2020高考数学刷题首选卷 考点测试27 平面向量基本定理及坐标表示 理（含解析）

考点测试27平面向量基本定理及坐标表示高考概览本考点是高考常考知识点，常考题型为选择题和填空题，分值5分，中、低等难度考纲研读1．了解平面向量基本定理及其意义2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件一、基础小题1．已知向量a＝(2，1)，b＝(－4，m)，若a＝－12b，则m＝()A．－2B．2C．－12D．12答案A解析由向量的坐标运算可得1＝－12m，解得m＝－2．故选A．2．设向量e1，e2为平面内所有向量的一组基底，且向量a＝3e1－4e2与b＝6e1＋ke2不能作为一组基底，则实数k的值为()A．8B．－8C．4D．－4答案B解析由a与b不能作为一组基底，则a与b必共线，故36＝－4k，即k＝－8．故选B．3．已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量AB→同方向的单位向量为()A．35，－45B．45，－35C．－35，45D．－45，35答案A解析因为AB→＝(3，－4)，所以与其同方向的单位向量e＝AB→|AB→|＝15(3，－4)＝35，－45．故选A．4．若向量a＝(2，1)，b＝(－1，2)，c＝0，52，则c可用向量a，b表示为()A．12a＋bB．－12a－bC．32a＋12bD．32a－12b答案A解析设c＝xa＋yb，则0，52＝(2x－y，x＋2y)，所以2x－y＝0，x＋2y＝52，解得x＝12，y＝1，则c＝12a＋b．故选A．5．已知平行四边形ABCD中，AD→＝(3，7)，AB→＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则CO→的坐标为()A．－12，5B．12，5C．12，－5D．－12，－5答案D解析AC→＝AB→＋AD→＝(－2，3)＋(3，7)＝(1，10)．∴OC→＝12AC→＝12，5．∴CO→＝－12，－5．故选D．6．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d＝()A．(2，6)B．(－2，6)C．(2，－6)D．(－2，－6)答案D解析设d＝(x，y)，由题意知4a＝(4，－12)，4b－2c＝(－6，20)，2(a－c)＝(4，－2)，又4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，所以(4，－12)＋(－6，20)＋(4，－2)＋(x，y)＝(0，0)，解得x＝－2，y＝－6，所以d＝(－2，－6)．故选D．7．已知点A(1，－2)，若向量AB→与向量a＝(2，3)同向，且|AB→|＝13，则点B的坐标为()A．(2，3)B．(－2，3)C．(3，1)D．(3，－1)答案C解析设AB→＝(x，y)，则AB→＝ka(k0)，即x＝2k，y＝3k，由|AB→|＝13得k＝1，故OB→＝OA→＋AB→＝(1，－2)＋(2，3)＝(3，1)．故选C．8．已知向量OA→＝(k，12)，OB→＝(4，5)，OC→＝(10，k)，当A，B，C三点共线时，实数k的值为()A．3B．11C．－2D．－2或11答案D解析因为AB→＝OB→－OA→＝(4－k，－7)，BC→＝OC→－OB→＝(6，k－5)，且AB→∥BC→，所以(4－k)(k－5)－6×(－7)＝0，解得k＝－2或11．故选D．9．已知向量AC→，AD→和AB→在正方形网格中的位置如图所示，若AC→＝λAB→＋μAD→，则λμ＝()A．－3B．3C．－4D．4答案A解析建立如图所示的平面直角坐标系xAy，则AC→＝(2，－2)，AB→＝(1，2)，AD→＝(1，0)，由题意可知(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1，0)，即2＝λ＋μ，－2＝2λ，解得λ＝－1，μ＝3，所以λμ＝－3．故选A．10．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD→＝12AB→，BE→＝23BC→，若DE→＝λ1AB→＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案12解析∵DE→＝DB→＋BE→＝12AB→＋23BC→＝12AB→＋23(AC→－AB→)＝－16AB→＋23AC→，∴λ1＝－16，λ2＝23，∴λ1＋λ2＝12．11．如图，已知平面内有三个向量OA→，OB→，OC→，其中OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，且|OA→|＝|OB→|＝1，|OC→|＝23．若OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．答案6解析以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1，0)，B－12，32，C(3，3)．由OC→＝λOA→＋μOB→，得3＝λ－12μ，3＝32μ，解得λ＝4，μ＝2.所以λ＋μ＝6．二、高考小题12．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝()A．－8B．－6C．6D．8答案D解析由题可得a＋b＝(4，m－2)，又(a＋b)⊥b，∴4×3－2×(m－2)＝0，∴m＝8．故选D．13．(2015·湖南高考)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC．若点P的坐标为(2，0)，则|PA→＋PB→＋PC→|的最大值为()A．6B．7C．8D．9答案B解析解法一：由圆周角定理及AB⊥BC，知AC为圆的直径，故PA→＋PC→＝2PO→＝(－4，0)(O为坐标原点)．设B(cosα，sinα)，∴PB→＝(cosα－2，sinα)，∴PA→＋PB→＋PC→＝(cosα－6，sinα)，|PA→＋PB→＋PC→|＝cosα－62＋sin2α＝37－12cosα≤37＋12＝7，当且仅当cosα＝－1时取等号，此时B(－1，0)，故|PA→＋PB→＋PC→|的最大值为7．