2021高考数学一轮复习 第五章 平面向量与复数 5.4 复数课件 理 新人教A版

§5.4复数1.理解复数的基本概念.2.理解复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法及其几何意义.能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示.4.能进行复数代数形式的四则运算.5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.最新考纲主要考查复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数的除法运算，突出考查运算能力与数形结合思想.一般以选择题、填空题的形式出现，难度为低档.考情考向分析INDEX回扣基础知识训练基础题目基础落实1.复数的有关概念(1)定义：我们把集合＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的，b叫做复数z的(i为虚数单位).(2)分类：知识梳理满足条件(a，b为实数)复数的分类a＋bi为实数⇔______a＋bi为虚数⇔_____a＋bi为纯虚数⇔____________b＝0b≠0a＝0且b≠0实部C虚部(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔(a，b，c，d∈R).(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔(a，b，c，d∈R).|a＋bi||z|(5)模：向量OZ→的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作或，即|z|＝|a＋bi|＝_______(a，b∈R).a2＋b2a＝c且b＝da＝c，b＝－d2.复数的几何意义复数z＝a＋bi与复平面内的点及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系.3.复数的运算(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.OZ→Z(a，b)(a±c)+(b±d)i(ac-bd)+(bc+ad)iac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ→＝__________，Z1Z2―→＝__________.OZ1→＋OZ2→OZ2→－OZ1→1.复数a＋bi的实部为a，虚部为b吗？提示不一定.只有当a，b∈R时，a才是实部，b才是虚部.2.如何理解复数的加法、减法的几何意义？提示复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则.概念方法微思考题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.()(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.()(3)复平面中原点是实轴与虚轴的交点.()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.()基础自测××√√题组二教材改编2.若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为A.－1B.0C.1D.－1或1解析∵z为纯虚数，∴x2－1＝0，x－1≠0，∴x＝－1.√3.在复平面内，向量AB→对应的复数是2＋i，向量CB→对应的复数是－1－3i，则向量CA→对应的复数是A.1－2iB.－1＋2iC.3＋4iD.－3－4i√解析CA→＝CB→＋BA→＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.4.若复数z满足3＋4iz＝1－i(i是虚数单位)，则复数z的共轭复数z等于A.－15－75iB.－15＋75iC.－125－725iD.－125＋725i√解析由题意可得z＝1－i3＋4i＝1－i3－4i3＋4i3－4i＝－1－7i25，所以z＝－125＋725i，故选D.题组三易错自纠5.设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件√解析∵复数a＋bi＝a－bi为纯虚数，∴a＝0且－b≠0，即a＝0且b≠0，∴“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的必要不充分条件.故选C.6.(2019·葫芦岛模拟)若复数z满足iz＝2－2i(i为虚数单位)，则z的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限是A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析由题意，∵z＝2－2ii＝2－2i·－ii·－i＝－2－2i，√z∴z＝－2＋2i，则z的共轭复数z对应的点在第二象限.故选B.典题深度剖析重点多维探究题型突破复数的有关概念题型一自主演练1.(2019·河南省百校联考)已知i为虚数单位，则复数z＝3＋i1－ii的虚部为A.iB.2C.－1D.－i解析因为3＋i1－ii＝3＋i1＋i2i＝1＋2ii＝2－i，所以z的虚部为－1.√2.(2019·汉中模拟)已知a，b∈R，(a－i)i＝b－2i，则a＋bi的共轭复数为A.－2－iB.－2＋iC.2－iD.2＋i解析由(a－i)i＝1＋ai＝b－2i，得1＝b，a＝－2，√∴a＋bi＝－2＋i，其共轭复数为－2－i，故选A.3.(2019·东莞模拟)已知a为实数，若复数(a＋i)(1－2i)为纯虚数，则a等于A.－12B.2C.12D.－2√解析(a＋i)(1－2i)＝a＋2＋(1－2a)i，∵复数是纯虚数，∴a＋2＝0且1－2a≠0，得a＝－2且a≠12，即a＝－2.故选D.4.(2019·河南省八市重点高中联考)已知复数z＝1＋2i1＋i＋2iz，则|z|等于A.22B.52C.2D.5√解析由题意得z＝1＋2i1＋i1－2i＝1＋2i3－i＝1＋2i3＋i3－i3＋i＝1＋7i10，故|z|＝11012＋72＝22，故选A.