2020年高考数学一轮复习 专题10.5 椭圆双曲线抛物线的定义及其运用练习（含解析）

第五讲椭圆双曲线抛物线的标准方程一．椭圆（一）标准方程（1）焦点在x轴上的椭圆的标准方程是x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0），焦点为F1（－c,0），F2（c,0）.（2）焦点在y轴上的椭圆的标准方程是y2a2＋x2b2＝1（a＞b＞0），焦点为F1（0，－c），F2（0，c）.（二）．求椭圆的方程有两种方法:（1）定义法.根据椭圆的定义，确定a2,b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.（2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：第一步：做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）.第二步：设方程.根据上述判断设方程为22221(0)xyabab或22221(0)yxabab.第三步：找关系.根据已知条件，建立关于,,abc的方程组（注意椭圆中固有的等式关系222cab－）.第四步：得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.【注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为22100()mxnymnmn＝，且.二．双曲线（一）标准方程（1）中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1（a0，b0）；（2）中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1（a0，b0）．（二）.待定系数法求双曲线方程的五种类型【套路秘籍】---千里之行始于足下类型一与双曲线x2a2－y2b2＝1有公共渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ（λ≠0）类型二若已知双曲线的一条渐近线方程为y＝bax或y＝－bax，则可设双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ（λ≠0）类型三与双曲线x2a2－y2b2＝1共焦点的双曲线方程可设为x2a2－k－y2b2＋k＝1（－b2ka2）类型四过两个已知点的双曲线的标准方程可设为x2m－y2n＝1（mn0）或者x2m＋y2n＝1（mn0）类型五与椭圆x2a2＋y2b2＝1（ab0）有共同焦点的双曲线方程可设为x2a2－λ－y2λ－b2＝1（b2λa2）三．抛物线1.求抛物线的标准方程的方法（1）定义法根据抛物线的定义，确定p的值（系数p是指焦点到准线的距离），再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择．（2）待定系数法①根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程．②当焦点位置不确定时，有两种方法解决：法一分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x轴上的抛物线，为避免开口方向不确定可分为y2＝2px（p0）和y2＝－2px（p0）两种情况求解法设成y2＝mx（m≠0），若m0，开口向右；若m0，开口向左；若m有两个解，则抛物线的标准方二程有两个．同理，焦点在y轴上的抛物线可以设成x2＝my（m≠0）．如果不确定焦点所在的坐标轴，应考虑上述两种情况设方程求标准方程，总结一句话，先定型再定量。考向一椭圆的标准方程【例1】求满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点分别为(0,2)，(0,2)，且经过点(4,32)；（2）经过点(2,2)，(2,3)；（3）长轴长与短轴长的和为18，焦距为6；（4）经过点(3,0)，且离心率63e；（5）经过点(3,2)M，且与椭圆22194xy有相同的焦点；（6）经过点(1,2)N，且与椭圆221126xy有相同的离心率．【答案】见解析【解析】（1）因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为22221(0)yxabab解法一：由椭圆的定义知22222(40)(322)(40)(322)12a，所以6a又2c，所以22232bac，所以所求椭圆的标准方程为2213632yx解法二：因为所求椭圆过点(4,32)，所以2218161ab又2224cab，联立解得236a，232b，所以所求椭圆的标准方程为2213632yx（2）解法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为22221(0)xyabab【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始由已知条件得2222421231abab，解得2284ab，所以所求椭圆的标准方程为22184xy若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为22221(0)yxabab由已知条件得2222241321abab，解得2248ab，由于22ab，与ab矛盾，故舍去综上，所求椭圆的标准方程为22184xy解法二：设椭圆的一般方程为221(00)AxByABAB,,将点(2,2)，(2,3)代入一般方程，得421231ABAB，解得18A，14B所以所求椭圆的标准方程为22184xy（3）设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c由题意可知221826abc，结合222abc可解得a＝5，b＝4，c＝3因为不确定焦点在哪个坐标轴上，所以所求椭圆的标准方程为2212516xy或2212516yx（4）当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为22221(0)xyabab由题意，得3a，因为63cea，所以6c，从而2223bac所以所求椭圆的标准方程为22193xy当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为22221(0)yxabab由题意，得3b，因为222639ccceabcc，解得218c，从而227a所以所求椭圆的标准方程为221279yy综上，所以所求椭圆的标准方程为22193xy或221279yy（5）解法一：求出焦点坐标，则可转化为（1）的形式，此处不再赘述解法二：设所求椭圆的方程为221(4)94xykkk，将点M的坐标代入可得94194kk，解得6(6kk舍去）．