故选B．解法二：同解法一得PA→＋PC→＝2PO→(O为坐标原点)，又PB→＝PO→＋OB→，∴|PA→＋PB→＋PC→|＝|3PO→＋OB→|≤3|PO→|＋|OB→|＝3×2＋1＝7，当且仅当PO→与OB→同向时取等号，此时B点坐标为(－1，0)，故|PA→＋PB→＋PC→|max＝7．故选B．14．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________．答案12解析由题可得2a＋b＝(4，2)，∵c∥(2a＋b)，c＝(1，λ)，∴4λ－2＝0，即λ＝12．15．(2015·全国卷Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．答案12解析由于a，b不平行，所以可以以a，b作为一组基底，于是λa＋b与a＋2b平行等价于λ1＝12，即λ＝12．16．(2015·江苏高考)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．答案－3解析由a＝(2，1)，b＝(1，－2)，可得ma＋nb＝(2m，m)＋(n，－2n)＝(2m＋n，m－2n)，由已知可得2m＋n＝9，m－2n＝－8，解得m＝2，n＝5，故m－n＝－3．17．(2017·江苏高考)如图，在同一个平面内，向量OA→，OB→，OC→的模分别为1，1，2，OA→与OC→的夹角为α，且tanα＝7，OB→与OC→的夹角为45°．若OC→＝mOA→＋nOB→(m，n∈R)，则m＋n＝________．答案3解析解法一：∵tanα＝7，α∈[0，π]，∴cosα＝210，sinα＝7210．∵OA→与OC→的夹角为α，∴210＝OA→·OC→|OA→||OC→|．∵OC→＝mOA→＋nOB→，|OA→|＝|OB→|＝1，|OC→|＝2，∴210＝m＋nOA→·OB→2．①又∵OB→与OC→的夹角为45°，∴22＝OB→·OC→|OB→||OC→|＝mOA→·OB→＋n2．②又cos∠AOB＝cos(45°＋α)＝cosαcos45°－sinαsin45°＝210×22－7210×22＝－35，∴OA→·OB→＝|OA→||OB→|cos∠AOB＝－35，将其代入①②得m－35n＝15，－35m＋n＝1，两式相加得25m＋25n＝65，所以m＋n＝3．解法二：过C作CM∥OB，CN∥OA，分别交线段OA，OB的延长线于点M，N，则OM→＝mOA→，ON→＝nOB→，由正弦定理得|OM→|sin45°＝|OC→|sin135°－α＝|ON→|sinα，∵|OC→|＝2，由解法一，知sinα＝7210，cosα＝210，∴|OM→|＝2sin45°sin135°－α＝1sin45°＋α＝54，|ON→|＝2sinαsin135°－α＝2×7210sin45°＋α＝74．又OC→＝mOA→＋nOB→＝OM→＋ON→，|OA→|＝|OB→|＝1，∴m＝54，n＝74，∴m＋n＝3．解法三：如图，设OD→＝mOA→，DC→＝nOB→，则在△ODC中有OD＝m，DC＝n，OC＝2，∠OCD＝45°，由tanα＝7，得cosα＝210，又由余弦定理知m2＝n2＋22－22ncos45°，n2＝m2＋22－22mcosα，即m2－n2＝2－2n，①n2－m2＝2－25m，②①＋②得4－2n－25m＝0，即m＝10－5n，代入①得12n2－49n＋49＝0，解得n＝74或n＝73，当n＝73时，m＝10－5×73＝－530(不符合题意，舍去)，当n＝74时，m＝10－5×74＝54，故m＋n＝54＋74＝3．三、模拟小题18．(2018·长春质检二)已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(－2，0)，则|a＋2b|＝()A．32B．3C．22D．5答案A解析a＋2b＝(1，－3)＋2·(－2，0)＝(－3，－3)，所以|a＋2b|＝－32＋－32＝32，故选A．19．(2018·吉林白城模拟)已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－2b共线，则mn＝()A．12B．2C．－12D．－2答案C解析由向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由ma＋nb与a－2b共线，得2m－n4＝3m＋2n－1，所以mn＝－12，故选C．20．(2018·山东潍坊一模)若M是△ABC内一点，且满足BA→＋BC→＝4BM→，则△ABM与△ACM的面积之比为()A．12B．13C．14D．2答案A解析设AC的中点为D，则BA→＋BC→＝2BD→，于是2BD→＝4BM→，从而BD→＝2BM→，即M为BD的中点，于是S△ABMS△ACM＝S△ABM2S△AMD＝BM2MD＝12．21．(2018·河北衡水中学2月调研)一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB，AD分别交于点E，F，且交其对角线AC于点M，若AB→＝2AE→，AD→＝3AF→，AM→＝λAB→－μAC→(λ，μ∈R)，则52μ－λ＝()A．－12B．1C．32D．－3答案A解析AM→＝λAB→－μAC→＝λAB→－μ(AB→＋AD→)＝(λ－μ)AB→－μAD→＝2(λ－μ)AE→－3μAF→，因为E，M，F三点共线，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，即2λ－5μ＝1，∴52μ－λ＝－12，故选A．22．(2018·湖南四大名校联考)在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若AC→＝a，BD→＝b，则AF→＝()A．14a＋12bB．12a＋14bC．23a＋13bD．12a＋23b答案C解析解法一：如题图，根据题意，得AB→＝12AC→＋12DB→＝12(a－b)，AD→＝12AC→＋12BD→＝12(a＋b)．∵E是线段OD的中点，DF∥AB，∴DFAB＝DEEB＝13，∴DF→＝13AB→＝16(a－b)，∴AF→＝AD→＋DF→＝12(a＋b)＋16(a－b)＝23a＋13b．故选C．解法二：如题图，根据题