四川省乐山市2020届高三数学第一次调查研究考试（12月）试题 理（含解析）

四川省乐山市2020届高三数学第一次调查研究考试（12月）理科试题（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|（x+2）（x﹣3）＜0}，B＝{x|y＝}，则A∩（∁RB）＝（）A．[﹣2，1）B．[1，3]C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣2，1）2．已知＝（5，﹣1），＝（3，2），对应的复数为z，则＝（）A．5﹣iB．3+2iC．﹣2+3iD．﹣2﹣3i3．（2x﹣y）5的展开式中，含x3y2的系数为（）A．80B．﹣80C．40D．﹣404．在一次期末考试中，随机抽取200名学生的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）．据此绘制了如图所示的频率分布直方图．则这200名学生中成绩在[80，90）中的学生有（）A．30名B．40名C．50名D．60名5．函数f（x）＝的零点之和为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．26．我市高中数学研究会准备从会员中选拔x名男生，y名女生组成﹣个小组去参加数学文化知识竞赛，若x，y满足约束条件，则该小组最多选拔学生（）A．21名B．16名C．13名D．11名7．设m＝﹣log0.30.6，n＝，则（）A．m+n＜mn＜0B．mn＜0＜m+nC．m+n＜0＜mnD．mn＜m+n＜08．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中的酒量”即输出值是输入值的，则输入的x＝（）A．B．C．D．9．已知单位向量，分別与平面直角坐标系x，y轴的正方向同向，且向量＝3﹣，＝2+6，则平面四边形ABCD的面积为（）A．B．C．10D．2010．函数f（x）＝x•ln的部分图象可能是（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）＝，令函数，若函数g（x）有两个不同零点，则实数a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，0）C．D．12．如图，已知函数，A1，A2，A3是图象的顶点，O，B，C，D为f（x）与x轴的交点，线段A3D上有五个不同的点Q1，Q2，…，Q5，记（i＝1，2，…，5），则n1+n2+…+n5的值为（）A．B．45C．D．二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．13．（5分）命题“∀x∈R，f（x）≤x”的否定形式是．14．（5分）如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标为（0，4），（2，0），（6，4），则f（f（0））＝；函数f（x）在x＝1处导数f′（1）＝．15．（5分）如图，在单位圆中，7S△PON＝2，△MON为等边三角形，M、N分别在单位圆的第一、二象限内运动，则sin∠POM＝．16．（5分）已知△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且BC边上的高为a，则的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．17．（12分）已知{an}是递增的等差数列，且满足a2+a4＝20，a1•a5＝36．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn的最小值．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足．（1）求角C；（2）设D为边AB的中点，△ABC的面积为，求边CD的最小值．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1是菱形，D为AB的中点，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝，∠ABB1＝，且AB＝B1C．（1）求证：CD⊥平面ABB1A1；（2）求CD与平面BCC1B1所成角的正弦值．20．（12分）某校为了解学生一周的课外阅读情况，随机抽取了100名学生对其进行调查．下面是根据调查结果绘制的一周学生阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，且将一周课外阅读时间不低于200分钟的学生称为“阅读爱好”，低于200分钟的学生称为“非阅读爱好”．（1）根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有97.5%的把握认为“阅读爱好”与性别有关？非阅读爱好阅读爱好合计男50女14合计（2）将频率视为概率，从该校学生中用随机抽样的方法抽取4人，记被抽取的四人中“阅读爱好”的人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列和数学期望Eξ．附：P（K2≥k0）0.010.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828，n＝a+b+c+d．21．（12分）已知函数f（x）＝eax+b（a，b∈R）的图象与直线l：y＝x+1相切，f'（x）是f（x）的导函数，且f'（1）＝e．（1）求f（x）；（2）函数g（x）的图象与曲线y＝kf（x）（k∈R）关于y轴对称，若直线l与函数g（x）的图象有两个不同的交点A（x1，g（x1）），B（x2，g（x2）），求证：x1+x2＜﹣4．请考生在第22-23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（1）求曲线C1与曲线C2两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为，直线l与y轴的交点为M，与曲线C1相交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y，z均为正数．（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）若＝，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．