故所求椭圆的标准方程为2211510xy（6）解法一求出离心率，由a，b，c之间的关系及方程过点N，列方程组即可求解，此处不再赘述解法二设所求椭圆的方程为22(0)126xymm或22(0)126yxnn，将点N的坐标代入可得2212126m或2221126n，即34m，12n，故所求椭圆的标准方程为2231264xy或2211262yx，即221992xy或22163yx【举一反三】1．与椭圆22143xy具有相同的离心率且过点（2，-3）的椭圆的标准方程是____________.【答案】22221125258634xyxy或【解析】易知椭圆22143xy的离心率12e．当所求椭圆的焦点在x轴上时，可设椭圆的方程为22221xyab，把点（2，-3)）代入方程，得22431ab．又224ac，解得228,6ab，所以所求椭圆的方程为22186xy．当所求椭圆的焦点在y轴上时，同理可设椭圆的方程为22221xyba，把点(2,3)代入方程，得22341ab．【套路总结】1.若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为22001()AxByABAB,,，从而避免讨论2.在椭圆的简单几何性质的应用中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件确定的椭圆方程可能有两个。3.与椭圆22221xyab有相同焦点的椭圆方程可设为222221(xykaakbk且2)kb4.与椭圆22221(0)xyabab有相同离心率的椭圆方程可设为2222(0xymmab，焦点在x轴上)或2222(0yxnnab，焦点在y轴上)又224ac，解得222525,34ab，所以所求椭圆的方程为221252534xy．因此椭圆的标准方程是22221125258634xyxy或.2．已知椭圆的中心在原点，长轴在轴上，一焦点与短轴两端点的连线互相垂直，焦点与长轴上较近顶点的距离为4(21)，则此椭圆的方程是___________.【答案】2213216xy【解析】由题意中心在原点，长轴在x轴上，一焦点与短轴两端点连线互相垂直，焦点与长轴上较近顶点的距离为4(21)，得222424424acabcbabc解得所以椭圆方程为2213216xy。2．已知12,FF为椭22221(0)xyabab的两个焦点,过点F2作椭圆的弦AB,若1AFB△的周长为16,椭圆的离心率32e，则椭圆的方程为。【解析】由椭圆的定义得416a，4a，又椭圆的离心率342ccea，即23c，22216124bac，椭圆的方程为221164xy．考向二双曲线的标准方程【例2】求满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点分别为(0,6)，(0,6)，且经过点(5,6)A；（2）4a，且经过点410(1,)3B；（3）经过点(3,10)，(4,26)；（4）焦点在x轴上，虚轴长为8，且离心率53e；（5）一条渐近线方程为30xy，且与椭圆22464xy有相同的焦点；（6）经过点(22,23)C，且与双曲线221816xy有共同的渐近线．【答案】见解析【解析】（1）由题易知焦点在y轴上，设双曲线的方程22221yxab则，222222236163625120cababab解得所以所求双曲线的标准方程为2211620yx（2）当焦点在x轴上时，设双曲线方程为222116xyb(b＞0)又双曲线经过点410(1,)3B，所以216019116b，则20b，不符合题意当焦点在y轴上时，设双曲线方程为222116yxb(b＞0)又双曲线经过点410(1,)3B，所以216019116b，解得29b所以所求双曲线的标准方程为221169yx2222(3)0)1910141116241488AABAABxyABB设双曲线的方程为x+By=1（+=由题意得解得==-（4）由题意可设双曲线的方程为22221xyab．由2b=8，53ca可得229,16ab所以所求双曲线的标准方程为221916xy（5）解法一：椭圆方程可化为2216416xy，焦点坐标为(43,0)，故可设双曲线的方程为22221xyab其渐近线方程为33yx，则33ba，解得2236,12ab所以所求双曲线的标准方程为2213612xy解法二：由题意可知另一条渐近线方程为30xy故可设双曲线的方程为223xy，因为双曲线与椭圆2216416xy共焦点所以6416,363，所以所求双曲线的标准方程为2213612xy（6）由题意可设所求双曲线方程为22816xy，将点的坐标代入，得14，所以所求双曲线的标准方程为22124xy【举一反三】1．已知双曲线C与椭圆221925xy有共同的焦点，且它们的离心率之和为145，则双曲线C的方程是_______【答案】221412yx【解析】因为双曲线C与椭圆221925xy有共同的焦点，所以c=4，且焦点在y轴上；设双曲线的方程为22221yxab，又离心率之和为145，所以41455ca，解得2a，所以216412b，因此双曲线C的方程是221412yx.2．已知双曲线22221(0,0)xyabab的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为((5,0)，则双曲线的方程为______．【答案】2214yx【解析】由题意得：2225,2,,1