2021学年新教材人教B版数学必修第二册课件第4章45增长速度的比较

第四章指数函数、对数函数与幂函数4.5增长速度的比较学习目标核心素养1．了解和体会函数模型在实际生活中的广泛应用．(一般)2．理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义以及三种函数模型性质的比较．(重点)3．会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题．(难点)1．通过三种不同增长的函数模型差异的学习，培养逻辑推理的核心素养．2．借助函数模型的应用，提升数学建模的核心素养.情境导学探新知杰米是百万富翁，一天，他碰到一件奇怪的事，一个叫韦伯的人对他说：“我想和你订个合同，我将在整整一个月中(这个月有31天)，每天给你10万元，而你第一天只需给我1分钱，以后你每天给我的钱是前一天的两倍．”杰米说：“真的？你说话算数？”合同开始生效了，杰米欣喜若狂．第一天杰米支出1分钱，收入10万元．第二天杰米支出2分钱，收入10万元，到了第10天，杰米共得100万元，而总共才付出10元2角3分．到了第20天，杰米共得200万元，而韦伯才得1万多元．杰米想：要是合同订二、三个月该多好！可从21天起，情况发生了转变．第22天杰米支出2万多，收入10万，到第28天，杰米支出134万多，收入10万．结果，杰米在一个月(31)天内得到310万元的同时，共付给韦伯2千1百多万元！杰米破产了．问题1：写出杰米每天收入y(单位：分)与天数x的函数关系式．[提示]y＝107(x∈N*)．问题2：写出杰米每天支出y(单位：分)与天数x的函数关系式．[提示]y＝2x－1(x∈N*)．1．用平均变化率比较函数值变化的快慢(1)定义：函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x2＜x1时)上的平均变化率为ΔfΔx＝___________.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．(3)理解：自变量每增加1个单位，函数值平均将增加____个单位．(4)应用：比较函数值变化的快慢．fx2－fx1x2－x1ΔfΔx[拓展](1)注意自变量与函数值的对应关系，公式中，若Δx＝x2－x1，则Δf＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δf＝f(x1)－f(x2)．(2)平均变化率可正可负，也可为零．但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等．比如，f(x)＝x2在区间[－2,2]上的平均变化率为0，但f(x)＝x2在[－2,2]上的图像先下降后上升，值域是[0,4]．2．三种函数增长速度的比较(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a1)，y＝logax(a1)和y＝xn(n0)都是___函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．(2)随着x的增大，y＝ax(a1)的增长速度_________，会超过并远远大于y＝xn(n0)的增长速度，而y＝logax(a1)的增长速度_________．(3)存在一个x0，当xx0时，有axxnlogax.增越来越快越来越慢3．增长率问题增长率问题是日常生活中常见的问题，计算公式为y＝_______，若某月的产值是b，月增长率为p，则此月开始第n个月后的产值是_______.N(1＋p)xb(1＋p)n1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若f(x)＝2x＋1，自变量每增加1个单位，函数值将增加1个单位．()(2)增加速度是不为0的常数的函数模型是线性增长模型．()(3)指数函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)的增长速度一定比线性增长速度大．()(1)×(2)√(3)×[(1)自变量每增加1个单位，函数值将增加2个单位．(2)线性增长的增长速度是不变的．(3)当a＞1时，指数增长速度比线性增长速度大．]A[比较幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选A.]2．下列函数中，增长速度最快的是()A．y＝2020xB．y＝x2020C．y＝log2020xD．y＝2020xB[由于过(1,2)点，排除C，D；由图像与直线y＝4无限接近，y＜4，排除A，所以选B.]3．已知增函数f(x)的图像如图，则它的一个可能的解析式为()A．y＝2xB．y＝4－4x＋1C．y＝log3(x＋1)D．y＝x(x≥0)－8－2Δx[∵Δf＝f(2＋Δx)－f(2)＝－2(2＋Δx)2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx－2(Δx)2，∴ΔfΔx＝－8－2Δx，即平均变化率为－8－2Δx.]4．函数y＝f(x)＝－2x2＋5在区间[2,2＋Δx]上的平均变化率为________．合作探究释疑难比较函数值增加的快慢【例1】已知函数y＝4x，分别计算函数在区间[1,2]与[3,4]上的平均变化率，并说明，当自变量每增加1个单位时，函数值的变化规律．[思路探究]按照平均变化率的公式进行计算，再说明变化率．[解]因为ΔyΔx＝4x2－4x1x2－x1＝4x14x2－x1－1x2－x1，所以y＝4x在区间[1,2]上的平均变化率为4142－1－12－1＝12，在区间[3,4]上的平均变化率为4344－3－14－3＝192，所以当自变量每增加1个单位时，区间的左端点越大，函数值增加越快．平均变化率在研究函数值增加快慢中的应用(1)计算函数在不同区间上的平均变化率，利用平均变化率的大小比较函数值增加的快慢．(2)平均变化率的大小也代表了区间的端点处的曲线上两点连线斜率的大小，通过直线可以直观观察函数值的变化对曲线变化趋势的影响．[跟进训练]1．已知函数y＝x2－2x－3.(1)分别计算函数在区间[1,2]与[3,4]上的平均变化率，分析当自变量每增加1个单位时，函数值变化的规律；(2)记A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))，D(4，f(4))，判定直线AB与直线CD斜率的相对大小．