中学数学开放题设计及教学策略

1内容摘要中学数学新课程新教材已经大量的引入了数学开放题，这不但早已是数学教育家关注的一个热点，而且正逐步成为广大一线数学教师所必须面对的一个教学方面问题。因为数学开放性问题的非完整性、不确定性、发散性、层次性、创新性等特点顺应了新课程改革的理念，顺应了新课程中问题解决的需要。数学开放题有助于培养学生思维的深刻性、广阔性、灵活性、缜密性、创造性和批判性；能引起学生认知结构上的顺应，从而使学生认知结构发生质的变化，使他们的知识水平和数学能力得到较大程度的提高；能激发学生学习数学的兴趣，使学生乐于参与，久而久之就会成为学生主动学习的动力；有利于培养学生的创新意识与创新能力。数学开放题的诸多特点决定了数学开放题在教育教学中的诸多价值。开放题的挑战性有利于激发学生的好奇心和求知欲，开放题答案的多样性使学生可在不同水平的答案的交流中共同讨论，互相学习，不断优化，最后得出较好的答案，从而培养学生精益求精、不断探索、追求卓越的精神，并提高解题的能力。伴随着问题的解决，学生解决问题的思路更加开阔，信息流量更加丰富，知识结构更加完善，适应社会的能力不断提高。在开放学习的过程中，经过不同角度不同方法的分析、推理的训练，培养了学生综合思维的能力。而这种能力是学生继续学习的后推动因素，这对学生将来走上社会后合理处理问题是至为关键的，这正是新课程理念下教育追求的结果。开放题教学作为一种新的教学形式，能够调动学生学习的积极性，激发学生的学习兴趣，拓展学生的思维空间，有利于培养学生的表述能力和批判、评价能力，有利于提高学生应用数学的能力等。开放题在数学教学中的应用，它还直接关系到学生的数学观及其在数学学习中的态度和信念，这些都与当前素质教育的要求是相吻合的。因为开放题教学不仅是一个知识获得的过程、能力获得的过程，更是一种学生数学素养和人文精神形成的过程。数学开放题是相对于封闭题的，是一种比较新颖的题型，它时常出现在中考、高考中，同时也现身于极少部分教师的课堂中，它具有不完备性、发散性、层次性、发展性、创新性、综合性等特点。本文在分析中学数学开放题及其教学的相关理论基础上，重在对中学开放题的设计进行论述，为中学数学教学准备具体的素材。然后以学生为中心，根据建构主义，认知理论和最近发展区来探讨中学数学开放题的教学，结合具体的教学内容在实践中体验，总结归纳。以便积累较多的实例，以期为中学数学开放题教学提供一些借鉴。2中学数学开放题设计及教学策略1中学数学开放题提出的背景国际数学教育的发展经历了多次改革运动，从60年代的“新数运动”到70年代的“回到基础”递到80年代的“问题解决”，可以说是“历尽坎坷”。与此同时，也就是这种风雨经历造就了70年代出现的一种新型问题——数学开放题。几经转侧，数学开放题进入我国，经历了从理论的引入到教学的实验，到大面积的推广，最终走进了各种类型的数学测验或考试。各种考试中，不少学生对此类题表现出束手无策，以致放弃这类题去花更多的时间和精力攻克难度更大更繁的问题。同时，不少老师也深感此类问题不知如何进行处理，致使以题论题，不能放开思维而拓广。在平常的教学中，很多老师还没有很好的进行开放性问题教学或开放课堂教学，甚至还有部分老师对开放题的价值持否定态度，将开放性思维与思维的严谨对立起来。现在的新课程改革中，致使许多老师明显不适应新课标，新教材的教学，感到十分迷茫。这中间不乏对新课程中的开放性问题及其教学的无所适从，也存在本身思维的不适应。在新课程改革的实践中，我曾参加一些活动，到不少学校听了一些实验的课堂，大家都知道新课程理念提出将开放性问题引入课堂，有利于发展学生思维的发散性，培养学生的创新意识。因此，在课堂教学中或多或少地都会引入一些开放题。曾经在某校遇到这样一个关于开放性问题的研讨：在小学一节“数的整除”复习课的课尾，某教师设计了这样一个题目：在1、2、4、15和28中，哪个数与众不同？