2021学年新教材人教B版数学必修第二册课件第4章章末综合提升

第四章指数函数、对数函数与幂函数章末综合提升巩固层知识整合提升层题型探究指数、对数的运算问题解决这类问题首先要熟练掌握指数式和对数式的积、商、幂、方根的运算法则，熟练掌握各种变形．如N＝a，ab＝N，logaN＝b(其中N0，a0，a≠1)是同一数量关系的不同表示形式，因此在许多问题中要能熟练进行它们之间的相互转化，选择适合题目的形式进行运算．【例1】(1)若xlog23＝1，则3x＋9x的值为()A．6B．3C．52D．12(2)已知2a＝5b＝c，1a＋1b＝1，则c＝________.(1)A(2)10[(1)由xlog23＝1得x＝log32，所以3x＋9x＝3log32＋(3log32)2＝2＋4＝6.(2)由2a＝5b＝c，得a＝log2c，b＝log5c，1a＋1b＝1log2c＋1log5c＝logc2＋logc5＝logc10＝1，所以c＝10.]1．指数的运算(1)要注意化简的顺序，一般负指数先转化为正指数，根式先化为分数指数幂．(2)若出现分式，则要注意分子、分母因式分解，以达到约分的目的．(3)进行指数运算时，需要注意根式的两个重要结论以及运算性质的灵活应用．2．对数的运算(1)要注意公式应用过程中范围的变化前后要等价．(2)要注意对数的三个运算法则及对数恒等式、换底公式的灵活应用．(3)底数相同的对数式化简时常用方法：①“拆”：将积(商)的对数拆成同底的对数的和(差)；②“收”：将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数．[跟进训练]1．计算：(1)(8)×(3102)÷105.(2)2log32－log3329＋log38－25log53.[解](1)原式＝＝2－1×103×10＝2－1×10＝102.(2)原式＝log34－log3329＋log38－52log53＝log34×932×8－5log59＝log39－9＝2－9＝－7.函数图像与性质的应用指数函数、对数函数、幂函数是中学数学中重要的函数，它们的图像和性质是考查的重点，应熟练掌握图像的画法及形状，熟记性质，特别要注意指数函数与对数函数的底数在取不同值时，对图像和性质的影响．【例2】当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2logax恒成立，则a的取值范围是()A．(0,1)B．(1,2)C．(1,2]D．0，12C[如图所示：设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2logax恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的图像在f2(x)＝logax的下方即可，当0a1时显然不成立．当a1时，如图，要使在(1,2)上，f1(x)＝(x－1)2的图像在f2(x)＝logax的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2.∴loga2≥1，∴1a≤2，故选C.]1．指数函数、对数函数及幂函数性质的对比(1)指数函数与对数函数的图像与性质都与底数a的取值密切相关，而幂函数的图像与性质与指数α密切相关．底数相同的指数函数、对数函数互为反函数，其单调性相同．(2)指数函数图像过定点(0,1)，对数函数图像过定点(1,0)，幂函数图像过定点(1,1)，并且在指数α0时过(0,0)，(1,1)．2．含有对数式的函数最值的求法含有对数式的函数最值问题，首先考虑函数的定义域，在函数定义域的制约之下，利用换元法将问题转化为一个函数在一个区间上的最值问题．提醒：研究函数的性质应树立定义域优先的原则．[跟进训练]2．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝12x.(1)画出函数f(x)的图像；(2)根据图像写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．[解](1)先作出当x≥0时，f(x)＝12x的图像，利用偶函数的图像关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图像，如图所示．(2)函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]．数的大小比较问题比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用，最基本的方法是将需要比较大小的实数看成某类函数的函数值，然后利用该类函数的单调性进行比较．【例3】比较下列各组数的大小：(1)log0.22，log0.049；(2)a1.2，a1.3；(3)30.4,0.43，log0.43.[解](1)log0.049＝lg9lg0.04＝lg32lg0.22＝2lg32lg0.2＝lg3lg0.2＝log0.23.∵y＝log0.2x在(0，＋∞)上单调递减，∴log0.22＞log0.23，即log0.22＞log0.049.(2)∵函数y＝ax(a＞0，且a≠1)，当底数a＞1时，在R上是增函数；当底数0＜a＜1时，在R上是减函数，∵1.2＜1.3，∴当a＞1时，有a1.2＜a1.3；当0＜a＜1时，有a1.2＞a1.3.(3)∵30.4＞30＝1,0＜0.43＜0.40＝1，log0.43＜log0.41＝0，∴log0.43＜0.43＜30.4.1．数(式)的大小比较及常用的方法比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查指数函数、对数函数、幂函数图像与性质的应用．常用的方法有单调性法、图像法、中间量法、作差法、作商法等．2．数的大小比较常用的技巧(1)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．(2)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”“大于等于0小于等于1”“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小．[跟进训练]3．(1)已知a＝log20.3，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是()A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．b＞c＞aD．c＞b＞a(2)，则()A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜c＜aD．b＜a＜c(1)C(2)D[(1)∵a＝log20.3＜log21＝0，b＝20.3＞20＝1,0＜c＝0.30.2＜0.30＝1，∴b＞c＞a.