2021高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.4 三角函数的图象与性质课件 理 新人教A

§4.4三角函数的图象与性质1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在内的单调性.最新考纲结合三角变换，考查三角函数图象及变换，三角函数的性质，加强数形结合思想.以选择、填空为主，中档难度.考情考向分析－π2，π2INDEX回扣基础知识训练基础题目基础落实1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图知识梳理(1)在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，π2，1，，，(2π，0).(2)在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，π2，0，，，(2π，1).(π，0)3π2，－1(π，－1)3π2，02.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR______________值域____________________________________________xx≠kπ＋π2[－1,1][－1,1]R周期性________________________奇偶性________________________________奇函数递增区间_______________________________________________________________________________________递减区间__________________________________________________________________________无对称中心________________________________________________对称轴方程______________________________________无2kπ－π2，2kπ＋π2kπ－π2，kπ＋π22kπ＋π2，2kπ＋3π2kπ＋π2，0kπ2，0x＝kπ＋π22π2ππ奇函数偶函数[2kπ－π，2kπ][2kπ，2kπ＋π](kπ，0)x＝kπ1.正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？概念方法微思考提示正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期.2.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件分别是什么？提示(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).π21.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y＝sinx在第一、第四象限是增函数.()(2)由是正弦函数y＝sinx(x∈R)的一个周期.()(3)正切函数y＝tanx在定义域内是增函数.()(4)已知y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.()基础自测题组一思考辨析×sinπ6＋2π3＝sinπ6知，2π3×××题组二教材改编2.函数f(x)＝cos2x＋π4的最小正周期是________.π3.y＝3sin2x－π6在区间0，π2上的值域是__________.－32，3解析当x∈0，π2时，2x－π6∈－π6，5π6，sin2x－π6∈－12，1，故3sin2x－π6∈－32，3，即y＝3sin2x－π6在0，π2上的值域为－32，3.4.函数y＝－tan2x－3π4的单调递减区间为______________________.π8＋kπ2，5π8＋kπ2(k∈Z)解析由－π2＋kπ2x－3π4π2＋kπ(k∈Z)，得π8＋kπ2x5π8＋kπ2(k∈Z)，所以y＝－tan2x－3π4的单调递减区间为π8＋kπ2，5π8＋kπ2(k∈Z).5.在函数①y＝cos|2x|；②y＝|cosx|；③y＝cos；④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为A.①②③B.①③④C.②④D.①③题组三易错自纠2x＋π6③y＝cos2x＋π6的最小正周期T＝2π2＝π；2x－π4解析①y＝cos|2x|＝cos2x，最小正周期为π；②由图象知y＝|cosx|的最小正周期为π；④y＝tan2x－π4的最小正周期T＝π2，故选A.√6.函数y＝sinx－π4的对称轴为________________，对称中心为_______________.解析由x－π4＝π2＋kπ，k∈Z，得x＝3π4＋kπ，k∈Z，x＝3π4＋kπ，k∈Zπ4＋kπ，0，k∈Z由x－π4＝kπ，k∈Z，得x＝π4＋kπ，k∈Z.故函数y＝sinx－π4的对称轴为x＝3π4＋kπ，k∈Z；对称中心为π4＋kπ，0，k∈Z.典题深度剖析重点多维探究题型突破三角函数的定义域和值域题型一师生共研例1(1)函数y＝lg(sinx)＋cosx－12的定义域为_______________________.x2kπx≤2kπ＋π3，k∈Z解析要使函数有意义，则sinx0，cosx－12≥0，即sinx0，cosx≥12，解得2kπxπ＋2kπ，k∈Z，－π3＋2kπ≤x≤π3＋2kπ，k∈Z，所以2kπx≤π3＋2kπ(k∈Z)，所以函数的定义域为x2kπx≤2kπ＋π3，k∈Z.