新教材2021学年高中人教A版数学必修第2册课件第6章平面向量及其应用章末知识梳理

第六章平面向量及其应用章末知识梳理核心知识归纳要点专项突破知识体系构建返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）知识体系构建返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）核心知识归纳返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）1．五种常见的向量(1)单位向量：模为1的向量.(2)零向量：模为0的向量.(3)平行(共线)向量：方向相同或相反的非零向量.(4)相等向量：模相等，方向相同的向量.(5)相反向量：模相等，方向相反的向量.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）2．两个重要定理(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底.3．两个非零向量平行、垂直的等价条件若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(1)a∥b⇔a＝λb(λ≠0)⇔x1y2－x2y1＝0，(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0．返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）4．平面向量的三个性质(1)若a＝(x，y)，则|a|＝a·a＝x2＋y2.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.5．向量的投影向量a在b方向上的投影为|a|cosθ＝a·b|b|，其中θ为a与b的夹角.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）6．向量的运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a，a·b＝b·a.(2)结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c，a－b－c＝a－(b＋c)，(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).(3)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb，(a＋b)·c＝a·c＋b·c.(4)重要公式：(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，(a±b)2＝a2±2a·b＋b2．返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）7．正弦定理与余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asinA＝bsinB＝csinC＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）定理正弦定理余弦定理变形公式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；③a︰b︰c＝sinA︰sinB︰sinC；④a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝asinAcosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝a2＋c2－b22ca；cosC＝a2＋b2－c22ab返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）要点专项突破返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）向量线性运算的基本原则和求解策略(1)基本原则：向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算.向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面.要点一平面向量的线性运算及应用返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）(2)求解策略：①向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧.②字符表示下线性运算的常用技巧：首尾相接用加法的三角形法则，如AB→＋BC→＝AC→；共起点两个向量作差用减法的几何意义，如OB→－OA→＝AB→.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）典例1若D点在三角形ABC的边BC上，且CD→＝4DB→＝rAB→＋sAC→，则3r＋s的值为()A．165B．125C．85D．45C返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[解析]因为CD→＝4DB→＝rAB→＋sAC→，所以CD→＝45CB→＝45(AB→－AC→)＝rAB→＋sAC→，所以r＝45，s＝－45，所以3r＋s＝125－45＝85.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❶如图所示，正方形ABCD中，M是BC的中点，若AC→＝λAM→＋μBD→，则λ＋μ等于()A．43B．53C．158D．2B返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[解析]因为AC→＝λAM→＋μBD→＝λ(AB→＋BM→)＋μ(BA→＋AD→)＝λ(AB→＋12AD→)＋μ(－AB→＋AD→)＝(λ－μ)AB→＋(λ2＋μ)AD→，且AC→＝AB→＋AD→，所以λ－μ＝1，12λ＋μ＝1，得λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53，故选B．返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题：(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0．要点二向量的数量积返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）(2)求向量的夹角和模的问题①设a＝(x1，y1)，则|a|＝x21＋y21.②两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π)cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）典例2已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且|ka＋b|＝3|a－kb|(k0).(1)用k表示数量积a·b；(2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小.[解析](1)由|ka＋b|＝3|a－kb|，得(ka＋b)2＝3(a－kb)2，∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2．∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0．∵|a|＝cos2α＋sin2α＝1，|b|＝cos2β＋sin2β＝1，∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，∴a·b＝2k2＋28k＝k2＋14k(k0).返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）(2)a·b＝k2＋14k＝14(k＋1k).由对勾函数的单调性可知，f(k)＝14(k＋1k)在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，∴当k＝1时，f(k)min＝f(1)＝14×(1＋1)＝12，此时a与b的夹角θ的余弦值cosθ＝a·b|a||b|＝12，又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❷已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF→·BC→的值为()A．－58B．18C．14D．118B返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[解析]∵BC→＝AC→－AB→，AF→＝AD→＋DF→＝12AB→＋32DE→＝12AB→＋34AC→，∴BC→·AF→＝(AC→－AB→)·12AB→＋34AC→＝34AC→2－12AB→2－14AC→·AB→＝34×1×1－12×1×1－14×1×1×cos60°＝18.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题.这样的解题方法具有普遍性.要点三平面向量在几何中的应用返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）典例3如图，半径为3的扇形AOB的圆心角为120°，点C在AB︵上，且∠COB＝30°，若OC→＝λOA→＋μOB→，则λ＋μ等于()A．3B．33C．433D．23A返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[解析]由题意，得∠AOC＝90°，故以O为坐标原点，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则O(0,0)，A(0，3)，C(3，0)，B(3cos30°，－3sin30°)，因为OC→＝λOA→＋μOB→，所以(3，0)＝λ(0，3)＋μ3×32，－3×12，即3＝μ×3×32，0＝3λ－3×12μ，则μ＝233，λ＝33，所以λ＋μ＝3.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❸(2020·天津卷)如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且AD→＝λBC→，AD→·AB→＝－32，则实数λ的值为_____，若M，N是线段BC上的动点，且|MN→|＝1，则DM→·DN→的最小值为_____.16132返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[解析]∵AD→＝λBC→，∴AD∥BC，∴∠BAD＝180°－∠B＝120°，AB→·AD→＝λBC→·AB→＝λ|BC→|·|AB→|cos120°＝λ×6×3×－12＝－9λ＝－32，解得λ＝16，以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy，返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）∵BC＝6，∴C(6,0)，∵|AB|＝3，∠ABC＝60°，∴A的坐标为A32，332，又∵AD→＝16BC→，则D52，332，设M(x,0)，则N(x＋1,0)(其中0≤x≤5)，DM→＝x－52，－332，DN→＝x－32，－332，DM→·DN→＝x－52x－32＋3322＝x2－4x＋212＝(x－2)2＋132，所以，当x＝2时，DM→·DN→取得最小值132.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）1．已知三角形的任意两个角和一边，可结合三角形内角和定理及正弦定理解此三角形.2．已知三角形的两边和其中一边的对角，这个三角形解的情况是不确定的.如已知△ABC的边长a，b和角A，根据正弦定理求角B时，可能出现一解、两解、无解的情况，这时应借助已知条件进行检验，务必做到不漏解、不多解.3．很多考题是在正、余弦定理的应用下聚焦于简单的三角恒等变换.要点四综合利用正弦、余弦定理解三角形返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）典例4△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a＋2c)cosB＋bcosA＝0．(1)求B；(2)若b＝3，△ABC的周长为3＋23，求△ABC的面积.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[解析](1)由已知及正弦定理得(sinA＋2sinC)cosB＋sinBcosA＝0，即(sinAcosB＋sinBcosA)＋2sinC·cosB＝0，即sin(A＋B)＋2sinCcosB＝0，又sin(A＋B)＝sinC，且C∈(0，π)，sinC≠0，∴cosB＝－12，∵0Bπ，∴B＝2π3.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）(2)由余弦定理，得9＝a2＋c2－2accosB.∴a2＋c2＋ac＝9，则(a＋c)2－ac＝9．∵a＋b＋c＝3＋23，b＝3，∴a＋c＝23，∴ac＝3，∴S△ABC＝12acsinB＝12×3×32＝334.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❹(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2cos2A＋B2－cos2C＝1,4sinB＝3sinA，a－b＝1，则c的值为()A．13B．7C．37D．6(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a