（广西专用）2019中考数学二轮新优化复习 第二部分 专题综合强化 专题6 圆的相关证明与计算针对训

1第二部分专题六类型1与全等三角形相关证明与计算1．(2016·梧州)如图，过⊙O上的两点A，B分别作切线，并交BO、AO的延长线于点C，D，连接CD，交⊙O于点E，F，过圆心O作OM⊥CD，垂足为M点．求证：(1)△ACO≌△BDO；(2)CE＝DF.证明：(1)∵AC，BD为⊙O的切线，∴∠CAO＝∠DBO＝90°，在△ACO和△BDO中，∠CAO＝∠DBO，AO＝BO，∠AOC＝∠BOD，∴△ACO≌△BDO(ASA)．(2)∵△ACO≌△BDO，∴CO＝DO.∵OM⊥CD，∴MC＝DM，EM＝MF，∴CE＝DF.2．(2018·北京)如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD.(1)求证：OP⊥CD；(2)连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的长．(1)证明：如答图，连接OC，OD.∴OC＝OD.2∵PD，PC是⊙O的切线，∴∠ODP＝∠OCP＝90°.在Rt△ODP和Rt△OCP中，OD＝OC，OP＝OP，∴Rt△ODP≌Rt△OCP(HL)，∴∠DOP＝∠COP，∵OD＝OC，∴OP⊥CD.(2)解：∵OA＝OD＝OC＝OB＝2，∴∠ADO＝∠DAO＝50°，∠BCO＝∠CBO＝70°，∴∠AOD＝80°，∠BOC＝40°，∴∠COD＝60°.∵OD＝OC，∴△COD是等边三角形，由(1)知，∠DOP＝∠COP＝30°，在Rt△ODP中，OP＝ODcos30°＝433.3．(2017·贺州)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的切线分别交AB，AC的延长线于E，F，连接BD.(1)求证：AF⊥EF；(2)若AC＝6，CF＝2，求⊙O的半径．(1)证明：如答图1，连接OD.∵EF是⊙O的切线，且点D在⊙O上，∴OD⊥EF.∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ADO.∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠DAC，∴∠ADO＝∠DAC，∴AF∥OD，∴AF⊥EF.(2)解：如答图2，过D作DG⊥AE于点G，连接CD.∵∠BAD＝∠DAF，AF⊥EF，3∴BD＝CD，DG＝DF，在Rt△ADF和Rt△ADG中，AD＝AD，DF＝DG，∴Rt△ADF≌Rt△ADG(HL)，同理可得Rt△CDF≌Rt△BDG，∴BG＝CF＝2，AG＝AF＝AC＋CF＝6＋2＝8，∴AB＝AG＋BG＝8＋2＝10，∴⊙O的半径为12AB＝5.4．(2018·苏州)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，CE垂直AB，垂足为E.延长DA交⊙O于点F，连接FC，FC与AB相交于点G，连接OC.(1)求证：CD＝CE；(2)若AE＝GE，求证：△CEO是等腰直角三角形．证明：(1)连接AC.∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD.∵AD⊥CD，∴∠DCO＝∠D＝90°，∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO.∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠DAC＝∠CAO.∵CE⊥AB，∴∠CEA＝90°，在△CDA和△CEA中，∵∠D＝∠CEA，∠DAC＝∠EAC，AC＝AC，∴△CDA≌△CEA(AAS)，∴CD＝CE.(2)连接BC.∵△CDA≌△CEA，∴∠DCA＝∠ECA.∵CE⊥AG，AE＝EG，∴CA＝CG，∴∠ECA＝∠ECG.4∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠ACE＝∠B.∵∠B＝∠F，∴∠F＝∠ACE＝∠DCA＝∠ECG.∵∠D＝90°，∴∠DCF＋∠F＝90°，∴∠F＝∠DCA＝∠ACE＝∠ECG＝22.5°，∴∠AOC＝2∠F＝45°，∴△CEO是等腰直角三角形．类型2与相似三角形相关证明与计算1．(2018·玉林适应考试)如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，点C在OP上，且BC＝PC.(1)求证：直线BC是⊙O的切线；(2)若OA＝3，AB＝2，求BP的长．