（广西专用）2019中考数学一轮新优化复习 第一部分 教材同步复习 第六章 圆 第25讲 与圆有关的

1第一部分第六章第25讲命题点1与圆有关的位置关系(2017年百色考，2016年梧州考)1．(2016·梧州6题3分)已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3，此时直线和圆的位置关系为(C)A．相离B．相切C．相交D．无法确定2．(2017·百色11题3分)以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝－x＋b与⊙O相交，则b的取值范围是(D)A．0≤b＜22B．－22≤b≤22C．－23b23D．－22＜b＜22命题点2切线的性质与判定(2018年9考，2017年8考，2016年10考)3．(2016·河池12题3分)如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切，与y轴相交于A(0,2)，B(0,8)，则圆心P的坐标是(D)A．(5,3)B．(5,4)C．(3,5)D．(4,5)4．(2018·百色25题10分)已知AD为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为M，分别过A，D两点作BC的垂线，垂足分别为B，C，AD的延长线与BC相交于点E.(1)求证：△ABM∽△MCD；(2)若AD＝8，AB＝5，求ME的长．(1)证明：∵AD是⊙O的直径，∴∠AMD＝90°.∵∠BMC＝180°，∴∠2＋∠3＝90°.∵∠ABM＝∠MCD＝90°，∴∠2＋∠1＝90°，∴∠1＝∠3，∴△ABM∽△MCD.(2)解：如答图，连接OM.2∵BC是⊙O的切线，∴OM⊥BC.又∵AB⊥BC，∴sin∠E＝ABAE＝OMOE，∴ABAO＋OE＝OMOE.∵AD＝8，AB＝5，∴54＋OE＝4OE，∴OE＝16，∴ME＝OE2－OM2＝162－42＝415.5．(2018·玉林23题9分)如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交BC于点D，∠DAC＝∠B.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)点E是AB上一点，若∠BCE＝∠B，tan∠B＝12，⊙O的半径是4，求EC的长．(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠B＋∠BAD＝90°.∵∠DAC＝∠B，∴∠DAC＋∠BAD＝90°，∴∠BAC＝90°，∴BA⊥AC，∴AC是⊙O的切线．(2)解：∵∠BCE＝∠B，∴EC＝EB，设EC＝EB＝x，在Rt△ABC中，∵tan∠B＝ACAB＝12，AB＝8，∴AC＝4.在Rt△AEC中，∵EC2＝AE2＋AC2，∴x2＝(8－x)2＋42，解得x＝5，∴CE＝5.6．(2018·河池25题10分)如图，⊙O的直径为AB，点C在⊙O上，点D，E分别在AB，AC的延长线上，DE⊥AE，垂足为E，∠A＝∠CDE.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若AB＝4，BD＝3，求CD的长．(1)证明：连接OC，3∵DE⊥AE，∴∠E＝90°，∴∠DCE＋∠CDE＝90°.又∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO.∵∠A＝∠CDE，∴∠ACO＝∠CDE，∴∠DCE＋∠ACO＝90°，∴∠OCD＝90°，即OC⊥CD.∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．(2)解：由(1)可得OC⊥CD，∵AB＝4，BD＝3，∴OC＝OB＝12AB＝2，OD＝OB＋BD＝5，在Rt△OCD中，根据勾股定理得，CD＝OD2－OC2＝52－22＝21.7．(2018·贵港24题8分)如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝BC＝CD，AB∥CD，连接BD.(1)求证：BD是⊙O的切线；(2)若AB＝10，cos∠BAC＝35，求BD的长及⊙O的半径．(1)证明：如答图1，作直径BE，交⊙O于E，连接EC，OC，则∠BCE＝90°，∴∠OCE＋∠OCB＝90°.∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABDC是平行四边形，∴∠A＝∠D.∵OE＝OC，∴∠E＝∠OCE.∵BC＝CD，∴∠CBD＝∠D.∵∠A＝∠E，∴∠CBD＝∠D＝∠A＝∠OCE.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OBC＋∠CBD＝90°，即∠EBD＝90°，∴BD是⊙O的切线．第7题答图(2)解：如答图2，∵cos∠BAC＝cos∠E＝ECEB＝35，∴设EC＝3x，EB＝5x，则BC＝4x，4∵AB＝BC＝10＝4x，x＝52，∴EB＝5x＝252，∴⊙O的半径为254.过C作CG⊥BD于G，∵BC＝CD＝10，∴BG＝DG，在Rt△CGD中，cos∠D＝cos∠BAC＝DGCD＝35，∴DG10＝35，∴DG＝6，∴BD＝12.8．(2018·贺州25题10分)如图，AB是⊙O的弦，过AB的中点E作EC⊥OA，垂足为C，过点B作直线BD交CE的延长线于点D，使得DB＝DE.(1)求证：BD是⊙O的切线；(2)若AB＝12，DB＝5，求△AOB的面积．(1)证明：∵OA＝OB，DB＝DE，∴∠A＝∠OBA，∠DEB＝∠DBE.∵EC⊥OA，∠DEB＝∠AEC，∴∠A＋∠DEB＝90°，∴∠OBA＋∠DBE＝90°，∴∠OBD＝90°，∴OB⊥BD.∵OB是⊙O的半径，∴BD是⊙O的切线．(2)解：如答图，过点D作DF⊥AB于点F，连接OE.∵点E是AB的中点，AB＝12，∴AE＝EB＝6，OE⊥AB.又∵DE＝DB，DF⊥BE，DB＝5，∴EF＝BF＝3，∴DF＝DE2－EF2＝52－32＝4.∵∠AEC＝∠DEF，∴∠A＝∠EDF.∵OE⊥AB，DF⊥AB，∴∠AEO＝∠DFE＝90°，5∴△AEO∽△DFE，∴EOFE＝AEDF，即EO3＝64，解得EO＝92，∴S△AOB＝12AB·EO＝12×12×92＝27.9．(2017·河池25题10分)如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F.(1)求证：∠FEB＝∠ECF；(2)若BC＝6，DE＝4，求EF的长．(1)证明：∵CB，CD分别切⊙O于点B，D，∴OC平分∠BCE，即∠ECO＝∠BCO，OB⊥BC，∴∠BCO＋∠COB＝90°.∵EF⊥OG，∴∠FEB＋∠FOE＝90°，而∠COB＝∠FOE，∴∠FEB＝∠ECF.(2)解：连接OD，如答图．∵CB，CD分别切⊙O于点B，D，∴CD＝CB＝6，OD⊥CE，CE＝CD＋DE＝6＋4＝10.在Rt△BCE中，BE＝102－62＝8.设⊙O的半径为r，则OD＝OB＝r，OE＝8－r.在Rt△ODE中，r2＋42＝(8－r)2，解得r＝3，∴OE＝8－3＝5，∴在Rt△OBC中，OC＝62＋32＝35.∵∠COB＝∠FOE，∴△OEF∽△OCB，∴EFBC＝OEOC，即EF6＝535，∴EF＝25.10．(2017·百色25题10分)已知△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，若EF︵＝DF︵，如图1.6第10题图(1)判断△ABC的形状，并证明你的结论；(2)设AE与DF相交于点M，如图2，AF＝2FC＝4，求AM的长．解：(1)△ABC为等腰三角形．证明：∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，∴∠CFO＝∠CEO＝∠BDO＝∠BEO＝90°.∵四边形内角和为360°，∴∠EOF＋∠C＝180°，∠DOE＋∠B＝180°.∵EF︵＝DF︵，∴∠EOF＝∠DOE.∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形．(2)连接OB，OC，OD，OF，如答图．∵等腰△ABC中，AE⊥BC，∴BE＝CE.在Rt△AOF和Rt△AOD中，OD＝OF，OA＝OA，∴Rt△AOF≌Rt△AOD(HL)，∴AF＝AD，同理Rt△COF≌Rt△COE，CF＝CE＝2，同理Rt△BOD≌Rt△BOE，BD＝BE，∴AD＝AF，BD＝CF，∴DF∥BC，∴AMAE＝AFAC.∵AE＝AC2－CE2＝42，∴AM＝42×23＝823.11．