(2)函数y＝2sinπx6－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为A.2－3B.0C.－1D.－1－3解析因为0≤x≤9，所以－π3≤πx6－π3≤7π6，所以－32≤sinπx6－π3≤1，则－3≤y≤2.所以ymax＋ymin＝2－3.√(3)当x∈π6，7π6时，函数y＝3－sinx－2cos2x的值域为________.又y＝3－sinx－2cos2x＝3－sinx－2(1－sin2x)78，2解析因为x∈π6，7π6，所以sinx∈－12，1.＝2sinx－142＋78，所以当sinx＝14时，ymin＝78，当sinx＝－12或sinx＝1时，ymax＝2.即函数的值域为78，2.(4)(2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝2sinx＋sin2x，则f(x)的最小值是________.－332解析f′(x)＝2cosx＋2cos2x＝2cosx＋2(2cos2x－1)＝2(2cos2x＋cosx－1)＝2(2cosx－1)(cosx＋1).∵cosx＋1≥0，∴当cosx12时，f′(x)0，f(x)单调递减；当cosx12时，f′(x)0，f(x)单调递增，∴当cosx＝12时，f(x)有最小值.又f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx)，且当cosx＝12时，sinx＝±32，∴当sinx＝－32时，f(x)有最小值，即f(x)min＝2×－32×1＋12＝－332.求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值).(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值).(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值).(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练1(1)已知函数f(x)＝sinx＋π6，其中x∈－π3，a，若f(x)的值域是－12，1，则实数a的取值范围是_________.π3，π解析∵x∈－π3，a，∴x＋π6∈－π6，a＋π6，∵当x＋π6∈－π6，π2时，f(x)的值域为－12，1，∴由函数的图象(图略)知，π2≤a＋π6≤7π6，∴π3≤a≤π.(2)函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为________________.－1＋222，1解析设t＝sinx－cosx，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinx·cosx，sinxcosx＝1－t22，且－2≤t≤2.∴y＝－t22＋t＋12＝－12(t－1)2＋1，t∈[－2，2].当t＝1时，ymax＝1；当t＝－2时，ymin＝－1＋222.∴函数的值域为－1＋222，1.三角函数的周期性与对称性题型二自主演练1.下列函数中，是周期函数的为A.y＝sin|x|B.y＝cos|x|C.y＝tan|x|D.y＝(x－1)0√解析∵cos|x|＝cosx，∴y＝cos|x|是周期函数.其余函数均不是周期函数.2.若函数f(x)＝2tankx＋π3的最小正周期T满足1T2，则自然数k的值为________.解析由题意得1πk2，k∈N，2或3∴π2kπ，k∈N，∴k＝2或3.3.函数y＝tanx2＋π3的图象的对称中心是__________________.kπ－2π3，0，k∈Z解析由x2＋π3＝kπ2(k∈Z)，得x＝kπ－2π3(k∈Z)，即其对称中心为kπ－2π3，0，k∈Z.4.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω0，φπ2的最小正周期为4π，且∀x∈R有f(x)≤fπ3成立，则f(x)图象的对称中心是__________________，对称轴方程是_________________.2kπ－2π3，0，k∈Zx＝2kπ＋π3，k∈Z解析由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12.因为f(x)≤fπ3恒成立，所以f(x)max＝fπ3，即12×π3＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，又|φ|π2，所以φ＝π3，故f(x)＝sin12x＋π3.令12x＋π3＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－2π3(k∈Z)，故f(x)图象的对称中心为2kπ－2π3，0，k∈Z.令12x＋π3＝kπ＋π2(k∈Z)，得x＝2kπ＋π3(k∈Z)，故f(x)图象的对称轴方程是x＝2kπ＋π3，k∈Z.(1)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点.(2)求三角函数周期的方法①利用周期函数的定义.②利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.思维升华SIWEISHENGHUA2π|ω|π|ω|三角函数的单调性题型三多维探究命题点1求三角函数的单调区间例2(1)函数f(x)＝sin－2x＋π3的单调递减区间为______________________.