陕西省西安铁一中2017-2018学年高二数学上学期期中试题 文（含解析）

陕西省西安铁一中2017-2018学年高二数学上学期期中试题文（含解析）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共计48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合{lg(2)1}Axx，集合1282xBx，则AB（）．A．(1,3)B．(1,12)C．(2,12)D．(2,3)【答案】D【解析】{lg(2)1}{lg(2)lg10}{212}Axxxxxx，13128{222}{13}2xxBxxxx，∴{23}ABxx．故选D．2．已知sin2cos53sin5cos+，那么tan的值为（）．A．2B．2C．2316D．2316【答案】D【解析】由题意可知：cos0，分子分母同除以cos，得tan252tan5+，∴23tan16．综上所述，故选D．3．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是（）．A．23B．76C．45D．56【答案】D【解析】由题意几何体的体积，就是正方体的体积求得8个正三棱柱的体积，1111158=18322226VV正方体三棱锥．故选D．4．甲、乙两名运动员的5次测试成绩如下图所示，设1s，2s分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，1x，2x分别表示甲、乙名运动员测试成绩的平均数，则有（）．066415123456乙甲A．12xx，12ssB．12xx，12ssC．12xx，12ssD．12xx，12ss【答案】B【解析】由茎叶图中的数据知，甲运动员测试成绩的平均数为11(1315202626)205x；方差为22222211146[(1320)(1520)(2020)(2620)(2620)]55s++++．乙动员测试成绩的平均数为21(1416212425)205x++++，方差为2222222194[(1420)(1620)(2120)(2420)(2520)]55s++++，∴12xx，2212ss，∴12ss．5．执行如图所示的程序框图，若输出15S，则框图中①处可以填入（）．否是k=1,S=1k=k+1S=S+k2①输出S结束开始A．2kB．3kC．4kD．5k【答案】C【解析】本题主要考查程序框图的基本知识．1k，1S；2112S+，2k；2226S+，3k；26315S+，4k，则此时跳出循环，故框图中①处可填入4k．故选C．6．已知0a，函数2()fxaxbxc++，若0x满足关于x的方程20axb+，则下列选项的命题中为假命题的是（）．A．xR，0()()fxfx≤B．xR，0()()fxfx≥C．xR，0()()fxfx≤D．xR，0()()fxfx≥【答案】C【解析】∵0a，∴2()fxaxbxc++所对应的抛物线开口向上，又∵0x满足关于x的方程20axb+，∴02bxa为抛物线的对称轴，∴0()fx为二次函数()fx的最小值，（1）xR，0()()fxfx≤正确；（2）xR，0()()fxfx≥正确；（3）xR，0()()fxfx≤错误；（4）xR，0()()fxfx≥正确．故选C．7．若函数1xyab+（0a且1a）的图象经过第二、三、四象限，则一定有（）．A．01a且0bB．1a且0bC．01a且0bD．1a且0b【答案】C【解析】如图所示：xyO图象与y轴的交点在y轴的负半轴上（纵截距小于零），即010ab+且01a，∴01a且0b．故选C．8．设12a，数列{12}na+是公比为2的等比数列，则6a（）．A．31.5B．160C．79.5D．159.5【答案】C【解析】由题意得1125a+，∴11252nna+，即21522nna，∴4615279.52a．故选C．9．设抛物线28yx的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足．如果直线AF的斜率为3，那么||PF（）．A．43B．8C．83D．16【答案】B【解析】抛物线的交点(2,0)F，准线方程为2x，直线AF的方程为3(2)yx，所以点(2,43)A、(6,43)P，从而||628PF+．故选B．10．在集合{(,)05,04}xyxy≤≤≤≤内任取一个元素，能使不等式1052xy≤+成立的概率为（）．A．14B．34C．13D．23【答案】B【解析】集合{(,)05,04}xyxy≤≤≤≤对应的平面区域为矩形OABC，yxx5+y22=0ABCOM42约束条件20520504xyxy≤≤≤≤≤+对应的平面区域为梯形OAMC，把5x代入2052xy+得2y，∴(5,2)M，∴不等式1052xy≤+成立的概率为3=4OAMCOABCSPS梯形距形．故选B．11．已知1F、2F为双曲线22:1Cxy的左、右焦点，点P在C上，1260FPF，则P到x轴的距离为（）．A．32B．62C．3D．6【答案】B【解析】设1||PFm，2||PFn，不妨设mn，可知1a，1b，2c，根据双曲线定义，2mna，即2224mnmn+，（1）在12PFF△中，根据余弦定理，222121212||||||2||||cos60FFPFPFPFPF+，即228mnmn+，（2）（2）（1）得，4mn，解得5151m+，设P到x轴的距离为h，则11sin602222mnh，解得62h．故选B．12．已知函数22()21fxxxa+，若关于x的不等式(())0ffx的解集为空集，则实数a的取值范围是（）．