2021学年新教材数学人教B版必修第二册知识基础练611向量的概念Word版含解析

6.1.1向量的概念必备知识基础练进阶训练第一层知识点一向量的有关概念1.下列结论中正确的是()A．对任一向量a，|－a|0总是成立的B．模为0的向量的方向是不确定的C．向量就是有向线段D．任意两个单位向量的方向相同2．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有()A．1个B．2个C．3个D．4个3．一个人从A点出发向西走了5米到C，又向南走了5米到达B点，求此人从A到B的位移．知识点二相等向量与共线向量4.下列关于向量的说法正确的个数是()①始点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；②始点相同，相等的两个非零向量的终点相同；③两个平行的非零向量的方向相同；④两个共线的非零向量的始点与终点一定共线．A．3B．2C．1D．05．给出下列命题：①若a∥b，则a与b的方向相同或相反；②若两个模相等的向量互相平行，则这两个向量相等；③若a＝b，b＝c，则a＝c，其中正确的是________．(填序号)6．如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点．(1)写出与EF→共线的向量；(2)写出模与EF→的模相等的向量；(3)写出与EF→相等的向量．知识点三向量的表示及应用7.在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝5，并说出向量c的终点的轨迹是什么？8．一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100km到达D点．(1)作出向量AB→，BC→，CD→；(2)求|AD→|.关键能力综合练进阶训练第二层一、选择题1．下列各命题中，正确命题的个数为()①若|a|＝|b|，则a＝b；②若AB→＝DC→，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④若0∥a，0∥b，则a∥b.A．4B．3C．2D．12．在⊙O中，以O点为始点，圆周上任一点为终点作向量，则该向量可以确定的要素是()A．方向B．大小C．大小和方向D．以上均不对3．设O是△ABC的外心，则AO→，BO→，CO→是()A．相等向量B．模相等的向量C．平行向量D．起点相同的向量4．如图，已知D，E，F是正三角形ABC三边的中点，由A，B，C，D，E，F六点中的两点构成的向量中与DF→(DF→除外)共线的向量个数为()A．2B．4C．5D．75．(易错题)两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a和b(假定两列火车始终沿同一直线行驶)，则下列说法中错误的是()A．a与b为平行向量B．a与b为模相等的向量C．a与b为共线向量D．a与b为相等的向量6．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则|PD→||AD→|的值为()A.12B.13C．1D．2二、填空题7．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的始点，移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积等于________．8．如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取2个交点组成向量，则与AC→平行且长度为22的向量的个数是________．9．(探究题)如果在一个边长为5的正△ABC中，一个向量所对应的有向线段为AD→(其中D在边BC上运动)，则向量AD→长度的最小值为________.三、解答题10．如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：(1)分别找出与AO→，BO→相等的向量；(2)找出与AO→共线的向量；(3)找出与AO→的模相等的向量．学科素养升级练进阶训练第三层1．(多选题)如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法正确的是()A．与AB→相等的向量只有一个(不含AB→)B．与AB→的模相等的向量有9个(不含AB→)C.BD→的模恰好为DA→的模的3倍D.CB→与DA→不共线2．设W是由一平面内的n(n≥3)个向量组成的集合．若a∈W，且a的模不小于W中除a外的所有向量和的模．则称a是W的极大向量．有下列命题：①若W中每个向量的方向都相同，则W中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量a，b，在该平面内总存在唯一的平面向量c＝－a－b，使得W＝{a，b，c}中的每个元素都是极大向量；③若W1＝{a1，a2，a3}，W2＝{b1，b2，b3}中的每个元素都是极大向量，且W1，W2中无公共元素，则W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是________.3．(情境命题—生活情境)一位模型赛车手遥控一辆赛车，沿正东方向前行1m，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1m，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1m，按此方法继续操作下去．