(1)证明：如答图，连接OB.∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA.又∵BC＝PC，∴∠P＝∠CBP.∵OP⊥AD，∴∠A＋∠P＝90°，∴∠OBA＋∠CBP＝90°，∴∠OBC＝180°－(∠OBA＋∠CBP)＝90°.∵点B在⊙O上，直线BC是⊙O的切线．(2)解：如答图，连接DB.∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，5∴Rt△ABD∽Rt△AOP，∴ABAO＝ADAP，即23＝6AP，解得AP＝9，∴BP＝AP－BA＝9－2＝7.2．(2018·贺州)如图，AB是⊙O的弦，过AB的中点E作EC⊥OA，垂足为C，过点B作直线BD交CE的延长线于点D，使得DB＝DE.(1)求证：BD是⊙O的切线；(2)若AB＝12，DB＝5，求△AOB的面积．(1)证明：∵OA＝OB，DB＝DE，∴∠A＝∠OBA，∠DEB＝∠DBE.∵EC⊥OA，∠DEB＝∠AEC，∴∠A＋∠DEB＝90°，∴∠OBA＋∠DBE＝90°，∴∠OBD＝90°.∵OB是⊙O的半径，∴BD是⊙O的切线．(2)解：过点D作DF⊥AB于点F，连接OE，如答图．∵点E是AB的中点，AB＝12，∴AE＝EB＝6，OE⊥AB.又∵DE＝DB，DF⊥BE，∴DE＝DB＝5，∴EF＝BF＝3，∴DF＝DE2－EF2＝4.∵∠AEC＝∠DEF，∴∠A＝∠EDF.∵OE⊥AB，DF⊥AB，∴∠AEO＝∠DFE＝90°，∴△AEO∽△DFE，∴EOFE＝AEDF，即EO3＝64，得EO＝92，∴S△AOB＝12AB·OE＝12×12×92＝27.3．(2018·随州)如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥6AB于点O，分别交AC，CN于D，M两点．(1)求证：MD＝MC；(2)若⊙O的半径为5，AC＝45，求MC的长．(1)证明：如答图，连接OC.∵CN为⊙O的切线，∴OC⊥CM，∠OCA＋∠ACM＝90°.∵OM⊥AB，∴∠OAC＋∠ODA＝90°.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠ACM＝∠ODA＝∠CDM，∴MD＝MC.(2)解：由题意可知AB＝5×2＝10，AC＝45.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝102－52＝25.∵∠AOD＝∠ACB，∠OAD＝∠CAB，∴△AOD∽△ACB,∴ODBC＝AOAC，即OD25＝545，可得OD＝52.设MC＝MD＝x，在Rt△OCM中，由勾股定理得(x＋52)2＝x2＋52，解得x＝154，即MC＝154.4．(2016·来宾)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE⊥AD，交AB于点E，AE为⊙O的直径．(1)判断BC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；7(2)求证：△ABD∽△DBE；(3)若cosB＝223，AE＝4，求CD.(1)解：结论：BC与⊙O相切．证明：如答图，连接OD.∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠DAB，∴∠CAD＝∠ADO，∴AC∥OD.∵AC⊥BC，∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切线．(2)证明：∵BC是⊙O的切线，∴∠ODB＝90°，∴∠BDE＋∠ODE＝90°.∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∴∠DAE＋∠AED＝90°.∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED，∴∠DAB＝∠BDE.∵∠ABD＝∠DBE，∴△ABD∽△DBE.(3)解：在Rt△ODB中，∵cosB＝BDOB＝223，∴设BD＝22k，OB＝3k.∵OD2＋BD2＝OB2，∴4＋8k2＝9k2，∴k＝2，∴BO＝6，BD＝42.∵DO∥AC,∴BDCD＝BOAO，∴42CD＝62，∴CD＝423.类型3与锐角三角函数相关证明与计算1．(2018·毕节)如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点E，过点E作AB的垂线交AB于点F，交CB的延长线于点G，且∠ABG＝2∠C.8(1)求证：EG是⊙O的切线；(2)若tanC＝12，AC＝8，求⊙O的半径．