2020新教材高中数学 第九章 解三角形 9.2 正弦定理与余弦定理的应用练习 新人教B版必修第四册

9.2正弦定理与余弦定理的应用课后篇巩固提升1.如图,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,在所在河岸边选定一点C,测出AC的距离为50√m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算A,B两点的距离为()A.100mB.50√mC.100√mD.200m解析△ABC中,AC=50√m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,即∠ABC=0°,由正弦定理得∠∠,所以45°50√0°,解得AB=100.故选A.答案A2.如图,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100米到达B后,又测得C对于山坡的斜度为45°,若CD=50米,山坡对于地平面的坡角为θ,则cosθ=()A.2√+1B.2√-1C.√-1D.√+1解析在△ABC中,由正弦定理得BC=∠∠10015°45°-15°=50(√√),在△BCD中,sin∠BDC=∠50√-√50√√-1,又因为cosθ=sin∠BDC,所以cosθ=√-1.故选C.答案C3.某炮兵阵地位于A点,两个观察所分别位于C,D两点,已知△ACD为等边三角形,且DC=√km,当目标出现在B点(A,B两点位于CD两侧)时,测得∠CDB=45°,∠BCD=75°,则炮兵阵地与目标的距离约为()A.1.1kmB.2.2kmC.2.9kmD.3.5km解析如图所示:∠CBD=180°-∠CDB-∠BCD=180°-45°-75°=0°,在△BCD中,由正弦定理,得√√75°,故BD=75°.在△ABD中,∠ADB=45°+0°=105°,由余弦定理,得AB2=AD2+BD2-2AD·BDco105°,所以AB=√5√≈2.9(km).故炮兵阵地与目标的距离为2.9km.故选C.答案C4.如图,为了测量某湿地A,B两点间的距离,观察者找到在同一直线上的三点C,D,E.从D点测得∠ADC=67.5°,从C点测得∠ACD=45°,∠BCE=75°,从E点测得∠BEC=0°.现测得DC=2√千米,CE=√千米,则A,B两点间的距离为()A.√千米B.2√千米C.3千米D.2√千米解析在△ACD中,∠ADC=67.5°,∠ACD=45°⇒∠DAC=67.5°⇒AC=DC=2√;在△BCE中,∠BCE=75°,∠BEC=0°⇒∠CBE=45°,利用正弦定理得到:∠∠⇒BC=√,在△ABC中,∠ACB=0°,利用余弦定理得到AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB⇒AB=3.故选C.答案C5.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,0°,此时气球的高度是60m,则河流的宽度是()A.240(√-1)mB.180(√-1)mC.30(√+1)mD.120(√-1)m解析由题意可知:∠ABC=105°,∠BAC=45°,∴AC=000°=120.由正弦定理∠∠,得BC=∠∠1045°105°=0√0°co45°co0°45°=120(√-1),即河流的宽度为120(√-1)m.故选D.答案D6.如图,为了测量山坡上灯塔CD的高度,某人从高为h=40的楼AB的底部A处和楼顶B处分别测得仰角为β=0°,α=0°,若山坡高为a=35,则灯塔高度是()A.15B.25C.40D.60解析过点B作BE⊥DC于点E,过点A作AF⊥DC于点F,如图所示,在△ABD中,由正弦定理得,∠∠,即0°--0°-0°,∴AD=co-,在Rt△ADF中,DF=ADsinβ=co-,又山高为a,则灯塔CD的高度是CD=DF-EF=co--a=40√√1-35=60-35=25.故选B.答案B7.某船在A处看到灯塔S在北偏西40°方向,它向正北方向航行50海里到达B处,看到灯塔S在北偏西7°方向,则此时船到灯塔S的距离为海里.解析由条件可得,∠BSA+∠BAS=7°,所以∠BSA=7°-40°=°.在△SAB中,由正弦定理,得∠∠,所以BS=∠∠5040°°≈54.7.答案54.78.在2012年7月12日伦敦奥运会上举行升旗仪式,如图,在坡度为15°的观礼台上,某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面,在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为0°和0°,且座位A,B的距离为10√米,则(1)AN=米;(2)旗杆的高度为米.解析依题意可知∠NBA=45°,∠BAN=180°-0°-15°=105°,所以∠BNA=180°-45°-105°=0°.由正弦定理可知∠∠,所以AN=∠·sin∠NBA=20√米.所以在Rt△AMN中,MN=ANsin∠NAM=20√√=30米,所以旗杆的高度为30米.答案20√309.某人向正东走了xkm后,右转150°,又走了3km,此时距离出发点√km,则x=.解析作出图形如下图所示:设起点为点A,向正东走xkm后到达点B,然后向右转150°行走3km到达点C,此时AC=√km,那么在△ABC中,AB=x,BC=3,AC=√,B=0°,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB,即3=x2+9-2×x×3×√,整理得x2-3√x+6=0,解得x=√或2√.答案√或2√10.如图所示,近日我国渔船编队在岛A周围海域作业,在岛A的南偏西0°方向有一个海面观测站B,某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近,现测得与B相距31海里的C处有一艘海警船巡航,上级指示海警船沿北偏西40°方向,以40海里/小时的速度向岛A直线航行以保护我国渔船编队,30分钟后到达D处,此时观测站测得B,D间的距离为21海里.(1)求sin∠BDC的值;(2)试问海警船再向前航行多少分钟方可到达岛A?分析(1)在△BDC中,根据余弦定理求得余弦值,再求正弦值得到答案.(2)首先利用和差公式计算sin∠ABD,△ABD中,由正弦定理可得AD长度,最后得到时间.解(1)由已知可得CD=40×1=20,在△BDC中,根据余弦定理求得cos∠BDC=10-110=-17,所以sin∠BDC=4√7.(2)由已知可得∠BAD=0°+40°=0°,所以sin∠ABD=sin(∠BDC-0°=4√71(-17)√5√14.在△ABD中,由正弦定理可得AD=∠∠1∠∠=15,所以t=1540×60=22.5分钟.即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A.