体做了功.如果力的方向和物体运动的方向相同,功就等于力的大小和位移大小的乘积.而当力的方向与物体运动的方向成θ角时,其与位移方向平行的分力F1满足|F1|=|F|cosθ,物体在F1的方向上产生了位移s,因此F对物体做的功W=|F||s|cosθ.在这个公式中,当θ为锐角时,W0,称力对物体做了正功;当θ为钝角时,W0,称力对物体做了负功.也就是说W是一个数量,我们称W为F与s的数量积(也称内积).物体运动时,本节我们从物体的受力做功入手,学习两个向量的数量积.-4-8.1.1向量数量积的概念课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点一:两个向量的夹角给定两个非零向量a,b,在平面内任选一点O,作𝑂𝐴=a,𝑂𝐵=b,则称[0,π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角,记作a,b.当a,b=π2时,称向量a与向量b垂直,记作a⊥b.由于零向量方向是不确定的,在讨论垂直问题时,规定零向量与任意向量垂直.-5-8.1.1向量数量积的概念课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨名师点析两向量的方向与夹角关系除了两非零向量夹角的一般情况,特殊地,当a,b=0时,a与b同向;当a,b=π时,a与b反向;当a,b=或a与b中至少有一个是零向量时,a⊥b.π2微思考在△ABC中,向量𝐴𝐵与向量𝐵𝐶的夹角是∠B吗?为什么?提示不是.向量𝐴𝐵与向量𝐵𝐶的夹角是∠B的补角.-6-8.1.1向量数量积的概念课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微练习作出向量a与b的夹角:(1)(2)答案(1)(2)-7-8.1.1向量数量积的概念课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点二:向量数量积的定义1.一般地,当a与b都是非零向量时,称|a||b|cosa,b为向量a与b的数量积(也称为内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cosa,b.由定义可知,两个非零向量a与b的数量积是一个实数,这与向量的加法、减法及数乘向量的结果仍是一个向量不同.2.数量积的性质如果a,b都是非零向量,向量的数量积有如下性质.(1)|a·b|≤|a||b|(共线时取等号);(2)a·a=|a|2,即|a|=𝑎·𝑎;(3)a⊥b⇔a·b=0;(4)cosa,b=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|.-8-8.1.1向量数量积的概念课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨名师点析(1)向量a,b的数量积只能表示为a·b,不能表示为a×b或ab.(2)由定义可知,两个非零向量a与b的数量积是一个实数,a·b的符号由cosa,b决定,即由a,b的大小决定.也就是说,两个非零向量的数量积可以是正数,可以是零,还可以是负数.这与向量的加法、减法以及数乘向量的结果仍是一个向量不同.(3)在运用数量积公式解题时,一定要注意两向量夹角的范围是[0,π].-9-8.1.1向量数量积的概念课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微思考向量的数量积a·b什么时候为正,什么时候为负,什么时候为零?提示当0°≤a,b90°时,a·b为正;当90°a,b≤180°时,a·b为负;当a,b=90°时,a·b为零.微练习若|a|=3,|b|=4,a∥b,则a·b=.答案±12-10-8.1.1向量数量积的概念课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点三:向量的投影与向量数量积的几何意义1.如图所示,设非零向量𝐴𝐵=a,过A,B分别作直线l的垂线,垂足分别为A',B',则称向量𝐴'𝐵'为向量a在直线l上的投影向量或投影.-11-8.1.1向量数量积的概念课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨2.给定平面上的一个非零向量b,设b所在的直线为l,则a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影,如图所示.向量a在向量b上的投影为𝐴'𝐵',(1)当a,bπ2时,𝐴'𝐵'的方向与b的方向相同,而且|𝐴'𝐵'|=|a|cosa,b;(2)当a,b=π2时,𝐴'𝐵'为零向量,即|𝐴'𝐵'|=0;(3)当a,bπ2时,𝐴'𝐵'的方向与b的方向相反,且|𝐴'𝐵'|=-|a|cosa,b.-12-8.1.1向量数量积的概念课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨3.一般地,如果a,b都是非零向量,则称|a|cosa,b为向量a在向量b上的投影的数量.(1)两个非零向量a,b的数量积a·b,等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积,这就是两个向量数量积的几何意义.(2)当e为单位向量时,因为|e|=1,所以a·e=|a|cosa,e,即任意向量与单位向量的数量积,等于这个向量在单位向量e上的投影的数量.名师点析(1)如果a,b都是非零向量,则b在a方向上的投影的数量可以记为|b|cosa,b,也可记为a在b方向上的投影的数量与b在a方向上的投影的数量是不一样的.(2)投影是数量而不是长度,它的正负与两向量的夹角有关.𝑎·𝑏|𝑎|.-13-8.1.1向量数量积的概念课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微思考一个向量在一个非零向量上的投影,与这个非零向量共线吗?