第25课函数的应用一2021学年高一数学上学期课时同步练人教B版2019必修第一册解析版

第三单元函数第25课函数的应用（一）一、基础巩固1．某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系为y＝5x＋40000.而手套出厂价格为每双10元，要使该厂不亏本至少日产手套()A．2000双B．4000双C．6000双D．8000双【答案】D【解析】由5x＋40000≤10x，得x≥8000，即日产手套至少8000双才不亏本．2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图像如下图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是()A．310元B．300元C．290元D．280元【答案】B【解析】设函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，函数图像过点(1,800)，(2,1300)，则k＋b＝800，2k＋b＝1300，解得k＝500，b＝300，∴y＝500x＋300，当x＝0时，y＝300.∴营销人员没有销售量时的收入是300元．3．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y＝4x，1≤x10，x∈N*，2x＋10，10≤x100，x∈N*，1.5x，x≥100，x∈N*.其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为()A．15B．40C．25D．130【答案】C【解析】令y＝60.若4x＝60，则x＝1510，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40100，不合题意．故拟录用25人．4．商店某种货物的进价下降了8%，但销售价不变，于是这种货物的销售利润率销售价－进价进价×100%由原来的r%增加到(r＋10)%，则r的值等于()A．12B．15C．25D．50【答案】B【解析】设原销售价为a，原进价为x，可以列出方程组：a－xx×100%＝r100，a－x1－8%x1－8%×100%＝10＋r100，解这个方程组，消去a，x，可得r＝15.5．一个人以6m/s的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25m时，交通灯由红变绿，汽车以1m/s2的加速度匀加速开走，那么()A．此人可在7s内追上汽车B．此人可在10s内追上汽车C．此人追不上汽车，其间距最少为5mD．此人追不上汽车，其间距最少为7m【答案】D【解析】设汽车经过ts行驶的路程为sm，则s＝12t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝12t2－6t＋25＝12(t－6)2＋7.当t＝6时，d取得最小值7.6．经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t(单位：天)的函数．日销售量为f(t)＝2t＋100，价格为g(t)＝t＋4，则该种商品的日销售额S(单位：元)与时间t的函数解析式为________．【答案】S(t)＝2t2＋108t＋400，t∈N【解析】日销售额＝日销售量×价格，故S＝f(t)×g(t)＝(2t＋100)×(t＋4)＝2t2＋108t＋400，t∈N.7．把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________cm2.【答案】23【解析】设一个三角形的边长为xcm，则另一个三角形的边长为(4－x)cm，两个三角形的面积和为S＝34x2＋34(4－x)2＝32(x－2)2＋23≥23，这两个正三角形面积之和的最小值是23cm2.8．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超出800元部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11.2%纳税．某人出版了一本书共纳税420元，这个人的稿费为________元．【答案】3800【解析】若这个人的稿费为4000元时，应纳税(4000－800)×14%＝448(元)．又∵420＜448，∴此人的稿费应在800到4000之间，设为x，∴(x－800)×14%＝420，解得x＝3800元．9．某校校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游．甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠”．乙旅行社说：“包括校长在内，全部按票价的6折(即按全票价的60%收费)优惠”．若全票价为240元．(1)设学生数为x人，甲旅行社收费为y甲元，乙旅行社收费为y乙元，分别写出两家旅行社的收费y甲，y乙与学生数x之间的解析式；(2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样？(3)就学生人数讨论哪家旅行社更优惠？【答案】（1）y乙＝144(x＋1)(x∈N＋)；（2）一样；（3）当x4时，乙旅行社更优惠【解析】(1)y甲＝120x＋240(x∈N＋)，y乙＝(x＋1)×240×60%＝144(x＋1)(x∈N＋)．(2)由120x＋240＝144x＋144，解得x＝4，即当学生数为4人时，两家旅行社的收费一样．(3)当x4时，乙旅行社更优惠；当x4时，甲旅行社更优惠．10．一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别是40cm与60cm，现在将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，问怎样剪才能使剩下的残料最少？并求出此时残料的面积．【答案】600cm2【解析】设直角三角形为△ABC，AC＝40，BC＝60，矩形为CDEF，如图所示，设CD＝x，CF＝y，则由Rt△AFE∽Rt△EDB得AFED＝FEBD，即40－yy＝x60－x，解得y＝40－23x，记剩下的残料面积为S，则S＝12×60×40－xy＝23x2－40x＋1200＝23(x－30)2＋600(0＜x＜60)，故当x＝30时，Smin＝600，此时y＝20，所以当x＝30，y＝20时，剩下的残料面积最少为600cm2.二、拓展提升11．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线y＝f(x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x)，如f(2)＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g(2)＝3表示2小时内的平均价格为3元．下面给出了四个图像，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中可能正确的是()【答案】C【解析】根据即时价格与平均价格的相互依赖关系，可知，当即时价格升高时，对应平均价格也升高；反之，当即时价格降低时，对应平均价格也降低，故选项C中的图像可能正确．12．一个体户有一批货，如果月初售出可获利100元，再将本利都存入银行，已知银行月息为2.4%.如果月末售出，可获利120元，但要付保管费5元．这位个体户为获利最大，则这批货()A．月初售出好B．月末售出好C．月初或月末售出一样D．由成本费的大小确定【答案】D【解析】设这批货物成本费为x元，若月初售出时，到月末共获利为100＋(x＋100)×2.4%；若月末售出时，可获利为120－5＝115(元)．可得100＋(x＋100)×2.4%－115＝2.4%×(x－525)．∴当成本费大于525元时，月初售出好；当成本费小于525元时，月末售出好；当成本费等于525元时，月初或月末售出均可．13．已知直角梯形ABCD，如图(1)所示，动点P从点B出发，由B→C→D→A沿边运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为f(x)．如果函数y＝f(x)的图像如图(2)所示，则△ABC的面积为________．(1)(2)【答案】16【解析】由题图可知BC＝4，CD＝5，DA＝5，所以AB＝5＋52－42＝5＋3＝8.所以S△ABC＝12×8×4＝16.14．如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝13，BC＝3，在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF，且AE＝AH＝CG＝CF＝x，则x＝________时，四边形EFGH的面积最大，最大面积为________．【答案】330【解析】设四边形EFGH的面积为S，则S＝13×3－212x2＋1213－x3－x＝－2x2＋16x＝－2(x－4)2＋32，x∈(0,3]．因为S＝－2(x－4)2＋32在(0,3]上是增函数，所以当x＝3时，S有最大值为30.15．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f(x)表示学生接受概念的能力(f(x)的值愈大，表示接受的能力愈强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可有以下的公式f(x)＝－0.1x2＋2.6x＋430x≤10，5910x≤16，－3x＋10716x≤30.(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？【答案】（1）见解析；（2）开讲后5分钟学生的接受能力比开讲后20分钟强【解析】(1)当0x≤10时，f(x)＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1(x－13)2＋59.9，由f(x)的图像(图略)可知，当x＝10时，f(x)max＝f(10)＝59；当10x≤16时，f(x)＝59；当16x≤30时，f(x)max＜59.因此，开讲后10分钟，学生的接受能力最强，并能持续6分钟．(2)∵f(5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝53.5，f(20)＝－3×20＋107＝4753.5，∴开讲后5分钟学生的接受能力比开讲后20分钟强.