(1)按适当的比例作图说明当α＝45时，至少需操作几次时赛车的位移为0；(2)按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？请写出其中两个．第六章平面向量初步6.1平面向量及其线性运算6．1.1向量的概念必备知识基础练1．解析：若向量a为零向量，则|－0|＝0，故A错误；模为0的向量为零向量，零向量的方向是不确定的，B正确；有向线段是向量的几何表示，是个图形，而向量是带方向的量，不是有向线段，C错误；任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，D错误．答案：B2．解析：一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量．答案：D3．解析：如下图，位移为向西南方向走了52米．4．解析：始点相同，方向相同的两个非零向量若长度不相等，则终点不相同，故①不正确；始点相同，相等的两个非零向量的终点相同，故②正确；两个平行的非零向量的方向相同或相反，故③不正确；两个共线的非零向量的始点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行，故④不正确．答案：C5．解析：由于零向量的方向是任意的，且规定与任意向量平行，故取a＝0，则对于任意的向量b，都有a∥b，知①错误；两个模相等的向量互相平行，方向可能相反，知②错误；由两个向量相等的概念可知③正确．答案：③6．解析：(1)因为E，F分别是AC，AB的中点，所以EF∥BC，EF＝12BC.又因为D是BC的中点，所以与EF→共线的向量有FE→，BD→，DB→，DC→，CD→，BC→，CB→.(2)模与EF→模相等的向量有FE→，BD→，DB→，DC→，CD→.(3)与EF→相等的向量有DB→，CD→.7．解析：(1)根据相等向量的定义，所作向量b与向量a平行，且长度相等，且以B为终点(作图略)．(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为5的圆(作图略)．8．解析：(1)向量AB→，BC→，CD→如图所示．(2)由题意，可知AB→与CD→方向相反，故AB→与CD→共线，∵|AB→|＝|CD→|，∴在四边形ABCD中，AB∥CD且AB＝CD，∴四边形ABCD为平行四边形，∴AD→＝BC→，∴|AD→|＝|BC→|＝200km.关键能力综合练1．解析：①|a|＝|b|只说明两向量大小相等，不能得出两向量同向，故此命题不正确；②由AB→＝DC→可得|AB→|＝|DC→|且AB→∥DC→，由于AB→∥DC→，A，B，C，D可能在同一条直线上，故此命题不正确；③正确；④0与任意向量平行，命题不正确．答案：D2．解析：由于⊙O半径的确定性，因此该向量的长度(大小)是确定的．答案：B3．解析：因为O是△ABC的外心，所以|AO→|＝|BO→|＝|CO→|.答案：B4．解析：与DF→共线的向量有：AE→，EA→，EC→，CE→，AC→，CA→，FD→.答案：D5．解析：根据题意，依次分析选项可知A，B，C均成立，对于D，a与b为反向的共线向量，则a和b不相等，D错误．答案：D6．解析：因为四边形ABPC是平行四边形，D为对角线BC与AP的交点，所以D为PA的中点，所以|PD→||AD→|的值为1.如图．答案：C7．解析：这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22－π·12＝3π.答案：3π8．解析：找出与AC平行的直线，确定长度为22的线段，共有FH→，HF→，MP→，PM→，AJ→，JA→，KC→，CK→，故共有8个．答案：89．解析：根据题意，在正△ABC中，有向线段AD长度最小时，AD应与边BC垂直，有向线段AD长度的最小值为正△ABC的高，为532.答案：53210．解析：(1)AO→＝BF→，BO→＝AE→.(2)与AO→共线的向量有：BF→，CO→，DE→.(3)与AO→的模相等的向量有：CO→，DO→，BO→，BF→，CF→，AE→，DE→.学科素养升级练1．解析：与AB→相等的向量只有DC→，故A说法正确；在菱形ABCD中，AC＝AB＝BC＝CD＝DA，每一条线段可得方向相反的两个向量，它们的模都相等，故有5×2－1＝9(个)，故B说法正确；计算得DO＝32DA，所以BD＝3DA，即|BD→|＝3|DA→|，故C说法正确；由AD∥BC知CB→与DA→共线，故D说法错误．故选ABC.答案：ABC2．解析：①若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确；②由题意得a，b，c围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确；③3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故W1＝{a1，a2，a3},W2＝{b1，b2，b3}中的每个元素都是极大向量时，W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量，故正确．答案：②③3．解析：(1)如右图可知操作8次可使赛车的位移为零，此时α＝3608＝45.(2)若使赛车能回到出发点，则赛车的位移为零，由第(1)问作图可知，所作图形需是内角为(180－α)度的正多边形，故n(180－α)＝(n－2)180，得α＝360n，又n是不小于3的整数，所以当n＝10即α＝36时需操作10次可回到出发点；当n＝12即α＝30时需操作12次可回到出发点.