在教师的引导下，学生纷纷回答：因为只有2是质数，所以2与众不同；因为只有28是4的倍数，所以28与众不同；因为只有4比1多3，所以4与众不同；因为只有15的十位上是1，所以15与众不同。教师随机小结：由此可见，每个数都与众不同，你们的每一种想法都是正确的。课后，听课老师纷纷议论。有的说：本课引入了开放题，学生们个个踊跃参与，学习积极性明显提高，体现了“面向全体学生”这一新理念。有的说：这个题目设计得太好了，能让学生热爱问题答案的多样性，有利于打开学生的思路，培养学生3的能力。还有的说：我觉得这个题目设计欠妥，将“开放性”转变成了“随意性”，有悖于我们的教学目标。更有的老师说：这样的开放太过分了，会让学生陷入“任何一种解答都是可以接受的”这一误区……由此我与新课改的相关研究员对老师就有关开放性问题进行了一次调查问卷，如表1。表1数学开放题与其它题型的比较分析题型答案选项及各选项被选中的百分比1.开放题与一题多解A.一题多解是对封闭题而言的B.一题多解题可算作开放题C.开放题必定是一题多解题4人选A，占16.7%2人选B，占8.3%18人选C，占75%2.开放题与分类讨论题A.开放题必是分类讨论题B.分类讨论题必定是开放题C.开放题与分类讨论题有区别8人选A，占33.3%10人选B,占41.7%6人选C,占25%3.开放题与探索题A.两者没什么区别B.探索题是开放题C.开放题必是探索题17人选A，占70.8%3人选B，占12.5%4人选C，占16.7%4.开放题的结论与答案A.两者没有什么区别B.问题答案必是问题结论C.两者是两个不同层次的问题15人选A，占62.5%5人选B，占20.8%4人选C，占16.7%5.开放题与封闭题A.开放题与封闭题两者相互排斥B.开放题是对封闭题的相对补充C.开放题的育人功能比封闭题大4人选A，占16.7%17人选B，占70.8%3人选C，占12.5%6.开放题在教学中A.应大力加强B.应适当增加C.不宜加强8人选A，占33.3%9人选B，占37.5%7人选C，占29.2%由上表可以看出，教师对开放题的具体情况认识不够，对开放性问题的运用等还存在一定的偏差，较以前对开放性问题的作用有一定的认可，但对开放到什么程度，与传统的封闭性问题怎样结合运用开发学生的思维，对开放题的具体价值等还不十分了解。但是，随着教育改革的深入发展，新课程改革的逐步实施，数学开放题的教育价值日益突出，新的课程标准已为数学开放题的教学搭建了平台，新课程高考也即将随之进入教师的教学中。因此，有必要对开放性问题及其教学的价值和4操作予以总结介绍，以便顺利进入平常课堂，真正发挥其应有的作用。2中学数学开放题的基本认识目前，中学数学新课程新教材已经大量的引入了数学开放题，这不但早已是数学教育家关注的一个热点，而且正逐步成为广大一线数学教师所必须面对的一个教学方面问题。因为数学开放性问题的非完整性、不确定性、发散性、层次性、创新性等特点顺应了新课程改革的理念，顺应了新课程中问题解决的需要。2.1中学数学开放题的产生2.1.1中学数学开放题的国际概况上世纪60年代以后，随着声势浩大的“新数运动”的急剧衰落，数学“回到基础”迅速成为70年代的主题，数学开放题在这种阵痛后的冷静与理性中应运而生。1971年，日本学者岛田茂、桥本吉彦、泽田利夫等27人率先研究“开放式结尾（open—ended）问题”，并于1977年发表了报告文集《算术、数学课的开放式问题——改善教学的新方案》。至80年代，一方面“问题解决”成为数学教育的主题，另一方面以布鲁纳为首的教育家将建构主义引向深入，在此背景下，开放性问题迅速成为数学教育的一面旗帜。同时，新西兰等国家也对开放性问题进行了卓有成效的教学实验和理论分析。可以说，从首开先河的日本到美国递至新西兰等国家对开放题的实践探索和理论研究，直接促进了数学开放题的成熟并使之迅速成为一种国际潮流。2.1.2中学数学开放题在国内的发展在我国，数学开放题从理论的引入到教学的实验递至大面积进入数学考试，大体上经历了几个过程。