新教材2021学年高中人教A版数学必修第二册课时素养检测624向量的数量积Word版含解析

课时素养检测五向量的数量积(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.若|a|=4,|b|=6,a与b的夹角为135°,则a·(-b)等于()A.12B.-12C.12D.-12【解析】选C.因为a·(-b)=-a·b=-|a|·|b|cos135°=-4×6×(-)=12.【补偿训练】1.在△ABC中,BC=5,AC=8,∠C=60°,则·=()A.20B.-20C.20D.-20【解析】选B.·=||||cos120°=5×8×=-20.2.已知△ABC中,=a,=b,若a·b0,则△ABC是()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.任意三角形【解析】选A.由a·b0易知向量a与b的夹角为钝角.2.(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为()A.B.C.D.【解析】选B.设夹角为θ,因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b=b2,所以cosθ===,又θ∈[0,π],所以a与b的夹角为.【补偿训练】若非零向量a、b满足|a|=|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角θ为()A.B.C.D.π【解析】选A.由条件,得(a-b)·(3a+2b)=3a2-2b2-a·b=0,即a·b=3a2-2b2.又|a|=|b|,所以a·b=3·-2b2=b2,所以cosθ===,所以向量a与b的夹角为.3.若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则|a|=()A.2B.4C.6D.12【解析】选C.因为(a+2b)·(a-3b)=-72,所以a2-a·b-6b2=-72.所以|a|2-|a||b|cos60°-6|b|2=-72.所以|a|2-2|a|-24=0.又因为|a|≥0,所以|a|=6.4.已知|a|=|b|=1,a与b的夹角是90°,c=2a+3b,d=ka-4b,c与d垂直,则k的值为()A.-6B.6C.3D.-3【解析】选B.因为c·d=0,所以(2a+3b)·(ka-4b)=0,所以2ka2-8a·b+3ka·b-12b2=0,所以2k=12,所以k=6.5.P是△ABC所在平面上一点,若·=·=·,则P是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心【解析】选D.由·=·得·(-)=0,即·=0,所以PB⊥CA.同理PA⊥BC,PC⊥AB,所以P为△ABC的垂心.6.(多选题)已知a,b,c为非零向量,下列说法不正确的是()A.若|a·b|=|a||b|,则a∥bB.若a·c=b·c,则a=bC.若|a|=|b|,则|a·c|=|b·c|D.(a·b)|c|=|a|(b·c)【解析】选BCD.|a·b|=||a||b|cosθ|=|a||b|,所以cosθ=±1,即θ=0°或180°,此时a∥b;A正确;选项B中,设a与c的夹角为θ1,b与c的夹角为θ2,因为a·c=b·c,所以|a||c|cosθ1=|b|·|c|cosθ2,即|a|cosθ1=|b|cosθ2,B不一定正确;C项中,a与c的夹角和b与c的夹角不相等时,结论不成立;D项中,a与b的夹角,b与c的夹角不一定相等,所以不一定成立.【补偿训练】对于向量a、b、c和实数λ,下列命题中真命题是()A.若a·b=0,则a=0或b=0B.若λa=0,则λ=0或a=0C.若a2=b2,则a=b或a=-bD.若a·b=a·c,则b=c【解析】选B.A中,若a·b=0,则a=0或b=0或a⊥b,故A错;C中,若a2=b2,则|a|=|b|,C错;D中,若a·b=a·c,则可能有a⊥b,a⊥c,但b≠c,故只有选项B正确.二、填空题(每小题4分,共8分)7.设向量a,b满足:|a|=1,a·b=,|a+b|=2,则|b|=________.【解析】因为(2)2=8=|a+b|2=a2+b2+2a·b,所以b2+4=8,|b|=2.答案:28.已知e1、e2是夹角为的两个单位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2,若k=1,则a·b=______;若a·b=0,则实数k的值为______.【解析】当k=1时a·b=(e1-2e2)·(e1+e2)=-e1e2-2=-.由a·b=0得(e1-2e2)·(ke1+e2)=0.整理,得k-2+(1-2k)cos=0,解得k=.答案:-三、解答题(每小题14分,共28分)9.如图,在平行四边形ABCD中,||=4,||=3,∠DAB=60°.求:(1)·;(2)·;(3)·.【解析】(1)·=||2=9.(2)·=-||2=-16.(3)·=||||cos(180°-60°)=4×3×=-6.【补偿训练】已知|a|=10,|b|=12,a与b的夹角为120°,求:(1)a·b;(2)(3a)·;(3)(3b-2a)·(4a+b).【解析】(1)a·b=|a||b|cosθ=10×12×cos120°=-60.(2)(3a)·=(a·b)=×(-60)=-36.(3)(3b-2a)·(4a+b)=12b·a+3b2-8a2-2a·b=10a·b+3|b|2-8|a|2=10×(-60)+3×122-8×102=-968.10.已知|a|=4,|b|=3,a与b的夹角为120°,且c=a+2b,d=2a+kb.当k为何值时,(1)c⊥d.(2)c∥d.【解析】c·d=(a+2b)·(2a+kb)=8+12k.(1)当c⊥d时,8+12k=0,解得k=-.(2)当c∥d时,根据题意知,c,d都为非零向量且共线,所以存在x,使d=xc,即2a+kb=xa+2xb,所以所以k=4.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a·b=1,则向量a与a-b的夹角为()A.B.C.πD.π【解析】选A.|a-b|===,设向量a与a-b的夹角为θ,则cosθ===,又θ∈[0,π],所以θ=.【补偿训练】已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,且|2a+b|=,则a与b的夹角θ为()A.B.C.D.