山西省2019-2020学年高二数学上学期10月联合考试试题 理（含解析）

山西省2019-2020学年高二数学上学期10月联合考试试题理（含解析）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．2．请将各题答案填写在答题卡上．3．本试卷主要考试内容：人教A版立体几何、空间向量．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知空间向量1,0,1a，1,1,nb，且3ab，则向量a与b的夹角为()A.π6B.π3C.π3或2π3D.π6或5π6【答案】A【解析】【分析】由数量积的坐标求法，可得n的值，再利用向量的夹角公式即可求解.【详解】∵13nab，∴2n，又2a，1,1,2b，∴33cos,226ababab．又,0,πab，∴向量a与b的夹角为π6．【点睛】设向量111222,,,,,xyzxyzab，则121212121212222222111222,cosxxyyzzxxyyzz,xyzxyzababab=ab..2.下列说法中正确的是()A.圆锥的轴截面是等边三角形B.用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台C.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所围成的几何体是由一个圆台和两个圆锥组合而成D.有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱【答案】D【解析】【分析】根据圆锥的结构特征即可判断A选项；根据棱台的定义即可判断选项B;结合圆柱、圆锥、圆台的旋转特征，举出反例即可判断选项C；由棱柱的定义即可判断选项D.【详解】圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，A错误；只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱台，B错误；等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周的几何体，是由一个圆柱和两个圆锥组合而成，故C错误；由棱柱的定义得，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，故D正确．【点睛】解决空间几何体结构特征问题的3个策略(1)把握几何体的结构特征，提高空间想象力．(2)构建几何模型、变换模型中的线面关系．(3)通过反例对结构特征进行辨析．3.已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为()A.27πB.36πC.54πD.81π【答案】B【解析】【分析】由圆柱的轴截面为正方形可知，底面圆直径与圆柱的高相等，根据圆柱的体积公式，可求得底面圆的半径，再由圆柱的侧面积公式即可求解.【详解】设圆柱的底面半径为r．因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为2r．因为该圆柱的体积为54π，23π2π54πrhr，解得3r，所以该圆柱的侧面积为2π236rr．【点睛】设圆柱的底面圆半径为r,高为h,则侧面积=2Srh侧，体积2VShrh.4.如图，某四边形的斜二测直观图是上底为2，下底为4，高为1的等腰梯形，则原四边形的面积为()A.4B.42C.6D.62【答案】D【解析】【分析】根据题意可求出斜二测图形的面积，再结合原图的面积与斜二测图形面积的关系即可求解.【详解】原图的面积是斜二测图形面积的22倍．该四边形的斜二测图形面积为243211，故原图面积为32262．【点睛】按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：2=4SS直观图原图形．5.设，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列判断正确的是()A.若n，m，则mnB.若∥，m，则mC.若，l，ml，则mD.若mn，m，则n【答案】B【解析】【分析】选项A由线面垂直的性质定理可得；选项B，由面面平行的定义找两组相交直线，结合线面垂直的判定定理即可证明；选项C,D，找到反例即可.【详解】A选项不正确，根据垂直于同一个平面的两个直线平行，可得mn；B选项正确，若∥，则存在,,abab，在平面内存在',',''aabbab∥∥，由m，可得,','mambmamb，由线面垂直的判定定理可得m；C选项不正确，因为根据面面垂直的性质定理，需要加上“m在平面内或者平行于”这个条件，才能判定m；D选项不正确，直线n可能在平面上．【点睛】解决平行、垂直关系基本问题的3个注意点(1)注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易忽视．(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(3)会举反例或用反证法推断命题是否正确．6.设1e，2e，3e为空间的三个不同向量，如果1122330eee成立的等价条件为1230，则称1e，2e，3e线性无关，否则称它们线性相关．若2,1,3a，1,0,2b，1,1,mc线性相关，则m()A.9B.7C.5D.3【答案】A【解析】【分析】根据定义列出向量坐标的关系，即可求解.【详解】依题意，三个向量线性相关，则存在不全为0的实数x，y，z，使得xyz0abc成立．故20,0,320,xyzxzxymz由20,0xyzxz得xz，3yz，代入320xymz，得90mz，由于x，y，z不全为0，故0z，则9m．【点睛】设向量111222,,,,,xyzxyzab,则121212,,xxyyzza+b=.7.