故选C.(2)∵a＝2＜0，b＝3＜0，2＞3，3＞3，c＝130.3＞0.∴b＜a＜c.故选D.]分类讨论思想所谓分类讨论，实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略．分类讨论时应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全面，明确分类的标准，不重不漏地分类讨论．在初等函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，可根据函数的图像和性质，依据函数的单调性分类讨论，使得求解得以实现．【例4】已知函数f(x)＝x－2m2＋m＋3(m∈N)为偶函数，且f(3)f(5)．(1)求m的值，并确定f(x)的解析式；(2)若g(x)＝loga[f(x)－ax](a0，且a≠1)在[2,3]上为增函数，求实数a的取值范围．[思路探究](1)结合f(3)f(5)，与函数f(x)的奇偶性，分类讨论确定m的值及f(x)的解析式．(2)由g(x)为增函数，结合a讨论，求出a的取值范围．[解](1)由f(3)f(5)，得3－2m2＋m＋35－2m2＋m＋3，∴35－2m2＋m＋31＝350.∵y＝35x为减函数，∴－2m2＋m＋30，解得－1m32.∵m∈N，∴m＝0或1.当m＝0时，f(x)＝x－2m2＋m＋3＝x3为奇函数，不合题意；当m＝1时，f(x)＝x－2m2＋m＋3＝x2为偶函数．综上，m＝1，此时f(x)＝x2.(2)由(1)知，当x∈[2,3]时，g(x)＝loga(x2－ax)．①当0a1时，y＝logau在其定义域内单调递减，要使g(x)在[2,3]上单调递增，则需u(x)＝x2－ax在[2,3]上单调递减，且u(x)0.∴a2≥3，u3＝32－3a0，无解；②当a1时，y＝logau在其定义域内单调递增，要使g(x)在[2,3]上单调递增，则需u(x)＝x2－ax在[2,3]上单调递增，且u(x)0.∴a2≤2，u2＝22－2a0，解得a2.∴实数a的取值范围为(1,2)．分类讨论思想在指数函数和对数函数中的应用(1)原理：底数大于1时，指数函数与对数函数均是增函数；底数大于0小于1时，指数函数与对数函数均是减函数．(2)步骤：①确定底数的大小；②根据底数的大小，依据单调性及定义域列出不等式(组)；③解所列出的不等式(组)求得参数的范围．[跟进训练]4．设a0且a≠1，若P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，试比较P，Q的大小．[解]当0a1时，有a3a2，即a3＋1a2＋1.又当0a1时，y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，∴loga(a3＋1)loga(a2＋1)，即PQ；当a1时，有a3a2，即a3＋1a2＋1.又当a1时，y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，∴loga(a3＋1)loga(a2＋1)，即PQ.综上可得PQ.培优层素养升华【例】已知函数f(x)的定义域为R，且对任意的x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．当x＞0时，f(x)＞0，f(1)＝2.(1)求f(0)并证明f(x)的奇偶性；(2)判断f(x)的单调性并证明；(3)若f(4x－a)＋f(6＋2x＋1)＞6对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．[解](1)f(0)＝f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0，又f(x)的定义域为R，关于原点对称，f(0)＝f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)f(x)在R上单调递增，证明如下．∀x1＞x2，有f(x1－x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1)－f(x2)，因为x1－x2＞0，所以f(x1－x2)＞0，所以f(x1)－f(x2)＞0，所以f(x)在R上单调递增．(3)由题知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．当x＞0时，f(x)＞0，f(1)＝2，所以f(2)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)＝4，f(3)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝6.所以f(4x－a)＋f(6＋2x＋1)＝f(4x－a＋6＋2x＋1)＞6＝f(3)，所以4x－a＋6＋2x＋1＞3，所以a＜(2x)2＋2·2x＋3＝(2x＋1)2＋2，故a≤3.利用函数模型解决抽象函数问题时，可以先从题设条件及欲证的结论入手，多方面猜想函数的模型，然后以此函数模型为桥梁，找出证明抽象函数其他性质的方法．常见抽象函数的性质与对应的特殊函数模型的对照表如下：抽象函数的性质特殊函数模型①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)(x，y∈R)；②f(x－y)＝f(x)－f(y)(x，y∈R)正比例函数f(x)＝kx(k≠0)①f(x)f(y)＝f(x＋y)(x，y∈R)；②fxfy＝f(x－y)(x，y∈R，f(y)≠0)指数函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)①f(xy)＝f(x)＋f(y)(x＞0，y＞0)；②fxy＝f(x)－f(y)(x＞0，y＞0)对数函数f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)①f(xy)＝f(x)f(y)(x，y∈R)；②fxy＝fxfy(x，y∈R，y≠0，f(y)≠0)幂函数f(x)＝xn[素养提升练]设函数f(x)的定义域是R，对于任意的实数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x＞0时，0＜f(x)＜1.(1)求证：f(0)＝1，且当x＜0时，f(x)＞1；(2)判断函数f(x)在R上的单调性．[解](1)证明：因为对任意的实数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，令m＝1，n＝0，则f(1)＝f(1)·f(0)．因为当x＞0时，0＜f(x)＜1，所以f(0)＝1.设m＝x＜0，n＝－x＞0，所以f(0)＝f(x)·f(－x)，所以f(x