[解](1)ΔyΔx＝x22－2x2－3－x21－2x1－3x2－x1＝x2＋x1－2，所以在区间[1,2]上的平均变化率为1，在区间[3,4]上的平均变化率为5，所以自变量每增加1个单位，区间长不变的条件下，端点之和越大，函数值增加越快．(2)直线AB的斜率为1，直线CD的斜率为5，直线AB的斜率小于直线CD的斜率．比较函数平均变化率的大小【例2】(教材P39例2改编)已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，h(x)＝log3x，比较这三个函数在区间[a，a＋1](a＞1)上的平均变化率的大小．[思路探究]计算出平均变化率，再利用指数函数、对数函数的性质比较大小．[解]因为ΔfΔx＝3a＋1－3aa＋1－a＝2×3a，ΔgΔx＝2a＋1－2aa＋1－a＝2，ΔhΔx＝log3a＋1－log3aa＋1－a＝log31＋1a，又因为a＞1，所以2×3a＞2×31＝6，log31＋1a＜log31＋11＝log32＜log33＝1，因此在区间[a，a＋1]上，f(x)的平均变化率最大，h(x)的平均变化率最小．不同函数平均变化率大小的比较计算不同的函数在同一个区间上的平均变化率，利用指数、对数函数的性质比较大小，一般选取一个中间值进行比较，以确定平均变化率的大小．[跟进训练]2．已知函数f(x)＝4x，g(x)＝5x，分别计算这两个函数在区间[2,3]上的平均变化率，并比较它们的大小．[解]ΔfΔx＝43－423－2＝48，ΔgΔx＝53－523－2＝100，所以在区间[2,3]上，f(x)的平均变化率比g(x)的小．函数增长速度的应用角度一增长曲线的选择【例3】高为H，满缸水量为V0的鱼缸的轴截面如图所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为V，则函数V＝f(h)的大致图像是()ABCDB[当h＝H时，体积是V，故排除A，C.h由0到H变化的过程中，V的变化开始时增长速度越来越快，类似于指数型函数的图像，后来增长速度越来越慢，类似于对数型函数的图像，综合分析可知选B.][思路探究]根据鱼缸的形状，判断h变化时水的体积V变化的快慢，选择曲线类型．角度二函数变化率大小的应用【例4】函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图像如图所示．设两函数的图像交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数图像，判断f(6)，g(6)，f(2020)，g(2020)的大小．[思路探究]首先判断x1，x2的范围，再判断6和2020在哪个区间内，从而得到f(6)与g(6)，f(2020)与g(2020)的大小．最后四个值进行排序．[解](1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)，∴1＜x1＜2,9＜x2＜10，∴x1＜6＜x2,2020＞x2.从图像上可以看出，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)，∴f(6)＜g(6)．当x＞x2时，f(x)＞g(x)，∴f(2020)＞g(2020)．又∵g(2020)＞g(6)，∴f(2020)＞g(2020)＞g(6)＞f(6)．由图像判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图像判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图像上升的快慢，即随着自变量的增大，图像最“陡”的函数是指数函数；图像趋于平缓的函数是对数函数．[跟进训练]3．(1)若－1＜x＜0，则不等式中成立的是()A．5－x＜5x＜0.5xB．5x＜0.5x＜5－xC．5x＜5－x＜0.5xD．0.5x＜5－x＜5x(2)函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图像如图所示．①试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；②比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．(1)B[画出y1＝5－x，y2＝5x，y3＝0.5x的图像如图，所以－1＜x＜0时，5x＜0.5x＜5－x.](2)[解]①C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lgx.②当x＜x1时，g(x)＞f(x)；当x1＜x＜x2时，f(x)＞g(x)；当x＞x2时，g(x)＞f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x).课堂小结提素养一、知识总结1．平均变化率的求法：根据定义ΔfΔx＝fx2－fx1x2－x1，求出Δx＝x2－x1，Δf＝f(x2)－f(x1)，进而求出ΔfΔx.2．平均变化率大小比较常用方法(1)作商；(2)作差；(3)用临界值．3．几种函数模型的选取(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．(3)当要求增长速度比较均匀时，常常选用一次函数模型．(4)幂函数模型y＝xn(n＞0)，可以描述增长幅度不同的变化：n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n＞1)时，增长较快．二、方法归纳数学建模．三、常见误区实际问题应有定义域并作答．C[依题意，所求平均变化率为1＋Δx2－12Δx＝2＋Δx.故选C.]1．y＝x2＋1在[1,1＋Δx]上的平均变化率是()A．2B．2xC．2＋ΔxD．2＋(Δx)2A[由图易知f(1)＝3，f(3)＝1，因此f3－f13－1＝－1.故选A.]2．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于()A．－1B．1C．－2D．23．函数f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1，k2的大小关系为()A．k1＜k2B．k1＞k2C．k1＝k2D．无法确定D[k1＝fx0＋Δx－fx0x0＋Δx－x0＝2x0＋Δx，k2＝fx0－fx0－Δxx0－x0－Δx＝2x0－Δx.因为Δx可正可负且不为零，所以k1，k2的大小关系不确定．故选D.]2．9[因为f(－1)＝－(－1)2＋(－1)＝－2，f(－0.9)＝－(－0.9)2＋(－0.9)＝－1.71，所以平均变化率为f－0.