实验十一-z变换及离散时间系统z域分析

z变换及离散时间系统的Z域分析一、目的（1）掌握利用MATLAB绘制系统零极点图的方法（2）掌握离散时间系统的零极点分析方法（3）掌握用MATALB实现离散系统频率特性分析的方法（4）掌握逆Z变换概念及MATLAB实现方法二、离散系统零极点线性时不变离散系统可用线性常系数差分方程描述，即00()()NMijijaynibxnj（8-1）其中()yk为系统的输出序列，()xk为输入序列。将式（8-1）两边进行Z变换的00()()()()()MjjjNiiibzYzBzHzXzAzaz（8-2）将式（8-2）因式分解后有：11()()()MjjNiizqHzCzp（8-3）其中C为常数，(1,2,,)jqjM为()Hz的M个零点，(1,2,,)ipiN为()Hz的N个极点。系统函数()Hz的零极点分布完全决定了系统的特性，若某系统函数的零极点已知，则系统函数便可确定下来。因此，系统函数的零极点分布对离散系统特性的分析具有非常重要意义。通过对系统函数零极点的分析，可以分析离散系统以下几个方面的特性：系统单位样值响应()hn的时域特性；离散系统的稳定性；离散系统的频率特性；三、离散系统零极点图及零极点分析1．零极点图的绘制设离散系统的系统函数为()()()BzHzAz则系统的零极点可用MATLAB的多项式求根函数roots()来实现，调用格式为：p=roots(A)其中A为待根求多项式的系数构成的行矩阵，返回向量p则是包含多项式所有根的列向量。多项式根的MATLAB命令举例如下：A=[13/41/8];P=roots(A)运行结果为：P=-0.5000-0.2500需注意的是，在求系统函数零极点时，系统函数可能有两种形式：一种是分子、分母多项式均按z的降幂次序排列；另一种是分子、分母多项式均按1z的升幂次序排列。这两种方式在构造多项式系数向量时稍有不同。（1）()Hz按z的降幂次序排列：系数向量一定要由多项式最高次幂开始，一直到常数项，缺项要用0补齐；如34322()3221zzHzzzzz其分子、分母多项式系数向量分别为A=[1020]、B=[13221]。（2）()Hz按1z的升幂次序排列：分子和分母多项式系数向量的维数一定要相同，不足的要用0补齐，否则0z的零点或极点就可能被漏掉。如11212()11124zHzzz其分子、分母多项式系数向量分别为A=[120]、B=[11/21/4]。用roots()求得()Hz的零极点后，就可以用plot()函数绘制出系统的零极点图。下面是求系统零极点，并绘制其零极点图的MATLAB实用函数ljdt()，同时还绘制出了单位圆。functionljdt(A,B)%Thefunctiontodrawthepole-zerodiagramfordiscretesystemp=roots(A);%求系统极点q=roots(B);%求系统零点p=p';%将极点列向量转置为行向量q=q';%将零点列向量转置为行向量x=max(abs([pq1]));%确定纵坐标范围x=x+0.1;y=x;%确定横坐标范围clfholdonaxis([-xx-yy])%确定坐标轴显示范围w=0:pi/300:2*pi;t=exp(i*w);plot(t)%画单位园axis('square')plot([-xx],[00])%画横坐标轴plot([00],[-yy])%画纵坐标轴text(0.1,x,'jIm[z]')text(y,1/10,'Re[z]')plot(real(p),imag(p),'x')%画极点plot(real(q),imag(q),'o')%画零点title('pole-zerodiagramfordiscretesystem')%标注标题holdoff例1：绘制如下系统函数的零极点（1）32323510()375zzzHzzzz（2）11210.5()31148zHzzz解：MATLAB命令如下（1）A=[1-37-5];B=[3-5100];ljdt(A,B)绘制的零极点图如图8-1（a）所示。（2）A=[13/41/8];B=[1-0.50];ljdt(A,B)绘制的零极点图如图8-1（b）所示。2．离散系统零极点分析（1）离散系统零极点分布与系统稳定性《信号与系统》课程已讲到离散系统稳定的条件为：时域条件：离散系统稳定的充要条件为()nhn，即系统单位样值响应绝对可和；Z域条件：离散系统稳定的充要条件为系统函数()Hz的所有极点均位于Z平面的单位圆内。对于三阶以下的低阶系统，可以利用求根公式求出系统函数的极点，从而判断系统的稳定性，但对于高阶系统，手工求解则显得十分困难，这时可以利用MATLAB来实现。实现方法是调用前述的函数ljdt()绘出系统的零极点图，然后根据极点的位置判断系统的稳定性。例2：系统函数如例1所示，判断两个系统的稳定性。解：由例1绘出的零极点图可以看出两个系统的稳定性分别为：第（1）个系统不稳定；（a）（b）图8-1离散系统的零极点图第（2）个系统稳定。（2）零极点分布与系统单位样值时域特性的关系从《信号与系统》课程中已经得知，离散系统的系统函数()Hz与单位样值响应()hn是一对Z变换对；因而，()Hz必然包含了()hn的固有特性。离散系统的系统函数可以写成11()()()MjjNiizqHzCzp（8-4）若系统的N个极点均为单极点，可将()Hz进行部分分式展开为：1()NiiikzHzzp（8-5）由Z逆变换得：1()()()Nniiihnkpun（8-6）从式（8-5）和（8-6）可以看出离散系统单位样值响应()hn的时域特性完全由系统函数()Hz的极点位置决定。