复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数、模等，在解题过程中要注意辨析概念的不同，灵活使用条件得出符合要求的解.思维升华SIWEISHENGHUA命题点1复数的乘法运算例1(1)(2018·全国Ⅲ)(1＋i)(2－i)等于A.－3－iB.－3＋iC.3－iD.3＋I√复数的运算题型二多维探究解析(1＋i)(2－i)＝2＋2i－i－i2＝3＋i.(2)i(2＋3i)等于A.3－2iB.3＋2iC.－3－2iD.－3＋2i√解析i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i，故选D.例2(1)(2018·全国Ⅱ)1＋2i1－2i等于A.－45－35iB.－45＋35iC.－35－45iD.－35＋45i命题点2复数的除法运算√解析1＋2i1－2i＝1＋2i21－2i1＋2i＝1－4＋4i1－2i2＝－3＋4i5＝－35＋45i.故选D.解析z＝2i1＋i＝2i1－i1＋i1－i＝2＋2i2＝1＋i.(2)(2019·全国Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z等于A.－1－iB.－1＋iC.1－iD.1＋i√例3(1)(2019·达州模拟)已知z(1＋i)＝－1＋7i(i是虚数单位)，z的共轭复数为z，则z等于A.2B.3＋4iC.5D.7命题点3复数的综合运算√解析z＝－1＋7i1＋i＝－1＋7i1－i2＝3＋4i，故z＝3－4i⇒|z|＝5，故选C.解析对于两个复数α＝1－i，β＝1＋i，①αβ＝(1－i)(1＋i)＝2，故①不正确；(2)(2018·成都模拟)对于两个复数α＝1－i，β＝1＋i，有下列四个结论：①αβ＝1；②αβ＝－i；③αβ＝1；④α2＋β2＝0，其中正确结论的个数为A.1B.2C.3D.4√②αβ＝1－i1＋i＝1－i1－i1＋i1－i＝－2i2＝－i，故②正确；③αβ＝－i＝1，故③正确；④α2＋β2＝(1－i)2＋(1＋i)2＝1－2i－1＋1＋2i－1＝0，故④正确.故选C.(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算.(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数.思维升华SIWEISHENGHUAA.1或－1B.1C.－1D.不存在的实数跟踪训练1(1)已知a∈R，i是虚数单位，若z＝3＋ai，z·z＝4，则a为√解析由题意得z＝3－ai，故z·z＝3＋a2＝4⇒a＝±1，故选A.(2)(2019·晋城模拟)若5－3i1＋2i＝m＋ni，其中m，n∈R，则m－n等于A.145B.125C.－125D.－145√解析依题意，得5－3i1＋2i＝5－3i1－2i1＋2i1－2i＝5－10i－3i－65＝－15－135i，所以m＝－15，n＝－135，所以m－n＝125.故选B.例4(1)(2019·聊城模拟)若复数z满足z(2＋3i)＝i，则在复平面上对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析由题意得z＝i2＋3i＝i2－3i2＋3i2－3i＝3＋2i13，√复数的几何意义题型三师生共研z所以z＝313－213i，所以z在复平面上对应的点为313，－213，位于第四象限.(2)(2019·上海市金山中学月考)已知集合A＝{z|(a＋bi)＋(a－bi)z＋2＝0，a，b∈R，z∈C}，B＝{z||z|＝1，z∈C}，若A∩B＝∅，则a，b之间的关系是A.a＋b1B.a＋b1C.a2＋b21D.a2＋b21若A∩B＝∅，即直线ax＋by＋1＝0与圆x2＋y2＝1没有交点，d＝1a2＋b21，即a2＋b21，故选C.√z解析设z＝x＋yi，x，y∈R，则(a＋bi)(x－yi)＋(a－bi)(x＋yi)＋2＝0，化简整理得，ax＋by＋1＝0，即集合A可看成复平面中直线ax＋by＋1＝0上的点，集合B可看成复平面中圆x2＋y2＝1上的点，复数与复平面内的点、向量是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练2(1)(2019·临沂模拟)已知＝－1＋bi，其中a，b是实数，则复数a－bi在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析由a1－i＝－1＋bi，√a1－i得a＝(－1＋bi)(1－i)＝(b－1)＋(b＋1)i，∴b＋1＝0，a＝b－1，即a＝－2，b＝－1，∴复数a－bi＝－2＋i在复平面内对应的点的坐标为(－2,1)，位于第二象限，故选B.解析由已知得A(－1,2)，B(1，－1)，C(3，－2)，(2)已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，若OC→＝xOA→＋yOB→，则x＋y的值是_____.5∵OC→＝xOA→＋yOB→，∴(3，－2)＝x(－1,2)＋y(1，－1)＝(－x＋y，2x－y)，∴－x＋y＝3，2x－y＝－2，解得x＝1，y＝4，故x＋y＝5.复数的三角形式拓展视野任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成z＝r(cosθ＋isinθ)的形式.我们把r(cosθ＋isinθ)叫做复数的三角形式.对应于复数的三角形式，把z＝a＋bi叫做复数的代数形式.如图的复平面中，r＝a2＋b2，cosθ＝ar，sinθ＝br，tanθ＝ba(a≠0).例1将复数3＋i表示成三角形式.解因为a＝3，b＝1，所以r＝32＋1＝2，θ＝π6，即3＋i＝2cosπ6＋isinπ6.例2将复数2cos2π3＋isin2π3表示成代数形式.解2cos2π3＋isin2π3＝2－12＋32i＝－1＋3i.解不是复数的三角形式.例3复数z＝－2cosπ4＋isinπ4是不是复数的三角形式，如果不是，把它表示成三角形式.z＝－2cosπ4＋isinπ4＝2－cosπ4－isinπ4＝2cosπ＋π4＋isinπ＋π4＝2cos5π4＋isin5π4.课时精练1.(2020·葫芦岛模拟)设i是虚数单位，若复数z＝1＋2i，则复