八年级数学下册 第18章 勾股定理 18.2 勾股定理的逆定理教学课件 （新版）沪科版

教学课件数学八年级下册沪科版第18章勾股定理18.2勾股定理的逆定理第1课时2.一个三角形满足什么条件是直角三角形？①有一个内角是90°，那么这个三角形就是直角三角形;②如果一个三角形中，有两个角的和是90°，那么这个三角形就是直角三角形.我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系，来判断是否为直角三角形呢？1.直角三角形有哪些性质？(1)有一个角是直角；(2)两锐角互余；(3)勾股定理；(4)含30°角的直角三角形的性质.问题引入据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距，4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．你认为结论正确吗？（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（13）（12）（11）（10）（9）相传，大禹治水时也用这类似的方法确定直角.合作探究活动：探究勾股定理的逆定理的证明及应用如果三角形的三边长分别为3，4，5，这些数满足关系：32+42=52，围成的三角形是直角三角形．具体做法：把一根绳子打上等距离的13个结，然后把第1个结和第13个结用木桩钉在一起，再分别用木桩把第４个结和第8个结钉牢（拉直绳子），这时构成了一个三角形，其中有一个角是直角.实验操作：下列各组数中的两数的平方和等于第三数的平方，分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm），它们是直角三角形吗？①2.5，6，6.5；②4，7.5，8.5．动手画一画（1）这二组数都满足222cba吗？（2）它们都是直角三角形吗？（3）提出你的猜想：命题2如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.命题2与上节命题1的题设和结论有何关系?由上面的几个例子你有什么发现？命题1：直角三角形a2+b2=c2命题2：直角三角形a2+b2=c2题设结论题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.勾股定理如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，那么满足a2+b2=c2.勾股定理的逆命题互逆命题？证明结论∠C是直角△ABC是直角三角形ABCabc已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．求证：△ABC是直角三角形．构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′△ABC≌△A′B′C′已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．求证：△ABC是直角三角形．证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).∴∠C=∠C′=90°，△ABC是直角三角形.则22222.ABBCACab222,Qabc22,.取正得ABcABc在和中,ABCABCACACBCBCABABCBaAbcACaBbcACBabca2+b2=c2直角三角形特别说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形，最长边所对角为直角.例1下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？(1)a=25，b=20，c=15;解：（1）因为152+202=625，252=625，所以152+202=252.根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠A是直角.(2)a=13，b=14，c=15;解：（2）因为132+142=365，152=225，所以132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，所以这个三角形不是直角三角形.(4)a:b:c=3:4:5.解：（3）因为12+（3）2=4=22，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，∠B是直角.（4）设a=3k,b=4k,c=5k,因为（3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,所以(3k)2+(4k)2=(5k)2,根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，∠C是直角.解：(3)a=1，b=2，c=;3奇数类：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41等等偶数类：4，3，5；6，8，10；8，15，17；10，24，26等等解题小结：勾股数：像15，20，25这样，能成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数.常见勾股数：勾股数的拓展性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k，得到一组新数，这组数同样是勾股数.（1）勾股定理的逆定理的内容是什么？它有什么作用？内容是：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.作用：把数转化为形，通过计算三角形三边之间的关系来判断一个三角形是否是直角三角形，它可作为直角三角形的判定依据.课堂小结经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理，再到探索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实际问题的过程.（3）在探究勾股定理的逆定理的过程中，我们经历了哪些过程？（2）本节课我们学习了原命题，逆命题等知识，你能说出它们之间的关系吗？题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.第18章勾股定理18.2勾股定理的逆定理第2课时1.勾股定理的逆定理的内容：如果三角形的三边长a,b,c满足,那么这个三角形是直角三角形.a2+b2=c23.在△ABC中，AB=7，BC=24，AC=25，则_____=90°.∠B2.三角形三边长分别为8，15，17，那么最短边上的高为()17120.D8.C15.B17.AB复习引入引例判断以线段a,b,c为边组成的三角形是否是直角三角形，其中a=,b=1,c=.65小明的解法是：∵a2+b2=(6)2+12=7,c2=(5)2,∴a2+b2=c2,∴由a,b,c为边组成的三角形不是直角三角形.请问小明的解法对吗？若对，请说明其依据是什么？若不对，错在哪里？写出正确的解答过程.合作探究活动：探究勾股定理的逆定理的应用∴a2+b2≠c2，答：不对，错在没有分清最长边.正确解答如下：∵b2+c2=(5)2+12=6,a2=(6)2=6,∴b2+c2=a2,∴由a,b,c为边组成的三角形是直角三角形.判断a,b,c能否构成直角三角形，必须判断两较小边的平方和是否等于最长边的平方.不能简单地看某两边的平方和是否等于第三边的平方，否则容易作出误判.勾股定理的逆定理使用“误区”勾股定理及其逆定理使用方法解题时，注意勾股定理及其逆定理运用的区别.勾股定理是在直角三角形中运用的，而勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形.知识要点例1已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积。ADBC341312连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形.提示ADBC341312连接AC.解:在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42=5在△ACD中，AC2+CD2=52+122=169，AD2=169，所以△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°。所以四边形ABCD的面积=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36.例2如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？东北PABCQD分析：根据勾股定理的逆定理可得出△ABC是直角三角形，然后利用直角三角形的面积公式可求出PD的值，然后利用勾股定理便可求出CD的长.东北PABCQD解：∵AC=10，AB=6，BC=8，∴AC2=AB2+BC2，即△ABC是直角三角形.设PQ与AC相交于点D，根据三角形的面积公式有BC·AB=AC·BD.即6×8=10BD，解得BD=.在Rt△BCD中，2222248()6.4.5CDBCBD又∵该船只的速度为12.8海里/时，∴需要6.4÷12.8=0.5（时）=30（分）进入我领海，即最早晚上10时58分进入我领海.245解题反思：找出CD是该船只进入我领海的最短路线，也就是解题的关键所在.在解决航海的问题上，南北方向和东西方向是互相垂直的，可知PQ⊥AC，又由△ABC三边的数量关系可判定△ABC是直角三角形，于是本题便构造直角三角形，应用勾股定理及其逆定理.运用勾股定理的逆定理解决问题有哪些收获？（1）要正确使用勾股定理的逆定理，只有弄清楚满足的关系式a2+b2=c2,其中a,b是两较短边，c是最长边，最长边所对的角才是直角.（2）在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理是“黄金搭挡”，经常配套使用，即有时先用勾股定理，再用其逆定理；有时先用其逆定理再用勾股定理，要视具体情况而定.课堂小结（3）勾股定理及其逆定理在解决航海问题时，理解方位角的含义是前提，画出符合题意的图形，标明已知条件，转化为解决直角三角形问题所需的条件.