(1)证明：如答图，连接OE，BE.∵∠ABG＝2∠C，∠ABG＝∠C＋∠A，∴∠C＝∠A，∴BC＝AB.∵BC是⊙O的直径，∴∠CEB＝90°，∴CE＝AE.∵CO＝OB，∴OE∥AB.∵GE⊥AB，∴EG⊥OE.又∵OE是⊙O半径，∴EG是⊙O的切线．(2)解：∵AC＝8，∴CE＝AE＝4.∵tanC＝BECE＝12，∴BE＝2，∴BC＝CE2＋BE2＝25，∴CO＝5，即⊙O的半径为5.2．(2018·贵港二模)如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，点E是BC的中点，连接BD,DE.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若AB＝3AD，求sinC.(1)证明：连接OD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BDC＝90°.∵E为BC的中点，∴DE＝BE＝CE，∴∠EDB＝∠EBD.∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.∵∠ABC＝90°，∴∠EDO＝∠EDB＋∠ODB＝∠EBD＋∠OBD＝∠ABC＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线.(2)解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°.∵∠ABC＝90°，9∴∠C＋∠BAC＝90°，∴∠C＝∠ABD.∵AB＝3AD，∴sin∠ABD＝ADAB＝13，∴sinC＝13.3．(2018·柳州三模)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于K.(1)求证：KE＝GE；(2)若KC2＝KD·CE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；(3)在(2)的条件下，若sinE＝35，AK＝25，求FG的长．第3题答图(1)解：如答图1，连接OG.∵EG是⊙O的为切线，∴∠KGE＋∠OGA＝90.∵CD⊥AB,∴∠AKH＋∠OAG＝90°.又∵OA＝OG,∴∠OGA＝∠OAG,∴∠KGE＝∠AKH＝∠GKE,∴KE＝GE.(2)解：AC∥EF.理由：连接GD，如答图2所示．∵KG2＝KD·GE，即KGKD＝GEKG，∴KGGE＝KDKG，又∵∠KGE＝∠GKE，∴△GKD∽△EGK,∴∠E＝∠AGD.又∵∠C＝∠AGD,∴∠E＝∠C,∴AC∥EF.(3)解：连接OG，OC，如答图3所示．∵sinE＝sin∠ACH＝35，设AH＝3t，则AC＝5t，CH＝4t.∵KE＝GE，AC∥EF,∴CK＝AC＝5t,∴HK＝CK－CH＝t.在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2＋HK2＝AK2，即(3t)2＋t2＝(25)2，解得t＝2.设⊙O的半径为r，在Rt△OCH中，OC＝r，OH＝r－3t，CH＝4t，由勾股定理得OH2＋CH2＝OC2，即(r－3t)2＋(4t)2＝r2，解得r＝2526.∵EF为⊙O的切线，10∴△OGF为直角三角形，在Rt△OGF中，OG＝r，tan∠OFG＝tan∠CAH＝CHAH＝43，∴FG＝OGtan∠OFG＝252643＝2528.4．(2016·北海)在△ABC中，AB＝AC.以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D,⊙O的切线BP与AC的延长线交于点P，连接DE，BE.(1)求证：BD︵＝DE︵；(2)求证：∠AED＝∠BCP；(3)已知：sin∠BAD＝55，AB＝10，求BP的长．(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.又∵AB＝AC，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∴BD︵＝DE︵.(2)证明：∵AB是⊙O的直径，AD⊥BC，∴BD＝DC.∵BD︵＝DE︵，∴BD＝DE，∴DC＝DE，∴∠DEC＝∠DCE.∵∠AED＋∠DEC＝180°，∠DCE＋∠BCP＝180°，∴∠AED＝∠BCP.(3)解：∵sin∠BAD＝BDAB＝55，AB＝10，∴AC＝AB＝10，BD＝25，∴DC＝DE＝25.设EC＝x，则AE＝10－x，∵在Rt△ABE中，BE2＝AB2－AE2,在Rt△BE