（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 1 第1讲 任意角、弧度制和任

第1讲任意角、弧度制和任意角的三角函数1．若角θ同时满足sinθ0且tanθ0，则角θ的终边一定落在第________象限．解析：由sinθ0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的非正半轴重合．由tanθ0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，可知θ的终边只能位于第四象限．答案：四2．一扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．解析：设扇形半径为R，内切圆半径为r.则(R－r)sin60°＝r，即R＝(1＋233)r.又S扇＝12|α|R2＝12×2π3×R2＝π3R2＝7＋439πr2，所以S扇πr2＝7＋439.答案：(7＋43)∶93．已知角α和角β的终边关于直线y＝x对称，且β＝－π3，则sinα＝________．解析：因为角α和角β的终边关于直线y＝x对称，所以α＋β＝2kπ＋π2(k∈Z)，又β＝－π3，所以α＝2kπ＋5π6(k∈Z)，即得sinα＝12.答案：124．设θ是第三象限角，且cosθ2＝－cosθ2，则θ2是第________象限角．解析：因为θ是第三象限角，所以θ2为第二或第四象限角．又因为cosθ2＝－cosθ2，所以cosθ2＜0，知θ2为第二象限角．答案：二5．已知角α的终边上一点P的坐标为(－3，y)(y≠0)，且sinα＝12y，则cosα－1tanα＝________.解析：由已知得r＝OP＝3＋y2，所以sinα＝y2＝y3＋y2.所以2＝3＋y2，所以y2＝1，所以y＝±1，故sinα＝±12，cosα＝－32，tanα＝±33.则cosα－1tanα＝32或－332.答案：32或－3326．(2019·连云港质检)已知角α的终边上一点的坐标为(sin2π3，cos2π3)，则角α的最小正值为________．解析：因为(sin2π3，cos2π3)＝(32，－12)，所以角α为第四象限角，且sinα＝－12，cosα＝32.所以角α的最小正值为11π6.答案：11π67．若角β的终边所在直线经过点Pcos3π4，sin3π4，则sinβ＝________，tanβ＝________．解析：因为β的终边所在直线经过点Pcos3π4，sin3π4，所以β的终边所在直线为y＝－x，则β在第二或第四象限．所以sinβ＝22或－22，tanβ＝－1.答案：22或－22－18.如图，角α的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1)相交于第二象限的点Acosα，35，则cosα－sinα＝________．解析：由题图知sinα＝35，又点A在第二象限，故cosα＝－45.所以cosα－sinα＝－75.答案：－759．函数y＝sinx＋12－cosx的定义域是________．解析：由题意知sinx≥0，12－cosx≥0，即sinx≥0，cosx≤12.所以x的取值范围为π3＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z.答案：π3＋2kπ，π＋2kπ(k∈Z)10．已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l向右运动，Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，OP(如图)，则阴影部分面积S1，S2的大小关系是________．解析：设运动速度为m，运动时间为t，圆O的半径为r，则AQ︵＝AP＝tm，根据切线的性质知OA⊥AP，所以S1＝12tm·r－S扇形AOB，S2＝12tm·r－S扇形AOB，所以S1＝S2恒成立．答案：S1＝S211．已知扇形AOB的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，(1)由题意可得2r＋l＝8，12lr＝3，解得r＝3，l＝2或r＝1，l＝6，所以α＝lr＝23或α＝lr＝6.(2)法一：因为2r＋l＝8，所以S扇＝12lr＝14l·2r≤14(l＋2r2)2＝14×(82)2＝4，当且仅当2r＝l，即α＝lr＝2时，扇形面积取得最大值4.所以圆心角α＝2，弦长AB＝2sin1×2＝4sin1.法二：因为2r＋l＝8，所以S扇＝12lr＝12r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r－2)2＋4≤4，当且仅当r＝2，即α＝lr＝2时，扇形面积取得最大值4.所以弦长AB＝2sin1×2＝4sin1.12．已知sinα0，tanα0.(1)求α角的集合；(2)求α2终边所在的象限．解：(1)由sinα0，知α在第三、四象限或y轴的负半轴上；由tanα0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为{α|2kπ＋πα2kπ＋3π2，k∈Z}．(2)由2kπ＋πα2kπ＋3π2，k∈Z，得kπ＋π2α2kπ＋3π4，k∈Z，故α2终边在第二、四象限．