1980年，《外国教育》（第4期）发表了泽田利夫关于数学开放题的研究成果，其内容包括开放题的涵义、开放题的举例以及开放题教学的优缺点等问题，该文拉开了我国研究数学开放题的序幕。1984年，浙江教育学院戴再平教授首先运用开放题进行测试，测试发现：知识和技能的堆砌与学生的创造思维没有必然的联系。1988年，王慧斌在《外国教育资料》上介绍了日本的开智法，其中也涉及到数学开放题的一些知识，如开放题应该具备的条件等。1990年，胡林瑞对安徽省黄山市一所中学的学生也进行了数学开放题的测试。5并得出以下结论：①高中生的发散性、创造性思维与初中生没有区别；②基础知识和基本技能的增长不能作为创造性思维能力发展的充分条件，但却是创造性思维发展的必要条件；③学生的基础知识不一定能自然地转化为能力。1994年，胡启迪写文章也介绍了日本的一堂开放题教学课。1993年，戴再平又在浙江省五所中学运用数学开放题进行教学试验，试验发现：①在中学适当增加开放题是必要的；②开放题与封闭题应该并存而不是互相排斥；③开放题所包含的事件应为学生所熟悉，通过学生现有的知识能够解决；④开放题能使学生获得各不相同的各种水平的解答；⑤开放题应体现学生的主体地位；⑥开放题应注重学生的探索过程。1994年，湖南省教研室赵雄辉运用数学开放型应用题进行了实验，实验认为：①学生对开放型应用题非常欢迎；②开放型应用题有利于培养学生运用数学的意识和探索的精神。至此，中学数学开放题教学试验开始广泛进行。1996年2月，“开放题——数学教学的新模式”立项（1997年获得批准）为全国教育科学“九五”规划重点课题。1998年11月，课题组在上海金汇学校召开“数学开放题及其教学学术研讨会”，此次会议扩大了国际交流并形成一些理论认识。此外，上海师范大学小学教育研究所与香港合作，也进行了小学数学开放性问题的课题研究，并发表了一些有关文章。这表明数学开放题的研究进入了有计划有组织的研究阶段。2.2中学数学开放题的涵义2.2.1中学数学开放题的界定数学开放题，又叫数学开放型题，或数学开放性题，学术界还没有统一的定义，查阅相关的文献资料大致分三类：（1）条件不完备、结论不确定的数学问题称为开放题，代表性观点有：①数学开放题是相对于传统中条件完备、结论确定的封闭题而言的，是指那些条件不完备、结论不确定的数学问题（刘萍）；②开放型问题是指题目的条件不完备或结论不明确，从而蕴涵着多种可能性，要求解题者自行推断（孙耀庭）。（2）答案不确定的数学问题称为数学开放题，代表性观点有：①有几种正确答案似乎都带有可能性或成为未完结的问题称为开放的问题（泽田利夫）；②答案不唯一的问题称为开放题，开放题的一个显著特性是答案的多样性（俞求是）。6（3）数学开放题是指条件开放（条件在不断变化）、结论开放（多结论或无结论）、策略开放（可以采用多种方法和途径去解决）的问题。其实，“数学开放题”并未经审定的规范的数学专业名词，它只是相对封闭题而言的，是相对于封闭题的一种否定。因而，对数学开放题内涵的认识可对比封闭性问题归纳出两个明显的特征，也是最基本的特征：一是条件不完备即条件开放；二是结论不确定即结论开放。2.2.2中学数学开放题的分类目前已有不少的学者依据开放题的按命题要素、解题目的、学习过程、问题答案等不同的特性，对中学数学开放题进行了多种分类。综合各种情况如表2：表2数学开放题的常见题型可归纳成下表按命题要素的发散倾向分类按解题目标的操作模式分类按学习过程的训练价值分类按问题答案的结构类型分类综合开放型条件开放型策略开放型结论开放型量化设计型分类讨论型问题探求型规律探索型情境研究型构造对象型数学建模型知识巩固型知识发生型信息迁移型有限可列型无限离散型无限连续型有限混沌型2.2.3中学数学开放题的特征（1）问题的条件常常是不完备的（条件开放题）这类型目是给定结论来反探满足结论的条件，而满足结论的条件并不唯一，这类题常以基本知识为背景加以设计而成，主要考查学生对基础知识的掌握程度和归纳能力。【例1】如：（2003年山东济南市中考试