上海市松江区2019届高三数学上学期期末质量监控试题

上海市松江区2019届高三数学上学期期末质量监控试题一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.设集合{|1}Axx，{|0}3xBxx，则AB2.若复数z满足(34i)43iz，则||z3.已知函数()yfx的图像与函数xya(0,1)aa的图像关于直线yx对称，且点(4,2)P在函数()yfx的图像上，则实数a4.已知等差数列{}na的前10项和为30，则14710aaaa5.若增广矩阵为1112mmmm的线性方程组无解，则实数m的值为6.已知双曲线标准方程为2213xy，则其焦点到渐近线的距离为7.若向量a，b满足()7abb，且||3a，||2b，则向量a与b夹角为8.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若22()6cab，3C，则△ABC的面积9.若|lg(1)|0()sin0xxfxxx，则()yfx图像上关于原点O对称的点共有对10.已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点，若||=||ABAC，则ABAC的最小值是11.已知向量1e，2e是平面内的一组基向量，O为内的定点，对于内任意一点P，当12OPxeye时，则称有序实数对(,)xy为点P的广义坐标，若点A、B的广义坐标分别为11(,)xy、22(,)xy，对于下列命题：①线段A、B的中点的广义坐标为1212(,)22xxyy；②A、B两点间的距离为221212()()xxyy；③向量OA平行于向量OB的充要条件是1221xyxy；④向量OA垂直于向量OB的充要条件是12120xxyy.其中的真命题是（请写出所有真命题的序号）12.已知函数()fx的定义域为R，且()()1fxfx和(1)(1)4fxfx对任意的xR都成立，若当[0,1]x时，()fx的值域为[1,2]，则当[100,100]x时，函数()fx的值域为二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.过点(0,1)且与直线210xy垂直的直线方程是（）A.210xyB.210xyC.220xyD.210xy14.若0a，0b，则xyabxyab是xayb的（）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要15.将函数()2sin(3)4fxx的图像向下平移1个单位，得到()gx的图像，若12()()9gxgx，其中12,[0,4]xx，则12xx的最大值为（）A.9B.375C.3D.116.对于平面上点P和曲线C，任取C上一点Q，若线段PQ的长度存在最小值，则称该值为点P到曲线C的距离，记作(,)dPC，若曲线C是边长为6的等边三角形，则点集{|(,)1}DPdPC所表示的图形的面积为（）A.36B.3633C.36D.3633三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.已知向量(3sin,1)ax，(cos,1)bx.（1）若a∥b，求tan2x的值；（2）若()()fxabb，求函数()fx的最小正周期及当[0,]2x时的最大值.18.已知函数2()21xfxa（常数aR）（1）讨论函数()fx的奇偶性，并说明理由；（2）当()fx为奇函数时，若对任意的[2,3]x，都有()2xmfx成立，求m的最大值.19.某科技创新公司投资400万元研发了一款网络产品，产品上线第1个月的收入为40万元，预计在今后若干个月内，该产品每月的收入平均比上一月增长50%，同时，该产品第1个月的维护费支出为100万元，以后每月的维护费支出平均比上一个月增加50万元.（1）分别求出第6个月该产品的收入和维护费支出，并判断第6个月该产品的收入是否足够支付第6个月的维护费支出？（2）从第几个月起，该产品的总收入首次超过总支出？（总支出包括维护费支出和研发投资支出）20.已知曲线上的任意一点到两定点1(1,0)F、2(1,0)F的距离之和为22，直线l交曲线于A、B两点，O为坐标原点.（1）求曲线的方程；（2）若l不过点O且不平行于坐标轴，记线段AB的中点为M，求证：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（3）若OAOB，求△AOB面积的取值范围.21.对于给定数列{}na，若数列{}nb满足：对任意n*N，都有11()()0nnnnabab，则称数列{}nb是数列{}na的“相伴数列”.（1）若nnnbac，且数列{}nb是{}na的“相伴数列”，试写出{}nc的一个通项公式，并说明理由；（2）设21nan，证明：不存在等差数列{}nb，使得数列{}nb是{}na的“相伴数列”；（3）设12nna，1nnbbq（其中0q），若{}nb是{}na的“相伴数列”，试分析实数b、q的取值应满足的条件.参考答案一.填空题1.(1,3)2.13.24.125.16.17.68.3329.410.1211.①③12.100100[2,2]12．