在三棱柱111ABCABC中，11111BABCABCABCVV()A.18B.12C.13D.16【答案】C【解析】【分析】利用等体积转化法，则有1111BABCCABBVV，又1CC平面1ABB,所以点1,CC到平面1ABB的距离相等，故可得111111BABCCABBCABBBABCVVVV，求解即可.【详解】设三棱柱111ABCABC的高为h,因为1CC平面11ABBA，所以1111111111133BABCCABBCABBBABCABCABCABCVVVVhSV．故选：C【点睛】本题考查椎体体积，注意若直线a∥平面，则直线a上的任一点到平面的距离都相等的应用8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为()A.3223B.6423C.323D.643【答案】C【解析】【分析】根据三视图的长度，可在棱长为4的正方体中还原几何体，进一步计算即可.【详解】根据题意，得该几何体是如图所示的三棱锥ABCD，1132444323ABCDV．【点睛】求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．9.把边长为2的正ABC沿BC边上的高线AD折成直二面角，则点A到BC的距离是()A.1B.62C.142D.154【答案】C【解析】【分析】对比翻折前、翻折后，,,,ACBCCDBD的长度都不变，得翻折后ABC△为等腰三角形，故求AO的长度即可.【详解】如图，取BC的中点O，连接AO，DO．∵翻折前ABC△为正三角形，∴2,1ACABCDBD．∴AOBC，即AO为点A到BC的距离.∵翻折前AD为BC边上的高，∴CDAD，BDAD，∴BDC∠即为二面角的平面角，即90BDC，∴222BCCDBD．∴221422BCAOAB．【点睛】折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的数量关系，尤其是隐含量的垂直关系.10.在四面体PABC中，PCPA，PCPB，22APBPABPC，则四面体PABC外接球的表面积是()A.17π12B.19π12C.19π3D.17π3【答案】C【解析】【分析】由△PAB为等边三角形，且PC平面PAB可知，OHPC∥，即可找到球心所在的位置，列出等量关系即可求出半径.【详解】∵PCPA，PCPB，∴PC平面PAB．设O是外接球球心，半径为R，H是ABP△的中心，OH平面PAB，则222PCOHPHR，222OHPHR,32232233PH，所以1122OHPC,2221912ROHPH，故四面体外接球的表面积是219π4π3SR．【点睛】“切”“接”问题处理的注意事项(1)“切”的处理解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．(2)“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．11.已知三棱锥DABC的体积为23，且ABBC，2AB，22ADBC，则三棱锥DABC的表面积为()A.222B.223C.226D.2226【答案】A【解析】【分析】三棱锥DABC以△ABC为底面，则高AD，即可得到2ADBC，再结合基本不等式即可得到AD,BC的长，且AD为三棱锥DABC的高，利用线面垂直的判定定理可得BC⊥平面ABD，即可得三棱锥DABC的四个面均为直角三角形，即可计算其表面积.【详解】因为112323DABCADABBCV，2AB，即2ADBC．因为22222ADBCADBC，当且仅当2ADBC时，等号成立，此时2AC，2AD，且AD平面ABC，2BD，易得BC⊥平面ABD，所以三棱锥DABC的表面积为ABCABDACDBCDSSSS1111222222222222222．【点睛】根据几何体的特征求表面积(1)求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体展开为平面图形后再求面积．(2)对于组合体，要弄清它是由哪些简单几何体组成的，要注意“表面(和外界直接接触的面)”的定义，以确保不重复、不遗漏．12.如图,正方形ABCD中,EF、分别是ABBC、的中点将,,ADECDFBEF分别沿DEDFEF、、折起,使、、ABC重合于点P.则下列结论正确的是（）A.PDEFB.平面PDEPDF平面C.二面角PEFD的余弦值为13D.点P在平面DEF上的投影是DEF的外心【答案】ABC【解析】【分析】对于A选项，只需取EF中点H，证明EF平面PDH；对于B选项，知,,PEPFPD三线两两垂直，可知正确；对于C选项，通过余弦定理计算可判断；对于D选项，由于PEPFPD，可判断正误.【详解】对于A选项，作出图形，取EF中点H，连接PH，DH，又原图知BEF和DEF为等腰三角形，故PHEF,DHEF，所以EF平面PDH，所以PDEF，故A正确；根据折起前后，可知,,PEPFPD三线两两垂直，于是可证平面PDEPDF平面，故B正确；根据A选项可知PHD为二面角PEFD的平面角，设正方形边长为2，因此1PEPF，22PH，2322222DH，222PDDFPF，由余弦定理得：2221cos23PHHDPDPHDPHHD，故C正确；由于PEPFPD，故点P在平面DEF上的投影不是DEF的外心，即D错误；故答案为ABC.【点睛】本题主要考查异面直线垂直，面面垂直，二面角的计算，投影等相关概念，综合性强，意在考查学生的分析能力，计算能力及空间想象能力，难度较大.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡中的横线上．13.在空间直角坐标系Oxyz中，点5,3,1A关于y轴的对称点的坐标为______．【答案】5,3,1【解析】【分析】点A关于y轴的对称点,则纵坐标不变，其它坐标变为相反数即可.【