（黄冈名师）2020版高考数学大一轮复习 核心素养提升练六十九 1 坐标系 理（含解析）新人教A版选

核心素养提升练六十九坐标系(30分钟50分)1.(10分)(2018·南京模拟)在极坐标系中,已知圆C经过点P,圆心C为直线ρsin=-与极轴的交点,求圆C的极坐标方程.【解析】方法一:在直线ρsin=-中,令θ=0得ρ=2.所以圆C的圆心坐标为C(2,0).因为圆C经过点P,所以圆C的半径|PC|==2,所以圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ.方法二:以极点为坐标原点,极轴为x轴建立平面直角坐标系,则直线方程为y=x-2,P的直角坐标为(1,),令y=0得x=2,所以C(2,0),所以圆C的半径|PC|==2,所以圆C的方程为(x-2)2+(y-0)2=4,即x2+y2-4x=0,所以圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ.【变式备选】(2018·扬州模拟)在极坐标系中,直线ρcos=与极轴交于点C,求以点C为圆心且半径为1的圆的极坐标方程.【解析】因为ρ=,所以ρcosθ-ρsinθ=,得x-y=2.令y=0,则x=2,可得C(2,0),所以以点C为圆心且半径为1的圆的方程为(x-2)2+y2=1,即x2+y2-4x+3=0,所以所求圆的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ+3=0.2.(10分)在极坐标系中,直线l:ρ(sinθ-cosθ)=a与曲线C:ρ=2cosθ-4sinθ相交于A,B两点,若|AB|=2,求实数a的值.【解析】直线l的直角坐标方程为x-y+a=0,曲线C的直角坐标方程为(x-1)2+(y+2)2=5,所以圆心C的坐标为(1,-2),半径r=,所以圆心C到直线的距离为==,解得a=-5或a=-1,故实数a的值为-5或-1.3.(10分)(2019·遂宁模拟)点P是曲线ρ=2上的动点,A(2,0),AP的中点为Q.(1)求点Q的轨迹C的直角坐标方程.(2)若C上点M处的切线斜率的取值范围是,求点M的横坐标的取值范围.【解析】(1)因为曲线ρ=2,所以x2+y2=4(y≥0),设P(x1,y1),Q(x,y),则x=,y=,即x1=2x-2,y1=2y,代入+=4(y≥0),得(2x-2)2+(2y)2=4,所以点Q的轨迹C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1(y≥0).(2)轨迹C是一个以(1,0)为圆心,1为半径的半圆,如图,设M(1+cosγ,sinγ),设点M处切线l的倾斜角为α,因为l的斜率范围为,所以≤α≤,而γ=α-,所以≤γ≤,所以≤1+cosγ≤,所以点M的横坐标的取值范围是.4.(10分)(2019·福州模拟)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos=2.已知点Q是曲线C1的动点,点P在线段OQ上,且满足|OQ|·|OP|=4,动点P的轨迹为C2.(1)求C2的直角坐标方程.(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△AOB面积的最大值.【解析】(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ0),Q的极坐标为(ρ1,θ)(ρ10),则|OP|=ρ,|OQ|=ρ1=,由|OQ|·|OP|=4得C2的极坐标方程为ρ=2cos(ρ0),所以ρ=cosθ+sinθ,两边乘ρ得ρ2=ρcosθ+ρsinθ,因为ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,ρsinθ=y,所以x2+y2-x-y=0,所以C2的直角坐标方程为+=1,(x2+y2≠0).(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB0),由题设及(1)知|OA|=2,ρB=2cos,于是△AOB的面积S=|OA|·ρB·sin∠AOB=2cos·=2=2≤,当α=0时,S取得最大值为,所以△AOB面积的最大值为.5.(10分)(2018·洛阳模拟)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C1:ρsinθ=4,曲线C2:ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+1=0,曲线C3:θ=(ρ∈R).(1)求C1与C2的直角坐标方程.(2)若C2与C1交于P点,C2与C3交于A,B两点,求△PAB的面积.【解析】(1)因为曲线C1的极坐标方程为ρsinθ=4,所以根据题意曲线C1的普通方程为y=4,因为曲线C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+1=0,所以曲线C2的普通方程为x2+y2-2x-4y+1=0,即(x-1)2+(y-2)2=4.(2)因为曲线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),所以曲线C3的普通方程为y=x.联立C1与C2:得x2-2x+1=0,解得x=1,所以点P的坐标为(1,4),点P到C3的距离为d==.设A(ρ1,θ1),B(ρ2,θ2),将θ=代入C2得ρ2-3ρ+1=0,则ρ1+ρ2=3,ρ1ρ2=1,|AB|=|ρ1-ρ2|==,所以S△PAB=|AB|d=××=.