2021学年新教材数学人教B版必修第二册46函数的应用二学案Word版含答案

4.6函数的应用(二)学习目标1.自主研读课本,能用自己的话说出指对数函数和幂函数的增长特征,并举例说明;2.探究用指数函数和对数函数的性质解决实际问题的规律方法;3.通过体会函数模型的广泛应用,培养学生分析问题解决问题的能力.自主预习1.复利是和单利相对应的经济概念,单利的计算不用把利息计入本金计算;而复利恰恰相反,它的利息要并入本金中重复计息.2.70原则,如果某个经济变量每年按x%增长,在将近年以后这个变量就会翻一番.3.应用函数模型解决问题的基本过程(1)审题——弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择模型;(2)建模——将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识建立相应的数学模型;(3)求模——求解数学模型,得出数学模型;(4)还原——将数学结论还原为实际问题.4.思考辨析,判断正误.(1)在选择实际问题的函数模型时,必须使所有的数据完全符合该函数模型.()(2)利用函数模型求实际应用问题的最值时,要特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符.()(3)用函数模型预测的结果和实际结果必须相等,否则函数模型就无存在意义了.()课堂探究情景引入:让我们来先来看一个有关阿瑞和阿杰的小故事吧.阿瑞和阿杰同时大学毕业,阿瑞在内地家乡找了份工作,而阿杰则南下深圳求发展.两人找到的工作薪水一样高,都是年收入3万元.阿瑞的家乡每年经济发展速度是1%,而阿杰所在的深圳则是3%.让我们来看看40年后,都发生了些什么?40年后,阿瑞、阿杰都已62岁了,这时,阿瑞的年收入变成了4.5万元,而阿杰的收入变成了每年9.8万元,整整比阿瑞多了2倍多.问题原因究竟在哪儿呢?为什么40年的光阴会发生这么大的变化?一、指数型函数模型例1有些银行存款是按复利的方式计算利息的,即把前一期的利息与本金加在一起作为本金,再计算下一期的利息.假设最开始本金为a元,每期的利率为r,存x期后本息和为f(x)元.(1)写出f(x)的解析式;(2)至少要经过多少期后,本息和才能不小于本金的2倍?问题存三期后,本息和怎么表示?跟踪训练目前某县有100万人,经过x年后为y万人.如果年平均增长率是1.2%,请回答下列问题.(已知:1.01210≈1.1267,1.01211≈1.1402,lg1.2≈0.079,lg1.012≈0.005)(1)写出y关于x的函数解析式;(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人);(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)?反思感悟在实际问题中,有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示,通常可以表示为y=N(1+p)x(其中N为基础数,p为增长率,x为时间)的形式.情境引入的回答:这是复利和经济学70规则的原因,它能帮你更清楚的了解增长率和复利的巨大威力.按照70规则,如果某个经济变量每年按x%增长,在将近年以后这个变量就会翻一番.阿瑞身处经济发展速度为1%的内地,要翻一番需要70年的时间,而在阿杰所处的深圳,收入按3%增长,因此,收入翻一番只需要年左右,现在,你该明白为什么阿杰老来显得比阿瑞阔绰的多了吧.二、对数型函数模型例2人们通常以分贝(符号dB)为单位来表示声音强度的等级,期中0dB是人能听到的等级最低的声音.一般地,如果强度为x的声音对应的等级为f(x)dB,则有f(x)=10lg-.(1)求等级为0dB的声音的强度;(2)计算出90dB的声音与60dB的声音强度之比.跟踪训练我们知道,燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬,研究燕子的科学家发现,两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v=5log2,单位是m/s,其中O表示燕子的耗氧量.(1)计算,当燕子静止时的耗氧量是多少个单位?(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度是多少?反思感悟有关对数型函数的应用题一般都会给出函数关系式,要求根据实际情况求出函数关系式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入关系式求值,然后根据值回答其实际意义.课堂小结通过本节课的学习,你有什么收获?(知识层面,思想方法层面)核心素养专练阅读课本,结合学案,进行知识整理,形成系统.1.A层:课本P44习题4-6A.2.B层:P45习题4-6B.3.(1)某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不超过0.1%,若初始时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少,至少应过滤几次才能使产品达到市场要求?(lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)(2)据统计,每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系y=alog3(x+2),观测发现2013年冬(作为第1年)有越冬白鹤3000只,估计到2019年冬有越冬白鹤()A.4000只B.5000只C.6000只D.7000只4.查阅资料,了解更多函数应用的相关知识和函数在复利、人口增长率、噪音等方面的应用.参考答案自主预习4.(1)×(2)√(3)×情景引入问题:其实根本原因就在2%的增长率差异和40年的时光;阿瑞身处经济发展速度为1%的内地,要翻一番需要70年的时间,而阿杰所处的深圳收入以3%的速度增长,因此翻一番只需要年左右。现在,你该明白为什么阿杰老来显得比阿瑞阔绰的多了吧。例1解:(1)f(1)=a+ar=a(1+r),f(2)=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2,f(3)=a(1+r)2+a(1+r)2r=a(1+r)3,…,因此f(x)=a(1+r)x,x∈N+.(2)由f(x)≥2a,可得a(1+r)x≥2a,有此可解得x≥.设不小于的最小整数位x0,则至少要经过x0期后,本息和才能不小于本金的2倍.由例1的(2)可以得到银行业中经常使用的“70原则”:因为ln2≈0.69315,而且当r比较小时,ln(1+r)≈r,所以≈≈,即利率为r时,本息和大约要期才能“倍增”((即为原来的2倍)。例如,当年利率为5%时,约要经过14年,本息和才能“倍增”.