（黄冈名师）2020版高考数学大一轮复习 核心素养提升练三十七 8.2 复数 理（含解析）新人教A版

核心素养提升练三十七复数(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2018·全国卷Ⅱ)=()A.--iB.-+iC.--iD.-+i【解析】选D.===-+i.2.(2018·北京高考)在复平面内,复数的共轭复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.复数z=====+i,所以z的共轭复数=-i,对应的点为,位于第四象限.3.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,,则复数z1·z2对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.由已知=(-2,-1),=(0,1),所以z1=-2-i,z2=i,z1z2=1-2i,它所对应的点为(1,-2),在第四象限.4.已知复数z满足=-i,则|z|=()A.1B.C.2D.2【解析】选A.z===i,则|z|=1.5.若复数z满足2z+=3-2i,其中i为虚数单位,则z=()A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i【解析】选B.设z=a+bi(a,b∈R),则2z+=2(a+bi)+(a-bi)=3a+bi,又因为2z+=3-2i,所以3a=3,b=-2,所以z=1-2i.误区警示:利用复数相等a+bi=c+di列方程时,注意a,b,c,d∈R的前提条件.6.(2019·福州模拟)已知m∈R,i为虚数单位,若0,则m=()A.1B.C.D.-2【解析】选B.由已知得==,由0,可得1-2m=0,则m=.7.(2017·全国卷Ⅰ)设有下列四个命题:p1:若复数z满足∈R,则z∈R;p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=;p4:若复数z∈R,则∈R.其中的真命题为()A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4【解析】选B.设z=a+bi(a,b∈R),z1=a1+b1i(a1,b1∈R),z2=a2+b2i(a2,b2∈R).对于p1,若∈R,即=∈R,则b=0,故z=a+bi=a∈R,所以p1为真命题;对于p2,若z2∈R,即(a+bi)2=a2+2abi-b2∈R,则ab=0.当a=0,b≠0时,z=a+bi=bi∉R,所以p2为假命题;对于p3,若z1z2∈R,即(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i∈R,则a1b2+a2b1=0.而若z1=,即a1+b1i=a2-b2i⇔a1=a2,b1=-b2.因为a1b2+a2b1=0a1=a2,b1=-b2,所以p3为假命题;对于p4,若z∈R,即a+bi∈R,则b=0,故=a-bi=a∈R,所以p4为真命题.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018·天津高考)i是虚数单位,复数=________.【解析】===4-i.答案:4-i9.已知i是虚数单位,若复数(a∈R)的实部与虚部相等,则a=________.【解析】==,又复数的实部与虚部相等,所以=-,解得a=0.答案:0【变式备选】已知z=(i为虚数单位),则z的共轭复数的虚部为________.【解析】因为z===-i,则=i,则的虚部为1.答案:110.若z=sinθ-+i是纯虚数,则tan等于________.【解析】依题意所以sinθ=,cosθ=-,所以tanθ==-,所以tan===-7.答案:-7【变式备选】已知复数z1=cos23°+isin23°和复数z2=cos37°+isin37°,则z1·z2=__________.【解析】z1·z2=(cos23°+isin23°)·(cos37°+isin37°)=cos60°+isin60°=+i.答案:+i(20分钟40分)1.(5分)(2018·全国卷Ⅰ)设z=+2i,则|z|=()A.0B.C.1D.【解析】选C.因为z=+2i=+2i=+2i=i,所以|z|==1.【变式备选】(2018·郴州模拟)设z=1-i(i是虚数单位),若复数+z2在复平面内对应的向量为,则向量的模是()A.1B.C.D.2【解析】选B.z=1-i(i是虚数单位),复数+z2=+(1-i)2=-2i=1-i.向量的模为=.2.(5分)已知复数z满足|z-2i|=1,则|z|的最小值为()A.0B.1C.2D.3【解析】选B.|z-2i|=1的几何意义为复平面内动点Z到定点(0,2)的距离为定值1,如图:由图可知,|z|的最小值为2-1=1.3.(5分)-3+2i是方程2x2+px+q=0的一个根,且p,q∈R,则p+q=________.【解析】由题意得2(-3+2i)2+p(-3+2i)+q=0,即2(5-12i)-3p+2pi+q=0,即(10-3p+q)+(-24+2p)i=0,所以所以p=12,q=26,所以p+q=38.答案:384.(12分)复数z1=+(a2-10)i,z2=+(2a-5)i,若z1+z2是实数,求实数a的值.【解析】z1+z2=+(a2-10)i++(2a-5)i=+[(a2-10)+(2a-5)]i=+(a2+2a-15)i.因为z1+z2是实数,所以a2+2a-15=0,解得a=-5或a=3.因为a+5≠0,所以a≠-5,故a=3.5.(13分)已知复数z1=a+2i,z2=3-4i(a∈R,i为虚数单位).(1)若z1·z2是纯虚数,求实数a的值.(2)若复数z1·z2在复平面上对应的点在第二象限,且|z1|≤4,求实数a的取值范围.【解析】(1)z1·z2=(a+2i)·(3-4i)=(3a+8)+(-4a+6)i,因为z1·z2是纯虚数,故3a+8=0,且-4a+6≠0,故a=-.(2)|z1|≤4⇒a2+4≤16⇒a2≤12⇒-2≤a≤2,根据题意z1·z2在复平面上对应的点在第二象限,可得即a-,综上,实数a的取值范围为.