(2018·柳州25题10分)如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D.7(1)求证：△DAC∽△DBA；(2)过点C作⊙O的切线CE交AD于点E，求证：CE＝12AD；(3)若点F为直径AB下方半圆的中点，连接CF交AB于点G，且AD＝6，AB＝3，求CG的长．(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACD＝∠ACB＝90°.∵AD是⊙O的切线，∴∠BAD＝90°，∴∠ACD＝∠DAB＝90°.∵∠CDA＝∠ADB，∴△DAC∽△DBA.(2)证明：∵EA，EC是⊙O的切线，∴AE＝CE，∴∠DAC＝∠ECA.∵∠ACD＝90°，∴∠ACE＋∠DCE＝90°，∠DAC＋∠D＝90°，∴∠D＝∠DCE，∴DE＝CE，∴AD＝AE＋DE＝CE＋CE＝2CE，∴CE＝12AD.(3)解：在Rt△ABD中，AD＝6，AB＝3，∴tan∠ABD＝ADAB＝2.如答图，过点G作GH⊥BD于点H，∴tan∠ABD＝GHBH＝2，∴GH＝2BH.∵点F是直径AB下方半圆的中点，∴∠BCF＝45°，∴∠CGH＝∠CHG－∠BCF＝45°，∴CH＝GH＝2BH，∴BC＝BH＋CH＝3BH.8在Rt△ABC中，tan∠ABC＝ACBC＝2，∴AC＝2BC，根据勾股定理得，AC2＋BC2＝AB2，∴4BC2＋BC2＝9，∴BC＝355，∴3BH＝355，∴BH＝55，∴GH＝2BH＝255.在Rt△CHG中，∵∠BCF＝45°，∴CG＝2GH＝2105.12．(2018·北部湾经济区25题10分)如图，△ABC内接于⊙O，∠CBG＝∠A，CD为直径，第12题图OC与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长CD交GB的延长线于点P，连接BD.(1)求证：PG与⊙O相切；(2)若EFAC＝58，求BEOC的值；(3)在(2)的条件下，若⊙O的半径为8，PD＝OD，求OE的长．(1)证明：如答图，连接OB，则OB＝OD，∴∠BDC＝∠DBO.∵∠BAC＝∠BDC，∴∠GBC＝∠BDC.∵CD是⊙O的直径，∴∠DBO＋∠OBC＝90°，∴∠GBC＋∠OBC＝90°，∴∠GBO＝90°，∴PG与⊙O相切．第12题答图(2)解：如答图，过点O作OM⊥AC于点M，连接OA，则∠AOM＝∠COM＝12∠AOC.∵AC＝AC，∴∠ABC＝12∠AOC.9又∵∠EFB＝∠OMA＝90°，∴△BEF∽△OAM，∴EFAM＝BEOA.∵AM＝12AC，OA＝OC，∴EF12AC＝BEOC.又∵EFAC＝58，∴BEOC＝2×EFAC＝2×58＝54.(3)解：∵PD＝OD，∠PBO＝90°，∴BD＝OD＝8，在Rt△DBC中，BC＝DC2－BD2＝83.又∵OD＝OB，∴△DOB是等边三角形，∴∠DOB＝60°.∵∠DOB＝∠OBC＋∠OCB，OB＝OC，∴∠OCB＝30°，∴EFCE＝12，FCEC＝32，∴设EF＝x，则EC＝2x，FC＝3x，∴BF＝83－3x.在Rt△BEF中，BE2＝EF2＋BF2，∴100＝x2＋(83－3x)2，解得x＝6±13.∵6＋138，舍去，∴x＝6－13，∴EC＝12－213，∴OE＝8－(12－213)＝213－4.13．(2018·桂林25题10分)如图1，已知⊙O是△ADB的外接圆，∠ADB的平分线DC交AB于点M，交⊙O于点C，连接AC，BC.(1)求证：AC＝BC；(2)如图2，在图1的基础上作⊙O的直径CF交AB于点E，连接AF，过点A作⊙O的切线AH，若AH∥BC，求∠ACF的度数；(3)在(2)的条件下，若△ABD的面积为63，△ABD与△ABC的面积比为2∶9，求CD的长．第13题图(1)证明：∵DC平分∠ADB，10∴∠ADC＝∠BDC，∴AC＝BC，∴AC＝BC.第13题答图(2)解：如答图，连接AO并延长交BC于I交⊙O于J.∵AH是⊙O的切线，AH∥BC，∴AI⊥BC，由垂径定理得，BI＝IC.∵AC＝BC，∴IC＝12AC，即在Rt△AIC中，IC＝12AC，∴∠IAC＝30°，∴∠ABC＝60°＝∠F＝∠ACB.∵FC是⊙O的直径，∴∠FAC＝90°，∴∠ACF＝180°－90°－60°＝30°.(3)解：过点D作DG⊥AB于点G，连接AO，由(1)(2)知，△AB