问题a(1+r)3跟踪训练解:(1)1年后该城市人口总数为y=100+100×1.2%=100(1+1.2%).2年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)+100×1.2%(1+1.2%)=100(1+1.2%)2.3年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)2+100×(1+1.2%)2·1.2%=100(1+1.2)3.x年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)x.(2)10年后该城市人口数为100×(1+1.2%)10≈112.7(万).(3)设x年后该城市人口将达到120万,即100×(1+1.2%)x=120,∴1.012x=1.20.∴x=log1.0121.2≈15(年).答:(1)人口总数y与年份x间的函数关系是y=100×(1+1.2%)x.(2)10年后的城市人口总数约为112.7万.(3)大约15年后该城市人口将达到120万人.例2解:(1)由f(x)=0,即10lg-=0,可得x=1×10-12.因此等级为0dB的声音强度为1×10-12.(2)设f(x1)=90,则10lg-=90,解得x1=10-3.设f(x2)=60,同理可得x2=10-6.因此所求强度之比为=--=1000.跟踪训练解:(1)当燕子静止时,v=0,故有0=5,所以=0,O=10.即燕子静止时的耗氧量是10个单位.(2)一只两岁燕子的耗氧量为80个单位时,它的飞行速度v=5=5×3=15(m/s).核心素养专练1.略2.略3.(1)解:设过滤n次能使产品达到市场要求,依题意,得×()≤,即()≤.则n(lg2-lg3)≤-(1+lg2),故n≥-≈7.4.因为n∈N,故n≥8,即至少要过滤8次才能达到市场要求.(2)C4.略学习目标1.通过运用指数函数、对数函数和幂函数的性质来解决生活中的简单的实际问题,提升数学建模、数学运算核心素养.2.了解函数模型在社会生活及科研的广泛应用.3.培养数学的应用意识及分析问题、解决问题的能力,提升数学建模核心素养.自主预习1.y=ax(a1)y=logax(a1)y=xn(n0)在(0,+∞)上的单调性增长速度图像的变化随x值增大,图像与y轴接近平行随x值增大,图像与x轴接近平行随n值变化而不同2.某同学在一次数学实验中,获得了如下一组数据:x-2.0-1.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02则x,y的函数关系最接近(其中a,b为待定系数)函数()A.y=a+bxB.y=a+bxC.y=ax2+b课堂探究探究一:有些银行是按复利的方式计算利息的,即把前一期的利息与本金加在一起为本金,再计算下一期的利息.假设最开始本金为a元,每期的利率为r,存x期后本息和为f(x)元.(1)写出f(1),f(2)和f(3),根据所求结果归纳出函数f(x)的解析式;(2)至少要经过多少期后,本息和才能不小于本金的2倍?变式训练1诺贝尔奖发放方式为:每年发放一次,把奖金总额平均分成6份,奖励给分别在物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平上为人类做出最有益贡献的人.每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半,另一半利息作基金总额,以便保证奖金数逐年增加.假设基金平均年利率为r=6.24%.资料显示:2015年诺贝尔奖发放后基金总额约为19800万美元.设f(x)表示第x(x∈N+)年诺贝尔奖发放后的基金总额.(2015年记为f(1),2016年记为f(2),…,依次类推)(1)用f(1)表示f(2)与f(3),并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式;(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2025年诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真,并说明理由.(参考数据:1.03129≈1.32)探究二:人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声音强度的等级,其中0dB是人能听到的等级最低的声音.一般地,如果强度为x的声音对应的等级为f(x)dB,则有f(x)=10lg-.(3)求等级为0dB的声音的强度;(4)计算出90dB和60dB的声音的强度;求出90dB和60dB的声音的强度之比.变式训练2我们常说的里氏震级M,其计算公式为M=lgA-lgA0,其中,A是被测地震的最大振幅,A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差).(1)假设在一次地震中,一个距离震中100km的测震仪记录的地震的最大振幅为20,此时标准地震的振幅是0.001,计算这次地震的震级(精确到0.1,其中lg2≈0.3010);(2)5级地震给人的震感已比较明显,计算7.6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍?(精确到1,其中102.6≈398)探究三:在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量速率R(cm3/s)与管道半径r(cm)的四次方成正比.(1)假设气体在半径为3cm的管道中,流量速率为400cm3/s.求该气体通过半径为rcm的管道时,其流量速率R的表达式;(2)已知(1)中的气体通过的管道半径为5cm,计算该气体的流量速率.核心素养专练1.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog2(x+1),设这种动物第一年有100只,第7年它们发展到()A.300只B.400只C.500只D.600只2.今有一组数据如下表所示:t1.9933.0024.0015.0326.121s1.5014.4137.49812.0417.93现准备用下列函数中的一个近似地表示数据满足的规律,其中接近的一个是()A.s=2t-3+1B.s=log2tC.s=t2-D.s=2t-23.某公司为适应市场需求,对产品结构进行了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后期增长越来越慢.若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用()A.一次函数B.二次函数C.指数型函数D.对数型函数4.某人骑自行车沿直线匀速行驶,先前进了akm,休息了一段时间,又沿原路返回bkm(ba),再前进ckm,则此人与起点的距离s与时间t的关