若共线,它们的方向相同还是相反?提示一个向量在一个非零向量上的投影,一定与这个非零向量共线,但它们既有可能方向相同,也有可能方向相反.微练习已知|a|=5,|b|=3,且a·b=-12,则向量a在向量b上的投影的数量等于()A.-4B.4答案AC.-125D.125-14-8.1.1向量数量积的概念课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测与向量数量积有关命题的判断例1已知a,b,c是三个非零向量,则下列命题中正确命题的个数为()①|a·b|=|a||b|⇔a∥b;②a,b反向⇔a·b=-|a||b|;③a⊥b⇔|a+b|=|a-b|;④|a|=|b|⇔|a·c|=|b·c|.A.1B.2C.3D.4-15-8.1.1向量数量积的概念课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测解析①中因为a·b=|a||b|cosθ,所以由|a·b|=|a||b|及a,b为非零向量可得|cosθ|=1,所以θ=0或π,所以a∥b,且以上各步均可逆,故命题①是真命题;②中若a,b反向,则a,b的夹角为π,所以a·b=|a||b|cosπ=-|a||b|,且以上各步均可逆,故命题②是真命题;③中当a⊥b时,将向量a,b的起点确定在同一点,以向量a,b为邻边作平行四边形,则该平行四边形必为矩形,于是它的两对角线长相等,即有|a+b|=|a-b|.反过来,若|a+b|=|a-b|,则以a,b为邻边的四边形为矩形,所以有a⊥b,因此命题③是真命题;④中当|a|=|b|,如果a与c的夹角和b与c的夹角不等时,则|a·c|≠|b·c|,反过来由|a·c|=|b·c|也推不出|a|=|b|.故命题④是假命题.答案C-16-8.1.1向量数量积的概念课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟两向量夹角的关注点两向量方向相同时,夹角为0(或0°);而反向时,夹角为π(或180°);两向量垂直时,夹角为(或90°),因此当两向量共线时,夹角为0或π,反过来,若两向量的夹角为0或π,则两向量共线.π2-17-8.1.1向量数量积的概念课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1设a,b,c是三个向量,有下列命题:①若a·b=a·c,且a≠0,则b=c;②若a·b=0,则a=0或b=0;③a·0=0.其中正确的有()A.0个B.1个C.2个D.3个解析①中,a·b-a·c=a·(b-c)=0,又a≠0,则b=c或a⊥(b-c),即①不正确;②中,a·b=0⇔a⊥b或a=0或b=0,即②不正确;③中,a·0=0,即③不正确.答案A-18-8.1.1向量数量积的概念课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测求向量的投影的数量或数量积例2如图所示,在▱ABCD中,|𝐴𝐵|=4,|𝐴𝐷|=3,∠DAB=60°,求:(1)𝐴𝐷·𝐵𝐶;(2)𝐴𝐵·𝐶𝐷;(3)𝐴𝐵·𝐷𝐴;(4)𝐴𝐵在𝐶𝐵方向上的投影的数量.-19-8.1.1向量数量积的概念课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测解(1)因为𝐴𝐷∥𝐵𝐶,且方向相同,所以𝐴𝐷与𝐵𝐶的夹角是0°,所以𝐴𝐷·𝐵𝐶=|𝐴𝐷||𝐵𝐶|cos0°=3×3×1=9.(2)因为𝐴𝐵∥𝐶𝐷,且方向相反,所以𝐴𝐵与𝐶𝐷的夹角是180°,所以𝐴𝐵·𝐶𝐷=|𝐴𝐵||𝐶𝐷|cos180°=4×4×(-1)=-16.(3)因为𝐴𝐵与𝐴𝐷的夹角为60°,所以𝐴𝐵与𝐷𝐴的夹角为120°,所以𝐴𝐵·𝐷𝐴=|𝐴𝐵||𝐷𝐴|cos120°=4×3×-12=-6.(4)因为𝐴𝐵与𝐴𝐷的夹角为60°,而𝐶𝐵与𝐴𝐷方向相反,所以𝐴𝐵与𝐶𝐵的夹角为120°,所以𝐴𝐵在𝐶𝐵方向上的投影的数量为|𝐴𝐵|cos120°=4×-12=-2.-20-8.1.1向量数量积的概念课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟1.求向量数量积的步骤(1)求向量a与b的夹角θ,θ∈[0,π].(2)分别求|a|和|b|.(3)求数量积,即a·b=|a||b|cosθ.2.求投影的数量的两种方法(1)向量b在a方向上的投影的数量为|b|cosa,b,向量a在b方向上的投影的数量为|a|cosa,b.(2)向量b在a方向上的投影的数量为𝑎·𝑏|𝑎|,向量a在b方向上的投影的数量为𝑎·𝑏|𝑏|.-21-8.1.1向量数量积的概念课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究本例(4)改为求𝐶𝐵在𝐴𝐵方向上的投影的数量.解|𝐶𝐵|×cos120°=3×-12=-32.-22-8.1.1向量数量积的概念课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测向量数量积的性质及应用例3(1)E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,若(𝐴𝐵+𝐵𝐶)·(𝐵𝐶+𝐶𝐷)=0,则四边形EFGH是()A.梯形B.正方形C.菱形D.矩形(2)已知a,b是两个非零向量.若|a|=3,|b|=4,|a·b|=6,求a,b.分析(1)根据向量加法的三角形法则变形,利用向量垂直的几何意义判断垂直关系.(2)利用向量数量积的公式求解.-23-8.1.1向量数量积的概念课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测(1)解析如图,连接AC,BD,则由题意可知,EF∥AC,GH∥AC,所以EF∥GH,同样,GF∥BD,EH∥BD,所以GF∥EH,所以四边形EFGH是平行四边形.又(𝐴𝐵+𝐵𝐶)·(𝐵𝐶+𝐶𝐷)=0,即𝐴𝐶·𝐵𝐷=0,所以𝐴𝐶⊥𝐵𝐷,即AC⊥BD,所以E