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当前位置:首页 > 临时分类 > 新教材2021学年高中人教A版数学必修第二册课件862直线与平面垂直一
8.6.2直线与平面垂直(一)基础预习初探1.观察图中书脊所在直线与桌面的位置关系.问:书脊所在直线与桌面的位置关系是什么?提示:垂直.2.如图,直线l与平面α内的无数条直线a,b,c,…都垂直,直线l与平面α一定垂直吗?为什么?提示:不一定.当平面α内的无数条直线a,b,c,…都互相平行时,直线l在保证与直线a,b,c,…都垂直的条件下,与平面α可能垂直也可能斜交或平行.3.请同学们准备一块三角形的纸片,我们一起来做如图所示的试验:过△ABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触).(1)问:折痕AD与桌面垂直吗?如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面α垂直?提示:从试验可知:当AD与BC不垂直时,翻折后的纸片竖起放置在桌面上,折痕AD与桌面不垂直;当AD与BC垂直时,翻折后的纸片竖起放置在桌面上折痕AD与桌面垂直.(2)由折痕AD⊥BC,翻折之后垂直关系不变,即AD⊥CD,AD⊥BD,你能得到什么结论?提示:若一条直线与平面内两条相交直线垂直,则该直线垂直这个平面.4.直线与平面所成的角θ的取值范围是什么?提示:一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角等于90°;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角等于0°.因此,直线与平面所成的角α的范围是0°≤α≤90°.【概念生成】1.直线与平面垂直的定义定义如果直线l与平面α内的_____________都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α有关概念直线l叫做平面α的_____,平面α叫做直线l的_____,它们唯一的公共点P叫做_____图示画法画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直任意一条直线垂线垂面垂足2.直线与平面垂直的判定定理文字语言一条直线与一个平面内的_____________垂直,那么该直线与此平面垂直符号语言l⊥a,l⊥b,a⊂α,b⊂α,_____=P⇒l⊥α图形语言两条相交直线a∩b3.直线与平面所成的角有关概念对应图形斜线与平面α_____,但不和平面α_____,图中_______斜足斜线和平面的_____,图中____射影过斜线上斜足以外的一点向平面引_____,过_____和_____的直线叫做斜线在这个平面上的射影,图中斜线PA在平面α上的射影为直线___相交垂直直线PA交点点A垂线垂足斜足AO直线与平面所成的角定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,图中______.规定:一条直线垂直于平面,它们所成的角是_____;一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成的角是____取值范围设直线与平面所成的角为θ,则0°≤θ≤90°∠PAO90°0°核心互动探究探究点一直线与平面垂直的定义及应用【典例1】(1)设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是()A.若l⊥m,m⊂α,则l⊥αB.若l⊥α,l∥m,则m⊥αC.若l∥α,m⊂α,则l∥mD.若l∥α,m∥α,则l∥m(2)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四种说法:①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α∥β;②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n;③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β;④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的说法有__________.(填写所有正确说法的编号)【思维导引】根据线面平行、垂直的定义来判定.【解析】(1)选B.对于A,由l⊥m及m⊂α可知,l与α的位置关系有平行、相交或在平面内三种,故A错误;B正确;对于C,l与m可能平行或异面,故C错误;对于D,l与m的位置关系为平行、异面或相交,故D错误.