四川省广元市川师大万达中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题

四川省广元市川师大万达中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题考试时间：120分钟满分150分一、选择题。（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A．1B．4C．1或3D．1或42.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k23．某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是()A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm24．过点A(4,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是()A．x＋y＝5B．x－y＝5C．x＋y＝5或x－4y＝0D．x－y＝5或x＋4y＝05．如果A·C0且B·C0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．已知l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥lD．若α∩β＝m，α∩γ＝n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α7.不论a为何实数,直线(a-3)x+2ay+6=0恒过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限8.正方体ABCD－A1B1C1D1中，,MN分别是A1B1和BB1的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值为(A)32(B)1010(C)25(D)329.已知圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为（）)1,1(.A)1,1(.B)0,1(.C)1,0(.D10.长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2,AA1=22,则直线BD1与平面ABCD所成角的大小（）A.300B.450C.600D.90011．已知两点A(－2,1)、B(1,2)，点C为直线y＝13x上的一个动点，则|AC|＋|BC|的最小值为()A．22B．23C．25D．2712．直线－(a2＋1)y＋1＝0()的倾斜角的取值范围是()A.[0,]B.[]C.[]D.[0,]二、填空题（每小题5分，共20分）13．若直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a＝________.14．已知正方体的外接球的体积为332π，则该正方体的表面积为________15．圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为______________．16.如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作AC⊥AB，且AC与l1交于点C，则△ABC的面积的最小值为________．三、解答题（本题包括6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17.(本题满分10分)如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中H是A1C1的中点，D1，D分别为B1C1，BC的中点，，求证：(1)求证：HD∥平面A1B1BA.（见图1）(2求证：平面A1BD1∥平面AC1D.（图2）18(本题满分12分)已知两直线1:(3)453lmxym和2:2(5)80lxmy.（1）若12//ll，求实数m的值；（2）当1m时，若31ll，且3l过点(1,4)，求直线3l的方程.19.(本题满分12分)如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.20．(本题满分12分)已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，分别求满足下列条件的直线方程：(1)BM=2AM时，求直线l的方程．(2)当△AOB的面积最小时，求直线l的方程．21.(本题满分12分)已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0(a＞0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是7510.(1)求a的值；(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：①点P在第一象限；②点P到l1的距离是点P到l2的距离的12；③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是2∶5.若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．22．(本题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．(1)证明：BE⊥DC；(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值．数学答案一、选择题ADDCCCDCDBCD二、填空题答案0或132(x-2）2+y2=106三简答题17.[证明](1)如图所示，连接HD，A1B，∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，∴HD∥A1B.又HD⊄平面A1B1BA，A1B⊂平面A1B1BA，∴HD∥平面A1B1BA.(2)如图所示，连接A1C交AC1于点M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1，又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1.又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.19.[证明](1)在四棱锥P­ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.18又∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD，而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE.20解：（1）作MN⊥OA,由三角形相似，可求得A(3,0)B(0,3)所以AB方程为x+y－3=0（2）根据题意，设直线l的方程为xa＋yb＝1，由题意，知a2，b1，∵l过点M(2,1)，∴2a＋1b＝1，解得b＝aa－2，∴△AOB的面积S＝12ab＝12a·aa－2，化简，得a2－2aS＋4S＝0.①∴Δ＝4S2－16S≥0，解得S≥4或S≤0(舍去)．∴S的最小值为4，将S＝4代入①式，得a2－8a＋16＝0，解得a＝4，∴b＝aa－2＝2.∴直线l的方程为x＋2y－4＝0.21.解(1)直线l2：2x－y－12＝0，所以两条平行线l1与l2间的距离为d＝a－－1222＋－2＝7510，所以a＋125＝7510，即a＋12＝72，又a＞0，解得a＝3.(2)假设存在点P，设点P(x0，y0)．若点P满足条件②，则点P在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，且|c－3|5＝12×c＋125，即c＝132或116，所以直线l′的方程为2x0－y0＋132＝0或2x0－y0＋116＝0；若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，有|2x0－y0＋3|5＝25×|x0＋y0－1|2，即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；由于点P在第一象限，所以3x0＋2＝0不可能．联立方程2x0－y0＋132＝0和x0－2y0＋4＝0，解得x0＝－3，y0＝12(舍去)；联立方程2x0－y0＋116＝0和x0－2y0＋4＝0，解得x0＝19，y0＝3718.所以存在点P19，3718同时满足三个条件．22(1)证明依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．由E为棱PC的中点，得E(1，1，1)．向量BE→＝(0，1，1)，DC→＝(2，0，0)，故BE→·DC→＝0.所以BE⊥DC.(2)解向量BD→＝(－1，2，0)，PB→＝(1，0，－2)，设n＝(x，y，z)为平面PBD的法向量，则n·BD→＝0，n·PB→＝0，即－x＋2y＝0，x－2z＝0.不妨令y＝1，可得n＝(2，1，1)为平面PBD的一个法向量，于是有cos〈n，BE→〉＝n·BE→|n|·|BE→|＝26×2＝33.所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为33.(3)解向量BC→＝(1，2，0)，CP→＝(－2，－2，2)，AC→＝(2，2，0)，AB→＝(1，0，0)．由点F在棱PC上，设CF→＝λCP→，0≤λ≤1.故BF→＝BC→＋CF→＝BC→＋λCP→＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由BF⊥AC，得BF→·AC→＝0，因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝34.即BF→＝－12，12，32.设n1＝(x，y，z)为平面FAB的法向量，则n1·AB→＝0，n1·BF→＝0，即x＝0，－12x＋12y＋32z＝0.不妨令z＝1，可得n1＝(0，－3，1)为平面FAB的一个法向量．取平面ABP的法向量n2＝(0，1，0)，则cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1|·|n2|＝－310×1＝－31010.易知，二面角F－AB－P是锐角，所以其余弦值为31010.