从《信号与系统》的学习中已经得出如下规律：()Hz位于Z平面单位圆内的极点决定了()hn随时间衰减的信号分量；()Hz位于Z平面单位圆上的一阶极点决定了()hn的稳定信号分量；()Hz位于Z平面单位圆外的极点或单位圆上高于一阶的极点决定了()hn的随时间增长的信号分量；下面以例子证明上述规律的正确性：例3：已知如下系统的系统函数()Hz，试用MATLAB分析系统单位样值响应()hn的时域特性。（1）1()1Hzz，单位圆上的一阶实极点；（2）21()2cos()18Hzzz，单位圆上的一阶共轭极点；（3）2()(1)zHzz，单位圆上的二阶实极点；（4）1()0.8Hzz，单位圆内的一阶实极点；（5）21()(0.5)Hzz，单位圆内的二阶实极点；（6）1()1.2Hzz，单位圆外的一阶实极点；解：利用MATLAB提供的函数impz()绘制离散系统单位样值响应波形，impz()基本调用方式为（其他方式，请读者参看MATLAB帮助）：impz(b,a,N)，其中，b为系统函数分子多项式的系数向量，a为系统函数分母多项式的系数向量，N为产生序列的长度；需要注意的是，b和a的维数应相同，不足用0补齐，例如2211()(1)21Hzzzz的b=[001]，a=[1–21]。下面是求解个系统单位样值响应的MATLAB命令：（1）a=[1-1];b=[01];impz(b,a,10)运行结果如图8-2（a）所示。（2）a=[1–2*cos(pi/8)1];b=[001];impz(b,a,50)运行结果如图8-2（b）所示。（3）a=[1-21];b=[010];impz(b,a,10)运行结果如图8-2（c）所示。（4）a=[1-0.8];b=[01];impz(b,a,10)运行结果如图8-2（d）所示。（5）a=[1-10.25];b=[001];impz(b,a,10)运行结果如图8-2（e）所示。（6）a=[1-1.2];b=[01];impz(b,a,10)运行结果如图8-2（f）所示。（a）（b）图8-2系统的单位样值响应四、离散系统频率特性分析1．离散系统的频率响应()jHe对于某因果稳定离散系统，如果激励序列为正弦序列：0()sin()()xnAnun则，根据《信号与系统》课程给出的结果有，系统的稳态响应为：()()sin[()]()jssynAHenun定义离散系统的频率响应为()()()()jjjjzeHeHzHee其中，()jHe——称为离散系统的幅频特性；()——称为离散系统的相频特性；()jHe是以2为周期的周期函数，只要分析()jHe在范围内的情况，便可分析出系统的整个频率特性。2．用MATLAB实现离散系统的频率特性分析方法（1）直接法（c）（d）（e）（f）图8-2系统的单位样值响应（续）设某因果稳定系统的系统函数()Hz，则系统的频响特性为：()()()()jjjjzeHeHzHeeMATLAB提供了专门用于求离散系统频响特性的函数freqz()，调用freqz()的格式有以下两种：[H,w]=freqz(B,A,N)B和A分别为离散系统的系统函数分子、分母多项式的系数向量，N为正整数，返回量H则包含了离散系统频响()jHe在0~范围内N个频率等分点的值，向量w则包含0~范围内N个频率等分点。调用中若N默认，默认值为512。[H,w]=freqz(B,A,N,’whole’)该调用格式将计算离散系统在0~2范围内N个频率等分点的频率响应()jHe的值。因此，可以先调用freqz()函数计算系统的频率响应，然后利用abs()和angle()函数及plot()函数，即可绘制出系统在0~或0~2范围内的频响曲线。例4：绘制如下系统的频响曲线0.5()zHzz解：MATLAB命令如下：B=[1-0.5];A=[10];[H,w]=freqz(B,A,400,'whole');Hf=abs(H);Hx=angle(H);clffigure(1)plot(w,Hf)title('离散系统幅频特性曲线')figure(2)plot(w,Hx)title('离散系统相频特性曲线')运行结果如图8-3所示。图8-3系统的幅频特性曲线和相频特性曲线（2）几何矢量法利用几何矢量求解示意图如图8-4所示。jjjjjeqBeijjiiepAe有：1212()1()()1()()MNMjjjjjjNjiiBeHeHeeAe则系统的幅频特性和相频特性分别为：11()MjjjNiiBHeA（8-7）11()MNjiji（8-8）根据式（8-7）和（8-8），利用MATLAB来求解频率响应的过程如下：根据系统函数()Hz定义分子、分母多项式系数向量B和A；调用前述的ljdt()函数求出()Hz的零极点，并绘出零极点图；定义Z平面单位圆上的k个频率分点；求出()Hz所有的零点和极点到这些等分点的距离；求出()Hz所有的零点和极点到这些等分点矢量的相角；根据式（8-7）和（8-8）求出系统的()jHe和()；绘制指定范围内系统的幅频曲线和相频曲线；下面是实现上述过程的实用函数dplxy()。有四个参数：k为用户定义的频率等分点数目；B和A分别为系统函数分子、分母多项式系数向量；r为程序绘制的频率特性曲线的频率范围（0~r）。functiondplxy(k,r,A,B)%Thefunctiontodrawthefrequencyresponseofdiscretesystemp=roots(A);%求极点q=roots(B);%求零点figure(1)ljdt(A,B)%画零极点图w=0:r*pi/k:r*pi;y=exp(i*w);%定义单位圆上的k个频率等分点N=length(p);%求极点个数M=length(q);%求零点个数yp=ones(N,1)*y;%定义行数为极点个数的单位圆向量yq