(2)对于①借助长方体可知α∥β或α与β相交,故①错误;对于②,n∥α,由线面平行的性质定理可知n与α内的一条直线l平行,因为m⊥α,所以m⊥l,所以m⊥n,故②正确;对于③,设过m的平面γ交β于直线l,因为α∥β,m⊂α,由面面平行的性质定理可知m∥l,由线面平行的判定定理可知m∥β,故③正确;对于④,若m,n分别与平面α,β平行(或垂直),结论显然成立,若m,n分别与平面α,β不平行,也不垂直,可以分别作出m,n在α,β内的射影,由等角定理可知结论也成立,故④正确.答案:②③④【类题通法】直线与平面垂直的定义的“双向”作用(1)证明线面垂直:若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直,该直线与已知平面垂直.即线线垂直⇒线面垂直.(2)证明线线垂直:若一条直线与一个平面垂直,则该直线与平面内任意一条直线垂直.即线面垂直⇒线线垂直.【定向训练】已知两条直线m,n,两个平面α,β,给出下面三个命题,其中正确命题的序号是()①α∥β,m⊂α,n⊂β⇒m∥n;②m∥n,m∥α⇒n∥α;③α∥β,m∥n,m⊥α⇒n⊥β.A.①③B.②③C.③D.①②【解析】选C.对于①,设正方体ABCD-A1B1C1D1中,上底面A1B1C1D1所在平面是α,下底面ABCD所在平面是β,直线A1C1是m且直线BD是n,则满足α∥β,m⊂α,n⊂β,但直线m,n是异面直线,得不出m∥n,故①不正确;对于②,若m∥n且m∥α,则n⊂α或n∥α,故②不正确;对于③,因为α∥β且m⊥α,所以m⊥β,结合m∥n,可得n⊥β.故③正确.探究点二线面垂直判定定理的应用【典例2】如图,在△ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,S是△ABC所在平面外一点,且SA=SB=SC.(1)求证:SD⊥平面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.【思维导引】题设条件中的三棱锥的三条侧棱相等,AB⊥BC,D是AC的中点,要证(1)需在平面ABC内找两条相交直线与SD垂直,故等腰三角形底边的中线是可以利用的垂直关系,要证(2),需设法在平面SAC内找两条相交直线与BD垂直,而(1)的结论可利用.【证明】(1)因为SA=SC,D为AC的中点,所以SD⊥AC.连接BD.在Rt△ABC中,有AD=DC=DB,所以△SDB≌△SDA,所以∠SDB=∠SDA=90°,所以SD⊥BD.又AC∩BD=D,所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB=BC,D是AC的中点,所以BD⊥AC.又由(1)知SD⊥BD,且AC∩SD=D,所以BD⊥平面SAC.【类题通法】证线面垂直的方法1.线线垂直证明线面垂直(1)定义法(不常用).(2)判定定理最常用(有时作辅助线).2.平行转化法(利用推论)(1)a∥b,a⊥α⇒b⊥α.(2)α∥β,a⊥α⇒a⊥β.【定向训练】1.在四面体P-ABC中,PA=PB=PC=AB=BC=CA,D,E,F分别为AB,BC,CA的中点,下列结论中不成立的是()A.BC∥平面PDFB.BC⊥平面PAEC.DF⊥平面PAED.AE⊥平面APC【解析】选D.因为D,F分别为AB,AC的中点,所以DF∥BC,且BC⊄平面PDF,故BC∥平面PDF,故A项正确.又AB=AC,PB=PC,E为BC的中点,所以AE⊥BC,PE⊥BC,所以BC⊥平面PAE,又DF∥BC,所以DF⊥平面PAE,故B、C项正确.由于AE与AP不垂直(否则,等腰三角形PAE将有两个直角),故AE与平面APC不垂直.2.(2020·全国Ⅲ卷)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1.证明:(1)当AB=BC时,EF⊥AC;(2)点C1在平面AEF内.【证明】(1)因为长方体ABCD-A1B1C1D1,所以BB1⊥平面ABCD,所以AC⊥BB1,因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC,所以四边形ABCD为正方形,所以AC⊥BD,因为BB1∩BD=B,BB1,BD⊂平面BB1D1D,因此AC⊥平面BB1D1D,因为EF⊂平面BB1D1D,所以EF⊥AC;(2)在CC1上取点M使得CM=2MC1,连接DM,MF,EC1,因为D1E=2ED,DD1∥CC1,DD1=CC1,所以ED=MC1,ED∥MC1,所以四边形DMC1E为平行四边形,所以DM∥EC1,因为MF∥DA,MF=DA,所以四边形MFAD为平行四边形,所以DM∥AF,所以EC1∥AF,因此点C1在平面AEF内.