2020年四川省乐山市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|（x+2）（x﹣3）＜0}，B＝{x|y＝}，则A∩（∁RB）＝（）A．[﹣2，1）B．[1，3]C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣2，1）【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集、补集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|x≥1}，∴∁RB＝{x|x＜1}，A∩（∁RB）＝（﹣2，1）．故选：D．【点评】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）已知＝（5，﹣1），＝（3，2），对应的复数为z，则＝（）A．5﹣iB．3+2iC．﹣2+3iD．﹣2﹣3i【分析】根据向量的线性表示求出，即可求解z，进而可求．【解答】解：∵＝（5，﹣1），＝（3，2），∴＝﹣（﹣）＝（﹣2，3），对应的复数为z＝﹣2+3i，则＝﹣2﹣3i，故选：D．【点评】本题主要考查了平面内对应的向量与复数的关系及共轭复数的定义的概念，属于基础试题．3．（5分）（2x﹣y）5的展开式中，含x3y2的系数为（）A．80B．﹣80C．40D．﹣40【分析】在二项展开式的通项公式中，令y的幂指数等于2，求出r的值，即可求得展开式中含x3y2的系数．【解答】解：（2x﹣y）5的展开式中，通项公式为Tr+1＝•（﹣1）r（2x）5﹣r•yr，令r＝2，可得含x3y2的系数为•23＝80，故选：A．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．4．（5分）在一次期末考试中，随机抽取200名学生的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）．据此绘制了如图所示的频率分布直方图．则这200名学生中成绩在[80，90）中的学生有（）A．30名B．40名C．50名D．60名【分析】由频率直方图可求出绩在[80，90）内的学生所占的频率，再求出这200名同学中成绩大于等于80分且小于90分的学生．【解答】解：成绩在[80，90）内的学生所占的频率为1﹣（0.005×2+0.025+0.045）×10＝0.2，所以这200名同学中成绩大于等于80分且小于90分的学生有200×0.2＝40名，故选：B．【点评】本题考查频率直方图，计算人数，属于基础题．5．（5分）函数f（x）＝的零点之和为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．2【分析】利用已知条件，通过分段函数分别求解函数的零点，即可得到结果．【解答】解：函数f（x）＝，可得x＞0时，3x﹣2＝0，解得x＝log32，x≤0时，x+log36＝0，解得x＝﹣log36．所以函数f（x）＝的零点之和为：log32﹣log36＝﹣1．故选：A．【点评】本题考查分段函数的应用，函数的零点的求法，考查计算能力．6．（5分）我市高中数学研究会准备从会员中选拔x名男生，y名女生组成﹣个小组去参加数学文化知识竞赛，若x，y满足约束条件，则该小组最多选拔学生（）A．21名B．16名C．13名D．11名【分析】由题意画出约束条件表示的可行域，找出目标函数z＝x+y对应的最优解，计算可行域内使得z取得最大时的最优解．【解答】解：画出x，y满足约束条件，表示的平面区域，如图所示；要求招入的人数最多，即z＝x+y取得最大值，目标函数化为y＝﹣x+z；在可行域内任意取x，y且为正整数使得目标函数代表的斜率为定值﹣1，截距最大时的直线为过得A（7，9），此时目标函数取得最大值为：z＝9+7＝16．故选：B．【点评】本题考查了线性规划的应用问题，也考查了数形结合的求解问题，是基础题．7．（5分）设m＝﹣log0.30.6，n＝，则（）A．m+n＜mn＜0B．mn＜0＜m+nC．m+n＜0＜mnD．mn＜m+n＜0【分析】先求出m＝﹣log0.30.6＝﹣（log0.30.2+1）＜﹣2，﹣＝＜n＝＜0，由此能推导出m+n＜0＜mn．【解答】解：∵m＝﹣log0.30.6＝﹣（log0.30.2+log0.30.3）＝﹣（log0.30.2+1）＜﹣2，﹣＝＜n＝＜0，∴m+n＜0＜mn．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．（5分）元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中的酒量”即输出值是输入值的，则输入的x＝（）A．B．C．D．【分析】根据程序框图进行模拟运算即可．【解答】解：i＝1时．x＝2x﹣1，i＝2时，x＝2（2x﹣1）﹣1＝4x﹣3，i＝3时，x＝2（4x﹣3）﹣1＝8x﹣7，i＝4时，退出循环，此时8x﹣7＝x解得x＝，故选：C．【点评】本题考查程序框图的知识，考查运算求解能力，利用模拟运算法是解决本题的关键．9．（5分）已知单位向量，分別与平面直角坐标系x，y轴的正方向同向，且向量＝3﹣，＝2+6，则平面四边形ABCD的面积为（）A．B．C．10D．20【分析】由已知可得•＝0，可得⊥，可得平面四边形ABCD的面积＝•||•||．【解答】解：•＝（3﹣）•（2+6）＝6﹣6＝0，∴⊥，又||＝＝，||＝＝2，∴平面四边形ABCD的面积＝•||•||＝×2＝10，故选：C．【点评】本题考查了向量数量积运算性质、四边形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．（5分）函数f（x）＝x•ln的部分图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由函数的解析式分析f（x）的奇偶性以及（0，π）上的符号，利用排除法分析可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝x•ln，则f（﹣x）＝（﹣x）ln＝x•ln＝f（x），则函数f（x）为偶函数，据此排除C、D；在（0，π）上，sinx＞0，则有0＜＜1，必有ln＜0，则f（x）＝xln＜0，据此排除B；故选：A．【点评】本