A．(,2]B．(,1)C．[2,1]D．(1,]【答案】A【解析】22()21fxxaxa+22(1)(1)xaxaa++[(1)][(1)]xaxa+．由()0fx，即[(1)][(1)]0xaxa+，解得11axa+，那么不等式(())01()1(*)ffxafxa+，又2()()1fxxa．当xa时，()fx取得最小值1，即函数的值域为[1,+)，若不等式的解集为空集，则(*)的解集为空集，那么(1,1)aa+与值域的交集为空集，所以11a≤+，所以2a≤．故答案为2a≤．故选A．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4个题，每小题4分，共16分）13．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10小长方形面积的和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为__________．【答案】【解析】设中间一个小长方形的面积为x，其他10个小正方形的面积之和为y，则有：141xyxy+，解得：0.2x，∴中间一组的频数1600.232．故填32．14．已知(6,1)a，(2,2)b，若单位向量c与23ab+共线，则向量c坐标为_________．【答案】【解析】(6,1)a，(2,2)b，向量23(6,8)ab+，22|23|6810ab++．单位向量c与23ab+共线，11(23)10|23|cabab++，则向量c的坐标34,55或34,55．故答案为34,55或34,55．15．在平面直角坐标系中，不等式组120xyxy≥≤≤表示的平面区域的外接圆的方程为___________．【答案】【解析】y=2y=xx=121ABCyOx根据可知不等式组120xyxy≥≤≤，表示的平面区域为直角ABC△，可得(2,2)B，(1,1)C，因为BC为外接圆的直径，而BC间的距离22(21)(21)2d+，所以圆的半径为22，则圆心坐标为2121,22++即33,22，所以圆的标准方程为22331222xy+．故答案为：22331222xy+．16．已知椭圆22221xyab+的左、右焦点分别为1F、2F，且12||2FFc，点A在椭圆上，1120AFFF，212AFAFc，则椭圆的离心率e等于__________．【答案】【解析】∵1120AFFF，∴112AFFF，2,bAca，210,bAFa，222,bAFca．∵212AFAFc，∴4222bcabac．又∵222abc+，∴220caca+，即210ee，∴512e或512（舍负）．故答案为512．三、解答题（本大题5个小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题满分8分）在ABC△中，已知内角A、B、C所对的边分别为a，b，c向量(2sin,3)mB，向量2cos2,2cos12BnB，且mn∥．（1）求锐角B的大小．（2）如果2b，求ABC△的面积ABCS△的最大值．【答案】【解析】（1）∵(2sin,3)mB，2cos2,2cos12BnB且mn∥，∴22sin2cos13cos22BBB，∴2sincos3cos2BBB，即sin23cos2BB，∴tan23B．又B为锐角，∴2(0,π)B，∴2π23B，则π3B．综上所述，结论是π3B．（2）当π3B，2b，由余弦定理222cos2acbBac+得：2240acac+，当2π3B，2b．由余弦定理222cos2acbBac+得：2240acac++，又222acac≥+，代入上式得4ac≤（当且仅当2ac时等号成立），∴13sin324ABCSacBac≤△（当且仅当2ac时等号成立），则ABCS△的最大值为3．综上所述，结论是ABCS△的最大值为3．18．（本题满分8分）已知数列{}na满足12a，124nnaa++．（1）证明数列{4}na+是等比数列．（2）求数列{}na的前n项和nS．【答案】【解析】（1）证明：∵12a，124nnaa++，∴1424nnaa+++，142420a++，∴40na+，∴1424nnaa+++，∴{4na+}是首项为2，公比为2的等比数列，综上所述，结论是数列{4}na+是等比数列．（2）由（1）得14222nnna+，则24nna．当1n时，1|||2|2a，12S．当2n≥时，||24nna，2312(12)22224(1)4(1)24212nnnnSnnn+++++．∵12S符合通项公式，∴1242nnSn+．19．（本题满分10分）从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组，第一组[155,160)；第二组[160,165)，，第八组[190,195]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，若第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．频率组距身高(cm)1951901851801751701651601550.080.040.0160.008（1）估计这所学校高三年级全体男生身高180cm以上（含180cm）的人数．（2）求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图．（铅笔作图并用中性笔描黑）．（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x