探究点三直线与平面所成的角【典例3】已知四面体ABCD的棱长都相等,Q是AD的中点,求CQ与平面BCD所成的角的正弦值.【思维导引】作AO⊥平面BCD,垂足为O,连接OD→取OD中点P,连接QP,CP→∠QCP就是斜线CQ与平面BCD所成的角→求出sin∠QCP.【解析】过点A作AO⊥平面BCD,垂足为O,连接OB,OC,OD.取OD中点P,连接QP,CP.由AO⊥平面BCD,四面体的棱长都相等知点O是三角形三边垂直平分线的交点,也是三角形角平分线的交点.设四面体的棱长为a,则OD=,AO=.因为Q是AD中点,P是OD中点,所以QP∥AO.因为AO⊥平面BCD,所以QP⊥平面BCD.所以∠QCP就是CQ与平面BCD所成的角.在正三角形ACD中,Q是AD的中点,所以CQ=a.又QP=AO=a,所以sin∠QCP=.1a32acos303222236ADODa(a)a33321266QP2CQ3【类题通法】(1)作图.作(或找)出斜线在平面上的射影,将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角).(2)证明.证明找出的平面角是斜线与平面所成的角.(3)计算.通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.【补偿训练】1.(2019·天津高考)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,△PCD为等边三角形,平面PAC⊥平面PCD,PA⊥CD,CD=2,AD=3,(1)设G,H分别为PB,AC的中点,求证:GH∥平面PAD.(2)求证:PA⊥平面PCD.(3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.【解题指南】(1)连接BD,结合平行四边形的性质,以及三角形中位线的性质,得到GH∥PD,利用线面平行的判定定理证得结果.(2)取棱PC的中点N,连接DN,依题意,得DN⊥PC,结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得到DN⊥PA,利用线面垂直的判定定理证得结果.(3)利用线面角的定义得到∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角,放在直角三角形中求得结果.【解析】(1)连接BD,易知AC∩BD=H,BH=DH,又由BG=PG,故GH∥PD,又因为GH⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,所以GH∥平面PAD.(2)取棱PC的中点N,连接DN,依题意,得DN⊥PC,又因为平面PAC⊥平面PCD,平面PAC∩平面PCD=PC,所以DN⊥平面PAC,又PA⊂平面PAC,故DN⊥PA,又因为PA⊥CD,CD∩DN=D,所以PA⊥平面PCD.(3)连接AN,由(2)中DN⊥平面PAC,可知∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角.因为△PCD为等边三角形,CD=2且N为PC的中点,所以DN=,又DN⊥AN,在Rt△AND中,sin∠DAN=,所以直线AD与平面PAC所成角的正弦值为.3DN3AD3332.已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍,求侧棱与底面所成角的余弦值.【解析】如图,设正三棱锥的底面边长为a,则侧棱长为2a.设O为底面中心,则∠SAO为SA与平面ABC所成的角.在Rt△SOA中,因为AO=,所以cos∠SAO=,即侧棱与底面所成角的余弦值为.233aa323=3aAO33==SA2a636【定向训练】如图,在Rt△BMC中,斜边BM=5,它在平面ABC上的射影AB长为4,∠MBC=60°,则MC与平面CAB所成角的正弦值为________.【解析】由题意知,点A是点M在平面ABC内的射影,所以MA⊥平面ABC,所以MC在平面CAB内的射影为AC.所以∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角.因为在Rt△MBC中,BM=5,∠MBC=60°,所以MC=BMsin∠MBC=5sin60°=5×.在Rt△MAB中,MA==3.在Rt△MAC中,sin∠MCA=.答案:353222222MBAB54MA323MC5532
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