令1tx，则有()(2)4ftft，即4(2)()ftft当[0,1]t时，2[1,2]t，又()[1,2]ft，∴4[2,4]()ft即当[1,2]x时，()fx的值域为[2,4]∴当[0,2]x时，()fx的值域为[1,4]∵)(4)2()2(4)()(1)(4)1()1(1)()(xfxfxfxfxfxfxfxfxfxf∴当[2,4]x时，()fx的值域为[4,16]，[4,6]x时，()fx的值域为6[16,2]，依此类推可知，当[2,22]xkk时，()fx的值域为222[2,2]kk，∴当[0,100]x时，()fx的值域为100[1,2]又，1()()fxfx，当[100,0]x时，[0,100]x，100()[1,2]fx∴100()[2,1]fx综上，当[100,100]x时，函数)(xf的值域为100100[2,2].二.选择题13.A14.B15.A16.D三、解答题17．解：（1）由//abrr得,3sincosxx，……………………………………2分∴3tan3x……………………………………………4分∴22tantan31tanxxx……………………………………………6分（2）2()()3sincoscosfxabbxxxrrr………………………………………8分3111sin2cos2sin(2)22262xxx…………………………………10分∴函数)(xf的最小正周期为22T…………………………………12分当]2,0[x时，72666x∴当262x，即6x时，max3()()62fxf…………………………………14分18．解：（1）若)(xf为奇函数，必有(0)10fa得1a，……………………2分当1a时，221()12121xxxfx，2112()()2121xxxxfxfx∴当且仅当1a时，)(xf为奇函数………………………4分又2(1)3fa，4(1)3fa，∴对任意实数a，都有(1)(1)ff∴)(xf不可能是偶函数………………………6分（2）由条件可得：222()2(1)(21)32121xxxxxmfx恒成立，……8分记21xt，则由[2,3]x得[5,9]t，………………………10分此时函数2()3gttt在[5,9]t上单调递增，………………………12分所以()gt的最小值是12(5)5g，………………………13分所以125m，即m的最大值是125………………………14分19．解：记产品从第一个月起，每个月的收入为数列{}na，每个月的维护费支出为数列{}nb，则1340()2nna，10050(1)nbn………………………4分(1)第6个月的收入为：56340()303.752a万元，第6个月的维护费为：610050(61)350b万元，………………………6分∴第6个月的收入还不足以支付第6个月的维护费………………………7分(2)到第n个月，该产品的总收入为340[1()]3280()803212nnnS…………9分该产品的总支出为2(1)1005040025754002nnnTnnn…………11分由题意知，只需0nnST，即23515()(6)021616nnn…………12分由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=10.∴从第10个月起，该产品的总收入首次超过总支出………………14分注：921023515()38.44,99639.75216163515()57.66,1010646.632161620.解：（1）由题意知曲线是以原点为中心，长轴在x轴上的椭圆，…………1分设其标准方程为22221xyab，则有2,1ac，所以2221bac，∴2212xy…………4分（2）证明：设直线l的方程为(0,0)ykxbkb，……………………5分设112200(,),(,),(,)AxyBxyMxy则由2212ykxbxy可得222()2xkxb，即222(12)4220kxkbxb∴122412kbxxk，∴12022212xxkbxk……………………8分2002221212kbbykxbbkk，0012OMykxk，……………………9分∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积=1122OMkkkk为定值…………10分（3）解法一：设1122(,),(,)AxyBxy则由OAOB知，12120xxyy，即1212xxyy，∴22221212xxyy………11分2222222222112212122111222AOBSxyxyxxxyxy………12分因A、B两点在椭圆上，有221122221212xyxy即221122222222xyxy也即22221122(2)(2)4xyxy得222222122112522xyxyxx∴221211222AOBSxx…………………13分又由221122221212xyxy得2222222222121212121211(1)(1)1()2224xxyyxxxxxx∴22221212122()434xxxxxx∴2212409xx…………………15分∴221211222[,]2232AOBSxx…………………………………………16分解法二：当直线OA、OB分别与坐标轴重合时，易知AOB的面积22AOBS，…11分当直线OA、OB的斜率均存在且不为零时，设直线OA、OB的方程为：ykx、1yxk，点1122(,),(,)AxyBxy，由2212ykxxy可得22222xkx，∴212221xk，代入ykx得2212221kyk…………………………………12分同理可得222222kxk，22222yk∴22221(1)2(21)(2)AOBkSOAOBkk…………………………………………13分令21tk，[1,)t，则222111111192(21)(1)2()24AOBtSOAOBttttt………14分由[1,)t知22[,)32AOBS……………………………