【解析】选B.因为|2a+b|2=4+9+4a·b=7,所以a·b=-,cosθ==-.又θ∈[0,π],所以θ=.2.在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足=2,则·(+)等于()A.B.C.-D.-【解析】选A.因为AM=1,且=2,所以||=.如图,·(+)=·(2)=·===.【补偿训练】在△ABC中,C=90°,CB=3,点M满足=2,则·=________.【解析】因为=+=+=+(-)=+,又C=90°,·=0,所以·=·==3.答案:33.在△ABC中,=a,=b,a·b0,则三角形的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定【解析】选D.如图,a·b=||·||cos(π-B),所以cosB0,B为锐角,但三角形不一定为锐角三角形.【补偿训练】已知△ABC中,若=·+·+·,则△ABC是()A.等边三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形【解析】选C.由-·=·+·,得·(-)=·(-),即·=·,所以·+·=0,所以·(+)=0,则·=0,即⊥,所以△ABC是直角三角形.4.(多选题)已知向量a,b的夹角为120°,|a|=|b|=1,c与a+b同向,则|a-c|的值可以为()A.1B.C.D.【解析】选AD.因为|a|=|b|=1,c与a+b同向,所以a与c的夹角为60°.又|a-c|===,故|a-c|min=.由选项可知|a-c|的值可以为1或.二、填空题(每小题4分,共16分)5.(2019·全国卷Ⅲ)已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-b,则cosa,c�=________.【解析】因为c2=(2a-b)2=4a2+5b2-4a·b=9,所以|c|=3,因为a·c=a·(2a-b)=2a2-a·b=2,所以cos�a,c�===.答案:【补偿训练】设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=________.【解析】因为|a+b|=,所以(a+b)2=10,即a2+b2+2a·b=10.①因为|a-b|=,所以(a-b)2=6,即a2+b2-2a·b=6.②由①②可得a·b=1.答案:16.已知a⊥b,|a|=2,|b|=1,且3a+2b与λa-b垂直,则λ等于________.【解析】因为(3a+2b)⊥(λa-b),所以(λa-b)·(3a+2b)=0,所以3λa2+(2λ-3)a·b-2b2=0.又因为|a|=2,|b|=1,a⊥b,所以12λ+(2λ-3)×2×1×cos90°-2=0,所以12λ-2=0,所以λ=.答案:7.已知|a|=|b|=|c|=1,且满足3a+mb+7c=0,其中a与b的夹角为60°,则实数m=________.【解析】因为3a+mb+7c=0,所以3a+mb=-7c,所以(3a+mb)2=(-7c)2,化简得9+m2+6ma·b=49.又a·b=|a||b|cos60°=,所以m2+3m-40=0,解得m=5或m=-8.答案:5或-88.已知向量a、b满足:|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,则a与b的夹角为________;|2a-b|=________.【解析】由于a·(b-a)=a·b-a2=a·b-1=2,则a·b=3.设a与b的夹角为θ,则cosθ==,又θ∈[0,π],所以θ=.因为|2a-b|2=4a2-4a·b+b2=28,所以|2a-b|=2.答案:2【补偿训练】已知非零向量a,b,满足a⊥b,且a+2b与a-2b的夹角为120°,则=________.【解析】(a+2b)·(a-2b)=a2-4b2,因为a⊥b,所以|a+2b|=,|a-2b|=.所以cos120°====-.所以=.所以=.答案:三、解答题(共38分)9.(12分)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量,k为何值时,向量e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角?【解析】因为e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角,所以(e1+ke2)·(ke1+e2)=k+k+(k2+1)e1·e2=2k0,所以k0.但当k=1时,e1+ke2=ke1+e2,它们的夹角为0°,不符合题意,舍去.综上可知,k∈(0,1)∪(1,+∞)时,向量e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角.10.(12分)已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角为120°.(1)求证:(a-b)⊥c;(2)若|ka+b+c|1(k∈R),求k的取值范围.【解析】(1)因为|a|=|b|=|c|=1且a,b,c之间的夹角均为120°,所以(a-b)·c=a·c-b·c=|a||c|cos120°-|b||c|cos120°=0,所以(a-b)⊥c.(2)因为|ka+b+c|1,所以(ka+b+c)·(ka+b+c)1,即k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c1.因为a·c=a·b=b·c=cos120°=-,所以k2-2k0,解得k0或k2.即k的取值范围是k0或k2.【补偿训练】已知:如图,两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为,点C是以O为圆心的劣弧的中点.求:(1)|+|的值.(2)·的值.【解析】(1)因为和的长度为1,夹角为,所以·=||||cos=-,所以|+|===1.(2)因为点C是以O为圆心的劣弧的中点,所以∠AOC=∠BOC=,所以·=·=,所以·=(-)·(-)=·-·-·+·=--+1=.11.(14分)已知a,b均是非零向量,设a与b的夹角为θ,是否存在这样的θ,使|a+b|=|a-b|成立?若存在,求出θ的值;若不存在,请说明理由.【解析】假设存在满足条件的θ,因为|a+b|=|a-b|,所以(a+b)2=3(a-b)2.所以|a|2